内蒙古2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（二）

**基本信息** 聚焦向量、解三角形与三角函数综合应用，以限时训练整合知识逻辑，突出数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量|4题|概念辨析与几何应用|向量垂直、平行的代数表达与几何意义关联| |解三角形|2题|边角关系与面积计算|正余弦定理推导应用及面积公式综合| |三角函数|4题|图像性质与实际建模|周期、值域、单调区间推导及摩天轮高度模型构建|

2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（二） （分值74分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，若与垂直，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，在四边形中，，，设，，则(    ) A. B. C. D. 4.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于非零向量，下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮匀速转动的转动时间单位：分钟与座舱距离地面的高度单位：米的函数关系式为，，，且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，则(    ) A. B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为分钟 C. D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为米 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若，，则        ． 8.已知向量，则与向量平行的单位向量为        ． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求角； 若的面积为，，求． 10.本小题分 已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 求函数的解析式； 求函数的单调递减区间； 当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（二） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，若与垂直，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：已知向量，若与垂直， 故，故． 故选：． 直接利用向量垂直的充要条件和向量的坐标运算求出结果． 本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 2.在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为，即， 由余弦定理得， 可得， 在中，， 所以， 可得， 则． 故选：． 利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得． 本题考查余弦定理及正切的二倍角公式的应用，属于中档题． 3.如图，在四边形中，，，设，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，， 所以，， 因为， ， 将上述两式相加得：， 即． 故选：． 利用向量的线性运算，通过两次不同路径表示再相加消元，结合的转化，最终即可表示． 本题考查了向量的线性运算，属中档题． 4.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：函数； 故当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值为； 故函数的值域为． 故选：． 直接利用三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于非零向量，下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD  【解析】解：对于选项：若，则，故A选项错误； 对于选项：若，则，故满足，故B选项错误； 对于选项：若，则不可说明，故C选项错误． 对于选项：若，则，化简得，故D选项正确； 故选：． 由平面向量基本平行垂直基本概念及数量积的性质进行判断即可． 本题以命题真假判断为载体，考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题． 6.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮匀速转动的转动时间单位：分钟与座舱距离地面的高度单位：米的函数关系式为，，，且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，则(    ) A. B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为分钟 C. D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为米 【答案】BCD  【解析】解：由题意知，函数中，，所以，因为，所以，选项A不正确； 的最小正周期为，所以该摩天轮转动一圈所用的时间为分钟，选项B正确； 由，所以， ，解得，，选项C正确； 又，所以该摩天轮座舱距离地面的最大高度为米，选项D正确． 故选：． 由题意知，得出，求出，利用求出的最小正周期，根据，，求出、，即可判断选项中的命题是否正确． 本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若，，则        ． 【答案】  【解析】解：由，，得， 所以． 故答案为：． 根据给定条件，求出，再利用半角的正切公式求出． 本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 8.已知向量，则与向量平行的单位向量为        ． 【答案】或  【解析】解：因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或． 故答案为：或． 利用与向量平行的单位向量为，求解即可． 本题考查的知识点：单位向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求角； 若的面积为，，求． 【答案】；  ．  【解析】因为， 在中，， 由正弦定理得， 可得， 因为， 所以； 因为的面积为，所以，得， 又由，由正弦定理可得， 所以，可得，， 由余弦定理得， 则， 可得． 利用正弦定理，化简已知条件，即可求得； 根据中所求，结合三角形面积公式，求得，，再利用余弦定理即可求得． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题． 10.本小题分 已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 求函数的解析式； 求函数的单调递减区间； 当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】    【解析】解：， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 则的最小正周期，解得， 所． 令， 解得， 故的单调递减区间为． 由知， 因为时，所以． 令， 则， 方程恰有两个不同的实数解， 即函数的图像与直线恰有两个不同的交点， 结合图像可知，即， 综上，实数的取值范围是． 利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可得到的解析式； 由知，写出函数单调减区间即可； 根据，求出的范围，结合图象，根据与图象有个交点，即可求解． 本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $