内蒙古2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（三）

**基本信息** 聚焦三角函数与平面向量综合应用，通过多样化题型构建知识网络，强化运算推理与模型应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与解三角形|5题（如1,3,6,9,10）|图象变换、周期计算、正余弦定理应用|从图象变换到性质（周期），再到解三角形与恒等变换的综合应用| |平面向量|3题（如2,5,8）|线性运算、数量积、夹角与投影|从线性运算到数量积，构建向量性质与几何应用的逻辑链| |函数性质|2题（如3,7）|周期判断、最值求解|结合三角函数考查性质，体现概念应用与推理能力|

2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（三） （分值72分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 2.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且则(     ) A. B. C. D. 3.在函数，，，中，最小正周期为的所有函数为(     ) A. B. C. D. 4.计算：(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则下列结论正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 6.在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列正确的是(    ) A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 若，则三角形有两个解 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知函数，，则函数的最大值是        ． 8.已知向量，，若，则        ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，且， 求的值； 求． 10.本小题分 向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为． 求函数的解析式和对称中心； 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（三） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数； 由于， 故，解得． 当时，的最小值为． 故选：． 首先利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数的，进一步利用正弦型函数的性质求出的最小值． 本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，三角函数的诱导公式，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 2.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由，得， 由是的中点知，，且，得， 所以， 则． 故选：． 根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，是基础题． 3.在函数，，，中，最小正周期为的所有函数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题． 【解答】 解：函数，它的最小正周期为， 的最小正周期为， 的最小正周期为， 的最小正周期为， 故选：． 4.计算：(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解： ． 故选：． 由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解． 本题主要考查两角和的正弦公式及诱导公式的应用，属于基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD  【解析】解：向量，，， 则，解得，故A正确； ，则，解得，故B正确； ，，若与的夹角为， 则， 故，若与方向相反， 则在上的投影向量的坐标是：，故D正确． 故选：． 对于，结合向量平行的性质，即可求解；对于，结合向量垂直的性质，即可求解；对于，结合向量模公式，即可求解；对于，结合投影向量的公式，即可求解． 本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题． 6.在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列正确的是(    ) A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 若，则三角形有两个解 【答案】BCD  【解析】解：在中，内角，，的对边分别为，，，，且； 对于选项，因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则根据余弦定理可得， 又，所以，故A选项错误； 对于选项，由正弦定理可得外接圆的半径， 根据圆的面积公式可得外接圆的面积为，故B选项正确； 对于选项，由可得， 根据基本不等式可得，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C选项正确； 对于选项，由正弦定理可得：， 即，  因为，所以， 又，所以， 因为，所以在区间内有两个解， 故三角形有两个解，故D选项正确． 故选：． 对于：利用余弦定理边角转化即可；对于：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解；对于：利用正弦定理和角的范围即可求解． 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知函数，，则函数的最大值是        ． 【答案】  【解析】解：， 令， 因为，所以， 则， 则，则当时，取最大值， 最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 由题可得，令，结合二次函数求解即可． 本题主要考查了三角恒等变换及三角函数最值的求解，属于基础题． 8.已知向量，，若，则        ． 【答案】  【解析】解：由题意可知，， ， 因为， 所以，化简得：． 故答案为：． 结合向量垂直的性质，即可求解． 本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，且， 求的值； 求． 【答案】解：由，，可得， ，则； 由，，且， 得， 可得， ．  【解析】由已知求得，进一步得到，再由二倍角的正切求解； 由已知求得，利用，展开两角差的余弦得答案． 本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题． 10.本小题分 向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为． 求函数的解析式和对称中心； 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围． 【答案】，对称中心为   【解析】解：由题意得 ， 因为图象相邻的对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为，即，解得， 故， 令，解得， 所以图象的对称中心为； 由知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得的图象， 再将所得图象向左平移个单位， 可得的图象， 令，，可知， 结合题意，在时恰有两个解， 所以直线和的图象在区间有两个交点， 结合图象，可得，即的取值范围是． 根据三角恒等变换公式化简的表达式，结合三角函数的周期公式算出的值，可得的解析表达式，然后运用正弦曲线的对称性求出图象的对称中心； 根据函数图象的平移变换，求得，从而将问题转化为直线和的图象在区间有两个交点，结合正弦函数的图象建立关于的不等式，求出实数的取值范围． 本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质、三角函数的图象变换等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力、数形结合的数学思想，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $