内蒙古2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（一）

**基本信息** 聚焦向量与三角函数综合应用，以限时训练形式考查数学抽象与运算能力，强化知识间逻辑推导与实际应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与解三角形|6题（单选1-4、多选5-6、填空7）|概念辨析与几何应用结合|向量坐标运算→数量积性质→解三角形边角关系推导| |三角函数|4题（填空8、解答9-10）|性质应用与求值综合|三角函数公式→图像对称性→值域与最值推理|

2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（一） （总分74分 限时40分钟） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且，则实数(     ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】解：已知，，且， 可得，解得或． 故选：． 由两个向量垂直的充要条件，列方程，可得的值． 本题考查两个向量垂直的性质的应用，属于基础题． 2.若，则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了二倍角公式，以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 由，求出，或，，利用二倍角正弦公式代入数值进行计算． 【解答】 解：由，得，或，， 所以， 故选A． 3.已知，则的值是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题． 利用诱导公式和二倍角公式化简为含的表达式，然后代入的值，求解即可． 【解答】 解： ． 故选：． 4.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由，得， 由是的中点知，，且，得， 所以， 则． 故选：． 根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，是基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则下列结论正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD  【解析】解：向量，，， 则，解得，故A正确； ，则，解得，故B正确； ，，若与的夹角为， 则， 故，若与方向相反， 则在上的投影向量的坐标是：，故D正确． 故选：． 对于，结合向量平行的性质，即可求解；对于，结合向量垂直的性质，即可求解；对于，结合向量模公式，即可求解；对于，结合投影向量的公式，即可求解． 本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题． 6.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是(     ) A. B. 周长的最大值为 C. 的最大值为 D. 的取值范围为 【答案】AC  【解析】解：对于，由正弦定理，得 ，A正确； 对于，，，由余弦定理，得， 则，当且仅当时取等号， 则，故，因此周长最大值为，B错误； 对于，，由选项B知， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 对于，， 由，得或， 则，D错误． 故选：． 利用正弦定理及和角的正弦判断；利用余弦定理及基本不等式求出最大值判断；利用数量积的定义及基本不等式求出最大值判断；利用和角的余弦公式，结合正切函数的性质判断． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，，若，则        ． 【答案】  【解析】解：由题意可知，， ， 因为， 所以，化简得：． 故答案为：． 结合向量垂直的性质，即可求解． 本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 8.的值为        ． 【答案】  【解析】解：原式 ． 故答案为：． 根据两角和与差的正弦公式、诱导公式及二倍角的余弦公式化简，可求得本题答案． 本题主要考查了诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等知识，属于基础题． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，，且：：：：，． 求的值； 求的值； 求的值． 【答案】解：在中， ：：：：， ：：：：， ， ，． 在中，，，， 由余弦定理可得． 由可知， 又，则， ，， 则．  【解析】本题主要考查正、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题． 由题意利用正弦定理，求得的值． 由题意利用余弦定理计算求得结果． 先用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得的值． 10.本小题分 已知函数的图象的一条对称轴方程为． 若，求的值域； 若，且，求的值． 【答案】   【解析】解：因为函数图象的一条对称轴方程为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 若， 则， 所以． 所以若，的值域为； 由知， 所以． 因为，所以， 所以． 所以． 所以． 由题意求出的值，从而求得的解析式，利用复合函数的单调性求得的值域； 由题可得，根据同角三角函数关系式求得，利用两角差的正弦公式求得，根据二倍角的余弦公式求得的值． 本题考查了同角三角的函数关系，重点考查了两角差的正弦公式及二倍角的余弦公式，属中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（一） （ 总分74分 限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且，则实数(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.若，则(    ) A. B. C. D. 3.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 6.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. B. 周长的最大值为 C. 的最大值为 D. 的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，，若，则        ． 8.的值为        ． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分在中，内角，，的对边分别为，，，且：：：：，． 求的值； 求的值； 求的值． 10.本小题分 已知函数的图象的一条对称轴方程为． 若，求的值域； 若，且，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $