精品解析：2026年河北省张家口市桥东区二模数学试题

2026年初中升学模拟考试数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小高家的冰箱有冷藏室和冷冻室，分别设置温度为和．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 2. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（ ） A. B. C. D. 3. 下列数中，能使的值为负数的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，不是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 7. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（ ） A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确 C. 结论一正确，结论二正确 D. 结论一不正确，结论二不正确 10. 如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 平行四边形的两条对角线的长分别为和，平行四边形的一条边的长为（为整数），则的值可能为________．（写出一个即可） 15. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 16. 磁力片是一种益智玩具，它能够拓展思维能力，激发想象力．如图是一个同学用10个大小相同的正五边形磁力片所拼成的图形的俯视图（正五边形磁力片两两顶点相连，围成一圈）．若磁力片的边长为，则中间围成的正多边形的中心O与磁力片最外侧的顶点A之间的距离为______．（结果精确到．参考数据：） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 18. 一道习题及其错误的解答过程如图： 计算： 解：原式……第一步 ………………第二步 ……………………第三步 （1）指出在第________步开始错误，选择喜欢的方法写出正确的解答过程： （2）计算： 19. 如图，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园－我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，其中喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为_____人； （2）在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是_____度； （3）若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为_____人； （4）学校数学兴趣小组中，甲同学从三类书籍中随机选择一种，乙同学从三类书籍中随机选择一种，则甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为_____． 21. 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … （1）充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； （2）在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； （3）某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 22. 已知半圆的直径，点在线段上，以为直径作． （1）如图，当点与点重合时，是上半圆上的一个动点（不与点，重合），的延长线交半圆于点，求证：； （2）如图，半圆中的弦，且与相切于点，当时，求的半径长； （3）若是半圆的三等分点，当与相切时，设与交于点，直接写出劣弧的长． 23. 综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 （1）在图中，连接，的长为________； （2）在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 （3）在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； （4）连接、，当最大时，直接写出的值． 24. 如图，已知抛物线（，是常数，且），顶点为，且点和都在抛物线上． （1）求，的值和点的坐标； （2）将抛物线沿轴翻折得到抛物线，请直接写出的解析式； （3）在（2）的条件下，将抛物线向下平移，与轴的两交点记为， ①从最初的状态，将至少向下平移________个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②若将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，已知直线与抛物线和一共只有两个公共点，求的取值范围； ③直线（）与②中的抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，嘉琪经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点，请你直接写出这个点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中升学模拟考试数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小高家的冰箱有冷藏室和冷冻室，分别设置温度为和．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求冷藏室温度比冷冻室温度高多少，只需用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可． 【详解】解： 冷藏室温度比冷冻室温度高． 2. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行的判定定理，结合已知，分析得出需满足的角度关系，从而确定两条钢轨平行的条件． 【详解】解：根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行， ， 只需要确保，此时， 两条钢轨平行． 3. 下列数中，能使的值为负数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 4. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除，掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项：指把多项式中所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项(即同类项)合并成一项，法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘：指底数相同的幂相乘时，底数不变，指数相加；同底数幂乘方：指幂本身再进行乘方运算时，底数不变，指数相乘；除法计算法则：指底数相同的幂相除时，底数不变，指数相减；即可得到答案． 【详解】解：A、，选项不符合题意； B、，选项符合题意； C、，选项符合题意； D、，选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，不是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知该几何体的主视图，左视图及俯视图分别为，，， ∴C选项符合题意． 6. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 7. 如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用因式分解和分式运算法则化简原式，再代入x的值计算即可． 【详解】解：原式， 把代入得：． 9. 嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（ ） A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确 C. 结论一正确，结论二正确 D. 结论一不正确，结论二不正确 【答案】A 【解析】 【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k值，再分别验证两个结论即可． 【详解】解：∵原方程为，嘉嘉抄错的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为， 将代入错方程得：，解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于，两根之和为，这里，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 10. 如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，进而根据全等三角形的性质可证是等边三角形，进而根据三角形的外角定理可知，进而可知即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴,, ∵, ∴是等边三角形， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴，, ∴， ∴． 11. 若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（ ） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别将点A平移至、、、四点，观察点E是否落在正方形内部，即可获得答案． 【详解】解：A.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； B.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； C.如下图，点平移至点，点E落在正方形内部，故本选项符合题意； D.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．合并同类项是系数相加，字母和字母的指数不变． 【详解】解：原式 = ． 故答案为：． 14. 平行四边形的两条对角线的长分别为和，平行四边形的一条边的长为（为整数），则的值可能为________．（写出一个即可） 【答案】2（均可） 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，结合三角形三边关系得到边长的取值范围，根据为整数，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分， 两条对角线一半的长度分别为，， 平行四边形的一边与两条对角线的一半可构成三角形， 根据三角形三边关系可得， 即， 又为整数， 可取中任意一个． 15. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 16. 磁力片是一种益智玩具，它能够拓展思维能力，激发想象力．如图是一个同学用10个大小相同的正五边形磁力片所拼成的图形的俯视图（正五边形磁力片两两顶点相连，围成一圈）．若磁力片的边长为，则中间围成的正多边形的中心O与磁力片最外侧的顶点A之间的距离为______．（结果精确到．参考数据：） 【答案】9.2 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质、解直角三角形的应用．先根据正多边形的性质求得正五边形的每个内角度数，如图，连接，．设与正五边形的边的交点为C，则有，，，再求得，利用锐角三角函数分别求，，进而可求解． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 如图，连接，．设与正五边形的边的交点为C， 则，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.2． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先移项、再进行系数化为1即可求解； （2）将代入到进行计算可得结果； （3）将代入（1）中的即可得到方程组的解． 【详解】解：（1）由题意得， ； （2）由题意，将代入得， 解得； （3）将代入，得：， ∴方程组的解为：． 18. 一道习题及其错误的解答过程如图： 计算： 解：原式……第一步 ………………第二步 ……………………第三步 （1）指出在第________步开始错误，选择喜欢的方法写出正确的解答过程： （2）计算： 【答案】（1）一，正确解答过程如下： 原式 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算进行求解即可； （2）根据二次根式的运算及负指数幂可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ． 在和中 ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据“”证明全等即可； （2）由（1）可知，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． ， ． 20. 4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园－我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，其中喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为_____人； （2）在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是_____度； （3）若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为_____人； （4）学校数学兴趣小组中，甲同学从三类书籍中随机选择一种，乙同学从三类书籍中随机选择一种，则甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为_____． 【答案】（1）100，25 （2）144 （3）800 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据A的人数及所占比值求出总人数，总人数减去A、B、C、E的人数，可求D人数即可； （2）360度乘以C所占总人数的比值，即可求出 C“科技类”所对应的圆心角度数； （3）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即学校此次被调查的学生总人数为100人， 人， 即喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为25人； 故答案为：100；25 【小问2详解】 解：， 即“科技类”所对应的圆心角度数是144度； 故答案为：144 【小问3详解】 解：人， 即最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为800人； 故答案为：800 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 故答案为： 21. 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … （1）充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； （2）在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； （3）某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1），， （2）①；②行驶约千米会自动报警 （3）充电时间为25分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）①由题意可设函数关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； ②由题意可把代入①中函数解析式进行求解即可； （3）设充电分钟，据题意可得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 充电状态下，充电1分钟，增加的电量；汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量；该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为分钟； 【小问2详解】 解：①由表格可知当时，，设函数关系式为， 时，， ， ， ∴函数关系式为； ②由题意可把代入①中函数解析式，得：， 解得：， 答：行驶约千米会自动报警 【小问3详解】 解：设充电分钟，据题意可得： 解得； 答：充电时间为25分钟． 22. 已知半圆的直径，点在线段上，以为直径作． （1）如图，当点与点重合时，是上半圆上的一个动点（不与点，重合），的延长线交半圆于点，求证：； （2）如图，半圆中的弦，且与相切于点，当时，求的半径长； （3）若是半圆的三等分点，当与相切时，设与交于点，直接写出劣弧的长． 【答案】（1）连接， 为的直径， ， ， ， ． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，然后根据垂径定理可进行求解； （2）连接，过点作，由题意易得，，然后根据垂径定理及勾股定理可建立方程进行求解； （3）由题意可分：当点E靠近于点A的半圆的三等分点，当点E靠近于点B的半圆的三等分点，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作，如图所示： ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∵半圆的直径， ∴， 设，则有， 解得：（负根舍去）， 即的半径为； 【小问3详解】 解：由题意可分：当点E靠近于点A的半圆的三等分点，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为； 当点E靠近于点B的半圆的三等分点，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴劣弧的长为； 综上所述：劣弧的长为或． 23. 综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 （1）在图中，连接，的长为________； （2）在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 （3）在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； （4）连接、，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）所在图形如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理进行求解即可； （2）由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据三角函数可进行求解； （3）先作线段的垂直平分线（分别以点C、点D为圆心，以大于长为半径画弧，上下分别交于一点，这两点所连直线即为线段的垂直平分线 ），然后以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点Q，再分别以点B、Q为圆心，大于长为半径画弧交于一点，最后连接这个点和点A，交于点P，则问题可求解； （4）由题意易得点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作，然后可得，进而根据解直角三角形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知：， ∵点落在上，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：所作图形略， 由作图得的垂直平分线也垂直平分， 由线段的垂直平分线的性质可知：， 由折叠可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由折叠可知：，则点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，如图， 要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 24. 如图，已知抛物线（，是常数，且），顶点为，且点和都在抛物线上． （1）求，的值和点的坐标； （2）将抛物线沿轴翻折得到抛物线，请直接写出的解析式； （3）在（2）的条件下，将抛物线向下平移，与轴的两交点记为， ①从最初的状态，将至少向下平移________个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②若将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，已知直线与抛物线和一共只有两个公共点，求的取值范围； ③直线（）与②中的抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，嘉琪经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点，请你直接写出这个点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意直接进行求解即可； （3）①设将向下平移n（）个单位长度，则平移后的表达式为，由题意可令，则有，设该方程的两个根为，则有与轴的两交点为，，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； ②由题意易得抛物线的表达式为，然后得出当直线与抛物线和一共只有两个公共点时的临界值，进而问题可求解； ③设直线（）与②中的抛物线的交点，，直线与抛物线的交点，，根据一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式可得，，然后得出直线的解析式为，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ，解得：， ∴抛物线， ∴， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：由将抛物线沿轴翻折得到抛物线，可知：抛物线与抛物线的开口方向相反，顶点坐标相同， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：①设将向下平移n（）个单位长度，则平移后的表达式为， 令，则有，设该方程的两个根为，则有与轴的两交点为，， ∴根据根与系数的关系可得， 当点，之间的距离为个单位长度时，即， ∴， 解得：， ∴从最初的状态，将至少向下平移个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②由将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，可知抛物线的表达式为， ∴当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线和有3个公共点， 联立得：，消去y得：，即， ∴，解得：； 当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线和有1个公共点， 联立，消去y得：，即， ∴，解得：； ∴当直线与抛物线和一共只有两个公共点时，则的取值范围为； ③设直线（）与②中的抛物线的交点，，直线与抛物线的交点，， 由②可知：抛物线的表达式为，与直线联立得：， 消去y得：，即，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵点，在直线上， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：，即； 同理可得：， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴直线过定点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $