第三章 概率初步 期末复习 讲义 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第三章 概率初步 一、事件的分类 1.必然事件： 的事件，发生概率为1 2.不可能事件： 的事件，发生概率为0 3.随机事件（不确定事件）： 的事件，概率介于0和1之间 二、频率与概率 1.频率：在多次试验中，某个事件出现的 叫频数，频数÷试验总次数=频率 2.规律：当试验次数很大时，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率 3.关系：频率是试验值，具有波动性；概率是理论值，固定不变 三、简单概率计算 1.计算公式：P (事件A) = ÷所有等可能出现的结果总数 2.取值范围：对于任意事件 A， ≤ P (A) ≤ 3.必然事件：P= 4.不可能事件：P= 四、游戏的公平性 判断规则：若游戏双方获胜的概率 ，则游戏公平；概率 ，则游戏不公平。可通过修改规则、调整得分等方式让游戏变得公平。 五、等可能试验常见类型 摸球、掷骰子、转转盘、抽卡片、抛硬币等，计算时保证每个结果出现的可能性大小一致。 1.混淆频率与概率，误将频率当作概率 2.计算概率时，漏数、多数总结果数或符合条件的结果数 3.判断事件类型出错，分不清必然、不可能、随机事件 4.判断游戏公平性，只看结果不计算概率 5.忽略 “等可能性” 前提，直接套用概率公式 1.枚举法：逐一列出所有等可能结果，适用于简单题型 2.对比分析法：区分频率、概率，结合试验数据理解概念 3.逆向验证：算出概率后，反向检验总结果与符合条件结果是否正确 4.公平性解题思路：先算双方概率，再对比、修改规则 题型一 事件的分类 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）成语是中华文化的一大瑰宝，下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．竹篮打水 D．画饼充饥 2．（25-26七年级下·重庆·期中）下列事件是不可能事件的是（   ） A．明天是晴天 B．买彩票中奖 C．投篮命中 D．一年有13个月 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列事件是必然事件的是（     ） A．打开电视机，正在播放动画片 B．在一个装有个红球的口袋中摸出个球，正好是红球 C．某彩票中奖率是，买张中奖了 D．两个奇数相乘结果为偶数 4．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 题型二 判断事件发生可能性大小 5．（25-26七年级下·河北张家口·期中）天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性比较大 C．明天一定不会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 6．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．大海捞针 C．水中捞月 D．百发百中 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（   ） A．夕阳西下 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 8．（25-26七年级下·江西吉安·期中）将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（   ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 题型三 用频率估计概率 9．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（     ） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 12．（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明用这个图案进行如下实验，他用一个长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此可估计小球落在不规则图案内的概率是（     ） A． B． C． D． 题型四 列举法求概率 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·山东日照·二模）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰有1只雄鸟的概率是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·湖南·三模）学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·河南周口·模拟预测）如图，电路图上有三个开关S、、和两个小灯泡、，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（） A． B． C． D．无法确定 题型五 根据概率公式计算概率 17．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，这是嘉嘉、淇淇两名同学手中的扑克牌．若嘉嘉从淇淇手中随机抽取一张，抽到的牌恰好与自己手中的其中一张牌组成一对（两张牌数字相同）的概率为（   ） A． B． C． D．1 18．（25-26七年级下·广东深圳·期中）深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为、四组．其中一支队伍甲抽中组的概率是（    ） A． B． C． D．1 19．（25-26七年级下·山东烟台·期中）某十字路口的交通信号灯的设置时间为：红灯亮30秒，绿灯亮60秒，黄灯亮10秒，则当小明随机经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为（    ） A． B． C． D．不能确定 20．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地落在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是（    ） A． B． C． D． 题型六 已知概率求数量 21．（2026·四川成都·三模）在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 22．（2026·贵州遵义·模拟预测）一个暗箱中装有a个除颜色外其他完全相同的球，其中红色的球有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红色球的频率稳定在，那么可以估算a的值是（     ） A．8 B．10 C．12 D．16 23．（2026·宁夏吴忠·一模）一只不透明的袋子中，装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 题型七 几何概率 25．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为（     ） A． B． C． D． 26．（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 27．（2026·河南洛阳·二模）在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在A，B，C（B，C为环形区域）三个区域中的概率．把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（     ） A． B． C． D． 28．（2026·河北·二模）把同一个正方形木板平均分割成下图各区域，假设飞镖击中正方形木板的每一处是等可能的（击中正方形边界或没有击中正方形，则重投一次），任意投掷飞镖一次，则飞镖击中正方形木板中阴影部分的概率最大的是（   ） A． B． C． D． 题型八 概率的应用 29．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 30．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 31．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步 一、事件的分类 1.必然事件：一定发生的事件，发生概率为1 2.不可能事件：一定不发生的事件，发生概率为0 3.随机事件（不确定事件）：可能发生也可能不发生的事件，概率介于0和1之间 二、频率与概率 1.频率：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数，频数÷试验总次数=频率 2.规律：当试验次数很大时，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率 3.关系：频率是试验值，具有波动性；概率是理论值，固定不变 三、简单概率计算 1.计算公式：P (事件A) =事件A可能出现的结果数÷所有等可能出现的结果总数 2.取值范围：对于任意事件 A，0 ≤ P (A) ≤ 1 3.必然事件：P=1 4.不可能事件：P=0 四、游戏的公平性 判断规则：若游戏双方获胜的概率相等，则游戏公平；概率不相等，则游戏不公平。可通过修改规则、调整得分等方式让游戏变得公平。 五、等可能试验常见类型 摸球、掷骰子、转转盘、抽卡片、抛硬币等，计算时保证每个结果出现的可能性大小一致。 1.混淆频率与概率，误将频率当作概率 2.计算概率时，漏数、多数总结果数或符合条件的结果数 3.判断事件类型出错，分不清必然、不可能、随机事件 4.判断游戏公平性，只看结果不计算概率 5.忽略 “等可能性” 前提，直接套用概率公式 1.枚举法：逐一列出所有等可能结果，适用于简单题型 2.对比分析法：区分频率、概率，结合试验数据理解概念 3.逆向验证：算出概率后，反向检验总结果与符合条件结果是否正确 4.公平性解题思路：先算双方概率，再对比、修改规则 题型一 事件的分类 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）成语是中华文化的一大瑰宝，下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．竹篮打水 D．画饼充饥 【答案】A 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，判断各选项对应的事件类型即可得到结果． 【详解】解：A．不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件； B．旭日东升是一定会发生的自然现象，是必然事件； C．竹篮打水一定无法实现打水的目的，是不可能事件； D．画饼不能真正填饱肚子，无法达到充饥效果，是不可能事件． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）下列事件是不可能事件的是（   ） A．明天是晴天 B．买彩票中奖 C．投篮命中 D．一年有13个月 【答案】D 【分析】先明确不可能事件的定义，再逐一判断选项，找出一定不会发生的事件即可，不可能事件的定义是：在一定条件下必然不会发生的事件． 【详解】解：∵ 选项A，明天是晴天，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B，买彩票中奖，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项C，投篮命中，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D，公历中一年固定有12个月，不可能有13个月，该事件必然不会发生。 ∴ D是不可能事件，符合题意． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列事件是必然事件的是（     ） A．打开电视机，正在播放动画片 B．在一个装有个红球的口袋中摸出个球，正好是红球 C．某彩票中奖率是，买张中奖了 D．两个奇数相乘结果为偶数 【答案】B 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断选项，选出符合定义的结果，必然事件是一定条件下必然会发生的事件． 【详解】解：A、打开电视机不一定正在播放动画片，可能播放其他节目，属于随机事件，不符合要求； B、∵口袋中只有个红球，没有其他颜色的球， ∴摸出任意个球一定是红球，该事件一定会发生，属于必然事件，符合要求； C、中奖率为，买张彩票可能中奖也可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； D、两个奇数相乘的结果一定是奇数，不可能是偶数，属于不可能事件，不符合要求． 4．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 【答案】C 【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】A、从四大名著中任意抽取一本，可能抽到《三国演义》，该事件是随机事件，因此A错误； B、掷一枚质地均匀的骰子，点数最大为6，不可能掷出点数7，该事件是不可能事件，因此B错误； C、“旭日东升”是自然规律，一定会发生，该事件是必然事件，因此C正确； D、一年共12个月，13名队员中，至少有两名队员生日在同一个月，该事件是必然事件，因此D错误． 题型二 判断事件发生可能性大小 5．（25-26七年级下·河北张家口·期中）天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性比较大 C．明天一定不会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】B 【详解】解：由图可知，明天某地的降水概率为， 接近，但不等于， 明天下雨的可能性比较大，但不是必然事件． 6．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．大海捞针 C．水中捞月 D．百发百中 【答案】C 【分析】只需判断每个成语对应事件的类型，比较发生概率的大小即可得到结果． 【详解】解：∵瓜熟蒂落是必然事件，发生概率为，百发百中是随机事件，大海捞针是随机事件，发生概率大于0小于1，水中捞月是不可能事件，发生概率为0， ∴水中捞月发生的可能性最小． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（   ） A．夕阳西下 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 【答案】D 【详解】解：A、夕阳西下是必然事件，发生可能性为1； B、旭日东升是必然事件，发生可能性为1； C、守株待兔是随机事件，发生可能性大于0且小于1； D、水中捞月是不可能事件，发生可能性为0； 则发生可能性最小的是水中捞月． 8．（25-26七年级下·江西吉安·期中）将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（   ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【答案】D 【分析】先计算所有非红球的总数量，再和摸出的球数比较，即可判断该事件的类型． 【详解】解：∵袋子中非红球（黄球绿球）的总数为个， ∴要一次性摸出8个球，最多只能取出7个非红球， ∴摸出的8个球中至少有1个红球． ∴“摸到红球”这个事件必然发生． 题型三 用频率估计概率 9．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察折线统计图，随着试验次数的增加，频率波动幅度减小并趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】解：观察折线统计图可知，随着摸棋子次数的增加，黑色棋子出现的频率逐渐稳定在 附近， 可估计摸到黑色棋子的概率为． 11．（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（     ） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率随试验次数增大的稳定值，即可得到概率的估计值． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值， 观察表格数据可知，随着种子粒数逐渐增大，种子发芽的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这批种子发芽的概率为． 12．（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明用这个图案进行如下实验，他用一个长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此可估计小球落在不规则图案内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案内的频率逐渐稳定在左右， 由频率估计概率可得小球落在不规则图案内的概率应为，选项符合题意． 题型四 列举法求概率 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先列举出所有排成三位数的等可能结果，再找出其中偶数的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵用2、3、4三个数字排成一个三位数， 所有等可能的结果有：234，243，324，342，423，432，共6种． 其中排出的数是偶数的结果有：234，324，342，432，共4种． ∴排出的数是偶数的概率为． 14．（2026·山东日照·二模）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰有1只雄鸟的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，解题思路为列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】设雌鸟记为，雄鸟记为，孵化2枚鸟卵所有等可能的结果为：，，，，共种等可能结果． ∵其中2只雏鸟中恰有1只雄鸟的结果有种， ∴所求概率． 15．（2026·湖南·三模）学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出从5人中选3人的所有等可能结果数，再求出同时选中丁、戊的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：从5人中选3人的选法为： （甲、乙、丙）、（甲、乙、丁）、（甲、乙、戊）、（甲、丙、丁）、（甲、丙、戊）、（甲、丁、戊）、（乙、丙、丁）、（乙、丙、戊）、（乙、丁、戊）、（丙、丁、戊）， 总共有10种等可能的结果，同时选中丁、戊有3种结果， 则其概率为． 16．（2026·河南周口·模拟预测）如图，电路图上有三个开关S、、和两个小灯泡、，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】列举出任意闭合两个开关的所有可能情况，找出小灯泡不发光的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：共有3个开关、、，任意闭合其中两个， 所有可能的情况有：闭合和，闭合和，闭合和，共3种， 闭合和时，发光；闭合和时，发光；闭合和时，干路开关断开，电路断路，灯泡均不发光， 小灯泡不发光的情况只有1种， 小灯泡不发光的概率． 题型五 根据概率公式计算概率 17．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，这是嘉嘉、淇淇两名同学手中的扑克牌．若嘉嘉从淇淇手中随机抽取一张，抽到的牌恰好与自己手中的其中一张牌组成一对（两张牌数字相同）的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：嘉嘉手中的牌是2、5、8，淇淇手中的牌是8、9、4、5， 从淇淇手中随机抽取一张，总共有4种等可能的结果， 能和嘉嘉手中牌组成一对的牌是8和5，共2种结果， ∴概率为． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期中）深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为、四组．其中一支队伍甲抽中组的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：其中一支队伍甲抽中组的概率是． 19．（25-26七年级下·山东烟台·期中）某十字路口的交通信号灯的设置时间为：红灯亮30秒，绿灯亮60秒，黄灯亮10秒，则当小明随机经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查简单概率的计算，解题思路是用绿灯亮的时长除以信号灯一个周期的总时长，即可得到遇到绿灯的概率． 【详解】解：∵ 红灯亮30秒，绿灯亮60秒，黄灯亮10秒， ∴ 信号灯一个周期的总时长为 秒， ∵ 绿灯亮的时长为60秒， ∴ 遇到绿灯的概率 . 20．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地落在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小正方形的边长为，则正方形地板的面积为，黑色三角形区域的面积为，即可得米粒最终停留在黑色三角形区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， 正方形地板的面积为， 黑色三角形区域的面积为， ∴米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是． 题型六 已知概率求数量 21．（2026·四川成都·三模）在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋中白球有个，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】设袋中白球有个，则总球数为个， 经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在， ，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋中白球有个． 22．（2026·贵州遵义·模拟预测）一个暗箱中装有a个除颜色外其他完全相同的球，其中红色的球有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红色球的频率稳定在，那么可以估算a的值是（     ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值近似等于事件发生的概率，结合概率公式即可计算总球数的值． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸到红色球的频率稳定在， ∴可估计摸到红球的概率为， 根据概率计算公式可得 ， 解得 ． 23．（2026·宁夏吴忠·一模）一只不透明的袋子中，装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用概率公式“摸到某颜色球的概率=该颜色球的个数÷球的总个数”求解即可． 【详解】解：设红球的个数为，则袋子中球的总个数为． ∵ 摸到白球的概率为， ∴ ， 解得 ． 红球的个数为4． 24．（2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 题型七 几何概率 25．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为． 26．（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 27．（2026·河南洛阳·二模）在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在A，B，C（B，C为环形区域）三个区域中的概率．把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各个区域的面积，然后根据概率公式可进行求解． 【详解】解：由题意可知：A区域的面积为，B区域的面积为，C区域的面积为，图形总面积为， ∴． 28．（2026·河北·二模）把同一个正方形木板平均分割成下图各区域，假设飞镖击中正方形木板的每一处是等可能的（击中正方形边界或没有击中正方形，则重投一次），任意投掷飞镖一次，则飞镖击中正方形木板中阴影部分的概率最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出四个选项中击中阴影部分的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：A．图中平均分成4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； B．图中平均分成了4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； C．图中平均分成了8份，阴影部分占了3份，故击中阴影部分的概率为； D．图中平均分成4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； ∵， ∴命中阴影部分的概率最大的是C． 题型八 概率的应用 29．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 30．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 31．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 32．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $