专题03概率初步期末复习讲义(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03概率初步期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明确三类事件：必然事件 (P=1)、不可能事件 (P=0)、随机事件 (0<P<1)，能结合生活实例区分。 2.理解：大量重复试验时，频率稳定在概率附近；频率是试验数据，概率是固定理论值。 3.掌握古典概型条件：所有结果等可能，熟记公式P(A)=（n总结果，m符合条件结果）。 1.摸球、转盘、掷骰子题型，有序列举全部基本结果。 2.套用公式列式计算单一事件概率。 3.分别算出双方获胜概率，对比大小判定游戏公平；不公平可修改数量使概率相等。 1.基础题：快速判断事件类型、直接套用公式算概率，保准确率 2.中档题：熟练解决几何概率、频率估概率、游戏公平性问题 3.拓展题：能设计简单概率试验，结合实际分析概率意义 题型01.事件的分类 题型02.事件发生可能性大小的判断 题型03.求某事件的频率 题型04.频率与概率关系的辨析 题型05.概率的意义理解 题型06.由频率估计概率 题型07.频率估计概率的综合应用 题型08.列举随机实验的所有可能结果 题型09.判定试验结果是否等可能 题型10.列举法求概率 题型11.由概率公式计算概率 题型12.由概率作判断 题型13.已知概率求数量 题型14.游戏公平性 题型15.几何概率 题型16.概率综合应用 知识点01:事件的分类 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 分类 定义 概率取值 典型例子 易错提醒 必然事件 一定条件下，事先确定必然发生 P=1 抛出石块下落 P=1不代表是随机事件 不可能事件 一定条件下，必然不会发生 P=0 袋中全红球，摸出白球 P=0无发生可能性 随机事件 无法预先确定是否发生，可能发生、可能不发生 0＜P＜1 掷硬币正面向上 取值介于 0 和 1 之间 补充：确定性事件 = 必然事件 + 不可能事件，考试选择常考概念辨析。 知识点02:频率与概率（统计求概率） 1.频率公式：频率=，频数：事件实际发生次数 2.大数定律：试验次数不断增大，频率在概率附近上下波动，即频率稳定性定理； 3.应用：用多次试验稳定后的频率估算概率，再反求总体数量（样本估计总体）。 区分：概率是定值（理论），频率是变数（实际试验）。 知识点03:几何概率（图形类概率，颜值高又简单） 核心公式：P (A)= 事件 A 的图形面积 ÷ 总图形面积关键：看 “面积占比”，和图形形状无关！ 经典例题：七巧板拼成的正方形中，阴影部分面积占，小球停在阴影的概率就是 知识点04:古典概型（等可能事件，本章计算核心） 1. 两大前提条件 ①所有结果总数有限；②每种结果出现可能性完全相同。 2. 概率公式 P(A)= n：全部等可能结果；m：事件A包含有利结果。 常见模型：摸球、掷骰子、抽卡片、均分转盘。 关键提醒：转盘各扇形面积不相等≠等可能，不能直接数份数算概率。 知识点05:游戏公平性（期末必考解答） 1.判断依据：分别算出甲乙双方获胜概率； 2.公平：P甲=P乙；不公平：P甲≠P乙； 3.修改规则思路：增减球数、更改得分规则，使双方获胜概率相等。 知识点06:期末考试题型汇总 选填：事件分类判断、简单概率计算、利用频率估算总数； 解答：一步试验概率计算 + 游戏公平判定、修改方案。 知识点07:核心公式 + 概念速记卡（一秒回忆 1.频率公式：频率 = （m = 发生次数，n = 试验次数）) 2.等可能事件概率：P (A)=（m = 事件 A 结果数，n = 总等可能结果数） 3.几何概率：P (A)= 4.概率范围：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0＜P＜1 知识点08:高频易错点 易错内容 错误表现 正确思路 事件分类概念混淆 遗漏确定性事件包含必然、不可能两类，错把必然事件当成随机事件 牢记：确定性事件分为必然事件、不可能事件，随机事件概率在 01 之间 概率公式参数颠倒 列式时m和n写反，总结果数当作符合条件结果 n是全部结果总数，m是符合题意的结果数量，先找总数再找有利数 频率与概率混用 单次试验得到的频率直接等同于概率 频率随试验次数变化，只有大量重复试验后稳定的频率才可近似估算概率 转盘概率计算误区 不等面积转盘，直接按格子数量算概率 面积不等，每种结果可能性不同，不能用古典概型公式直接计算 公平性主观判断 不计算概率，凭直觉判定游戏公平与否 必须分别计算双方获胜概率，依据概率是否相等判断公平性 题型01.事件的分类 1．有两个事件，事件（1）：50人的班里有两名同学生日是同一天；事件（2）：通常温度降到以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）（2）都是必然事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【答案】D 【详解】解： 一年最多有366天，50人中可能出现两名同学生日相同，也可能没有出现，故事件（1）是随机事件； 根据物理规律，通常温度降到以下，纯净的水一定会结冰，故事件（2）是必然事件； 综上，（1）是随机事件，（2）是必然事件． 2．下列事件中是必然事件的是（     ） A．打开电视机，正在播放《开学第一课》 B．抛掷一枚硬币10次，有5次正面朝上 C．两个负数的和为负数 D．买一张彩票，一定会中奖 【答案】C 【分析】根据必然事件的定义，必然事件是一定发生的事件，逐一判断各选项即可得到答案； 【详解】解：A选项，打开电视机，不一定正在播放《开学第一课》，故属于随机事件，不符合要求． B选项，抛掷一枚硬币10次，不一定有5次正面朝上，故属于随机事件，不符合要求． C选项，根据有理数加法法则，两个负数的和一定为负数，是一定会发生的事件，故属于必然事件，符合要求． D选项，买一张彩票，不一定会中奖，故属于随机事件，不符合要求． 3．王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是___________事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试___________次，才能正确输入密码． 【答案】 随机 100 【分析】本题考查了事件的分类，可能性大小，根据事件的分类可知该事件为随机事件，再计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开即可． 【详解】解：王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是随机事件， 四位数字，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则百位上的数字即有可能是中的一个，有10种可能， 同样，假设十位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也有10种可能， 依此类推，要打开该锁有种可能， 在最差的情况下，即前99次试验都失败，则第100次必定成功， 故最多可能试验100次． 故答案为：随机；100． 题型02.事件发生可能性大小的判断 4．在下列事件中，不可能事件是（     ） A．在共装有5只红球的袋子里，摸出一只白球 B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C．买一张体育彩票，中大奖 D．小海在练习篮球投篮时5投全中 【答案】A 【分析】根据不可能事件的定义判断，不可能事件是指一定不会发生的事件，逐一分析各选项的事件类型即可得到结果． 【详解】解： A、袋子中只有只红球，没有白球，一定不可能摸出白球，属于不可能事件，符合要求； B、 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； C、 买一张体育彩票中大奖，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； D、 小海投篮投全中，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 故选：A． 5．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 6．将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 题型03.求某事件的频率 7．王力同学在做“投掷一枚正方体骰子”的实验时，连续抛了10次，共有3次掷得数字“5”．则掷得数字“5”的频率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率的定义，代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意知，掷得数字“5”的频率为 ． 8．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 9．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 10．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）估计表中的频率估计概率即可； （3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 题型04.频率与概率关系的辨析 11．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 12．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 【答案】① 【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率． 【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确； ②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 13．下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 题型05.概率的意义理解 14．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断选项即可． 【详解】解：∵抽到一等奖的概率为0.01，说明每次抽奖都有0.01的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生，且每次抽奖结果相互独立； ∴A选项：抽101次也可能没有抽到一等奖，A错误； B选项：抽100次不一定必有一次抽到一等奖，B错误； C选项：抽一次也可能抽到一等奖，C正确； D选项：前99次没抽到，第100次抽到一等奖的概率仍为0.01，不是肯定抽到，D错误． 15．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 _______． 【答案】 【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为，活到25岁的只数为， 故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为． 故答案为：． 【点睛】考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1． 16．若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】A 【分析】根据概率的意义去理解即可． 【详解】∵气象部门预报明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大 故选A． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 题型06.由频率估计概率 17．为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 有效催化频数 有效催化频率 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（结果精确到）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当实验次数越大时，频率越稳定，越接近真实概率，本题中最大实验总次数为，对应有效催化频率为，又 题目要求结果精确到，，且随实验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该新型催化剂的有效催化概率约为， 故选：C． 18．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值可作为概率的估计值，观察表格中频率的稳定趋势即可估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，随着每批粒数即试验次数的增加，该油菜籽发芽的频率在附近波动并趋于稳定， 故估计该油菜籽种子发芽的概率为． 19．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（     ）． A．160 B．140 C．100 D．70 【答案】B 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在， ∴点落在不规则图案上的概率为． ∴估计阴影部分面积约为． 20．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的数量如下表： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 42 88 141 176 445 720 900 合格率 0.84 a 0.94 0.88 b 0.90 0.90 (1)填空：________，________；（结果精确到0.01） (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（结果精确到0.1） 【答案】(1) 0.88，0.89 (2) 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.9 【分析】 （1）根据合格率等于合格数除以抽取件数计算a和b； （2）根据大量重复试验中频率稳定在某一固定值附近，用稳定后的频率估计概率． 【详解】（1）解：由题意得，合格率等于合格数除以抽取件数， 所以 ； （2）解：观察表格可得，当抽取件数较大时，合格率在附近波动并趋于稳定， 因此估计任抽一件衬衣是合格品的概率为． 题型07.频率估计概率的综合应用 21．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可． 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为，可得该事件的概率约为； A：∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为 ，符合要求； B：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C：∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D：∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为 ，不符合要求． 22．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 23．在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解． 【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1﹣0.26﹣0.44＝0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 24．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆 (2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为秒，秒，秒 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键. （1）用汽车总量乘以频率即可得出结果； （2）由频率估计概率，即可得出结果. 【详解】（1）解：汽车在此左转的车辆数为：(辆)， 汽车在此右转的车辆数为：(辆)， 汽车在此直行的车辆数为：(辆) 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆. （2）根据频率估计概率的知识，得 ∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒， ∴可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为(秒)， 右转绿灯亮的时间为(秒)， 直行绿灯亮的时间为(秒). 题型08.列举随机实验的所有可能结果 25．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 26．九年级（1）班有50名同学，学校发了8张参观券，老师决定任意分给8名同学，他将50名同学按1～50进行编号，用计算机随机产生________～________之间的整数，随机产生的________个整数所对应的编号的同学就领取参观券． 【答案】 【分析】共有50名同学，每一张参观券分给的同学都有50种可能，所以分8次实验，每次实验都要产生1-50之间的数． 【详解】解：用计算机随机产生1∼50之间的整数，随机产生的8个整数所对应的编号的同学就领取参观券， 故答案为：1，50，8． 【点睛】本题考查了用计算器做模拟实验，解题的关键是首先根据题意确定好所需要的数的范围，再根据条件对数据进行分类． 27．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 题型09.判定试验结果是否等可能 28．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 29．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 30．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型10.列举法求概率 31．有三张正面分别写有，，2三个数字的卡片，除正面的数字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，则取出的这两张卡片上的数字恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用列举法列出所有等可能的抽取结果，再找出满足两张卡片数字互为相反数的结果，根据概率公式计算即可得到答案. 【详解】解：将三张卡片的数字分别记为，，， 从中随机抽取2张，所有等可能的结果为：，，，共种； ∵ 其中两张卡片数字恰好互为相反数的结果只有这种， ∴. 32．某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级(每个班级只能被分在其中一个组)，那么1班和2班被分在同一组的概率是_______． 【答案】 【分析】先列出所有等可能的分组结果，再找出1班和2班同组的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设4个班级分别为1班、2班、3班、4班， 可能出现的所有情况如下： 情况1：一组1班和2班，二组3班和4班； 情况2：一组1班和3班，二组2班和4班； 情况3：一组1班和4班，二组2班和3班； 情况4：一组2班和3班，二组1班和4班； 情况5：一组2班和4班，二组1班和3班； 情况6：一组3班和4班，二组1班和2班； 共有6种等可能的结果，其中1班和2班被分在同一组的结果有2种， ∴1班和2班被分在同一组的概率是． 33．如图，电路图上有三个开关S、、和两个小灯泡、，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】列举出任意闭合两个开关的所有可能情况，找出小灯泡不发光的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：共有3个开关、、，任意闭合其中两个， 所有可能的情况有：闭合和，闭合和，闭合和，共3种， 闭合和时，发光；闭合和时，发光；闭合和时，干路开关断开，电路断路，灯泡均不发光， 小灯泡不发光的情况只有1种， 小灯泡不发光的概率． 34．如图是一个管道示意图，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，若小球恰好从A入口下落，则小球从②号出口落下的概率是_______． 【答案】 【分析】根据题意，小球在每个交叉口有向左或向右两种可能且可能性相等，可以通过列举法列出所有可能的路径，找出从②号出口落下的路径数，利用概率公式求解． 【详解】解：由图可知，小球从入口落下，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．所有可能的路径共有4种，分别为： 第一层向左，第二层向左，从①号出口落下； 第一层向左，第二层向右，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向左，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向右，从③号出口落下． 其中从②号出口落下的情况有2种． 根据概率公式，小球从②号出口落下的概率． 35．2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． (1)有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； (2)某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“随机事件的概率该事件可能出现的结果数所有等可能出现的结果总数”这一公式求解； （2）先通过列表法列出两人选择入口的所有等可能结果，再统计出“两人选择同一侧看台”的结果数，最后用目标结果数除以总结果数得到概率． 【详解】（1）解：由题意可知，共有4场比赛，小明随机观看一场，其中观看扬州苏州的情况只有1种， 则观看扬州苏州的概率为； （2）解：根据题意，用列表法列出所有可能的结果： 小华小丽 1(北) 2(南) 3(南) 4(北) 1（北） 2（南） 3（南） 4（北） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人在同一侧看台的结果有8种： 同在北看台： 同在南看台： 答：他们在相同一侧看台观赛的概率为． 题型11.由概率公式计算概率 36．在一个不透明的布袋中，装有4个黑球、3个白球、3个黄球、2个红球，从中随机摸出1个球，有两种颜色的球被摸到的概率相同，则这两种颜色分别是（     ） A．黑球和白球 B．黄球和白球 C．黑球和红球 D．红球和白球 【答案】B 【分析】先计算布袋中球的总数量，再分别计算每种颜色球被摸到的概率，比较概率即可得到结果． 【详解】解：布袋中球的总个数为， ∴摸出黑球的概率为，摸出白球的概率，摸出黄球的概率，摸出红球的概率， ∴，即白球和黄球被摸到的概率相同． 37．某饮料厂搞促销活动，在一箱饮料（24瓶）中有4瓶的盖内印有“奖”字，小兵的妈妈买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，那么他拿的这瓶的中奖概率是_______． 【答案】/0.2 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由题意可得，剩余饮料总数量为（瓶），且剩余中奖饮料数量仍为瓶， ∴小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，他拿的这瓶的中奖概率是． 38．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 【答案】B 【分析】本题考查条件概率的实际应用，根据患病人群和健康人群中出现阳性的情况，求出实际发病率，再结合发病率与仪器准确率以及概率公式求解即可． 【详解】解： ， ∴甲确实患这种疾病的概率大约为万分之一， 故选：B． 39．在一个不透明的袋中有8个除颜色外其他都相同的小球，其中4个红球，3个黄球，1个白球． (1)小红从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？ (2)小红和小丽一起做游戏，规则如下：小红从中任意摸出一个小球，摸到红球则小红胜，摸到黄球则小丽胜．该游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）利用概率公式求解； （2）求出各自的概率，然后进行比较． 【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，摸到白球的结果有1种． （摸到白球）； （2）解：该游戏对双方不公平．理由如下： 总共有8种等可能的结果，摸到红球可能出现的结果有4种，摸到黄球可能的结果有3种， （小红胜）（摸到红球）， （小丽胜）（摸到黄球）． ， 该游戏对双方不公平． 题型12.由概率作判断 40．已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 【答案】C 【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可． 【详解】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为， ∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为； ∵， ∴落在海洋的可能性大； 故选C． 【点睛】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概率． 41．一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球． 【答案】 红色 24 【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色； （2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红红，②黑黑，③红黑，④黑红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数黑球数的2倍，且球的个数为偶数，即可求解． 【详解】（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色． 故答案为：红色； （2）由题意，可知取两个球共有四种情况： ①红红，则乙盒中红球数加1， ②黑黑，则丙盒中黑球数加1， ③红黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1， ④黑红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1． 那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球， 乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球 乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球， 甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球， 至少有13个红球和3个黑球， 红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数， 此时明显不满足条件， 红球至少16个，黑球至少有8个， 袋中原来最少有个球． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． 42．一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（　　） A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 C．第一次摸出的球是红球的概率是 D．两次摸出的球都是红球的概率是 【答案】A 【分析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项说法错误，符合题意； B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项说法正确，不符合题意； D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型13.已知概率求数量 43．一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率稳定后可用来估计概率，再结合概率公式计算即可得到盒子中黄球的估计个数 【详解】∵大量重复试验后摸到黄球的频率稳定在左右， ∴估计摸到黄球的概率是， ∵盒子中总共有15个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 44．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为______． 【答案】 【分析】根据点落入黑色部分的频率稳定在左右，得到点落入黑色部分的概率为，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，点落入黑色部分的频率稳定在左右， 即点落入黑色部分的概率为， 则估计黑色部分的总面积为， 故答案为：． 45．一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近，可得白球出现的概率为，进而即可求解． 【详解】解：由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近， ∴白球出现的概率为， ∵总球数为10个， ∴白球的个数为（个）． 46．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共30个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.605 0.6 (1)求出表中___________，___________； (2)当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）；估计此口袋里白球有___________个； (3)若从口袋里拿出个白球后，再从剩下的口袋里任意摸出一球是白球的概率为，请估计的值为多少？ 【答案】(1)， (2)0.6，18； (3)12 【分析】（1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6，即可求解； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 此口袋里白球有个； （3）解：由题意可得， 解得． 题型14.游戏公平性 47．甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断游戏规则是否公平，只需计算甲乙两人获胜的概率，比较概率是否相等即可，概率相等则规则公平，否则不公平． 【详解】解：∵掷一枚均匀骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1，3，5，共3种，点数为偶数的结果有2，4，6，共3种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∵， ∴这个游戏规则对甲乙公平． 48．甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 49．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 50．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球的概率是多少？ (2)小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1) (2) 解：不公平，理由如下： 一共有6个球，黄球有2个，其它球有4个， 则小颖获胜的概率是，小英获胜的概率是， 因为， 所以小英获胜的可能性大，则游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）先分别求出两人获胜的概率，再比较可得答案． 【详解】（1）解：一共有个球，红球有1个， 所以小颖同学摸出红球的概率是； （2）略 题型15.几何概率 51．如今，二维码广泛应用于日常生活．如图，小深自制的二维码面积为20，通过大量随机撒点试验，测得点落在二维码白色部分的频率稳定在0.35．估计该二维码白色部分的面积为（    ） A．13 B．7 C．0.65 D．0.35 【答案】B 【详解】解：∵小深自制的二维码面积为20，点落在二维码白色部分的频率稳定在0.35 ∴点落在二维码白色部分的概率为0.35 ∴估计该二维码白色部分的面积为． 52．如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______． 【答案】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：∵阴影部分可看作是以正方形边长为直径的两个圆的面积减去正方形的面积， ∴阴影部分的面积，正方形的面积为1， ∴随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 53．把同一个正方形木板平均分割成下图各区域，假设飞镖击中正方形木板的每一处是等可能的（击中正方形边界或没有击中正方形，则重投一次），任意投掷飞镖一次，则飞镖击中正方形木板中阴影部分的概率最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出四个选项中击中阴影部分的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：A．图中平均分成4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； B．图中平均分成了4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； C．图中平均分成了8份，阴影部分占了3份，故击中阴影部分的概率为； D．图中平均分成4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； ∵， ∴命中阴影部分的概率最大的是C． 54．小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）； (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）； (3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为平方米． 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近； （2）解：观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； （3）解：设封闭图形的面积为， 根据题意得， 解得， 则（平方米） 答：阴影部分的面积为平方米． 题型16.概率综合应用 55．如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 56．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 57．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 58．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 59．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 60．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． (1)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (2)若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 【答案】(1)； (2)还需要将个无色扇形涂成绿色． 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，获奖区域一共有7个， ∴甲顾客得到元购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 由题意可得， 解得：， ∴还需要将个无色扇形涂成绿色． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03概率初步期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明确三类事件：必然事件 (P=1)、不可能事件 (P=0)、随机事件 (0<P<1)，能结合生活实例区分。 2.理解：大量重复试验时，频率稳定在概率附近；频率是试验数据，概率是固定理论值。 3.掌握古典概型条件：所有结果等可能，熟记公式P(A)=（n总结果，m符合条件结果）。 1.摸球、转盘、掷骰子题型，有序列举全部基本结果。 2.套用公式列式计算单一事件概率。 3.分别算出双方获胜概率，对比大小判定游戏公平；不公平可修改数量使概率相等。 1.基础题：快速判断事件类型、直接套用公式算概率，保准确率 2.中档题：熟练解决几何概率、频率估概率、游戏公平性问题 3.拓展题：能设计简单概率试验，结合实际分析概率意义 题型01.事件的分类 题型02.事件发生可能性大小的判断 题型03.求某事件的频率 题型04.频率与概率关系的辨析 题型05.概率的意义理解 题型06.由频率估计概率 题型07.频率估计概率的综合应用 题型08.列举随机实验的所有可能结果 题型09.判定试验结果是否等可能 题型10.列举法求概率 题型11.由概率公式计算概率 题型12.由概率作判断 题型13.已知概率求数量 题型14.游戏公平性 题型15.几何概率 题型16.概率综合应用 知识点01:事件的分类 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 分类 定义 概率取值 典型例子 易错提醒 必然事件 一定条件下，事先确定必然发生 P=1 抛出石块下落 P=1不代表是随机事件 不可能事件 一定条件下，必然不会发生 P=0 袋中全红球，摸出白球 P=0无发生可能性 随机事件 无法预先确定是否发生，可能发生、可能不发生 0＜P＜1 掷硬币正面向上 取值介于 0 和 1 之间 补充：确定性事件 = 必然事件 + 不可能事件，考试选择常考概念辨析。 知识点02:频率与概率（统计求概率） 1.频率公式：频率=，频数：事件实际发生次数 2.大数定律：试验次数不断增大，频率在概率附近上下波动，即频率稳定性定理； 3.应用：用多次试验稳定后的频率估算概率，再反求总体数量（样本估计总体）。 区分：概率是定值（理论），频率是变数（实际试验）。 知识点03:几何概率（图形类概率，颜值高又简单） 核心公式：P (A)= 事件 A 的图形面积 ÷ 总图形面积关键：看 “面积占比”，和图形形状无关！ 经典例题：七巧板拼成的正方形中，阴影部分面积占，小球停在阴影的概率就是 知识点04:古典概型（等可能事件，本章计算核心） 1. 两大前提条件 ①所有结果总数有限；②每种结果出现可能性完全相同。 2. 概率公式 P(A)= n：全部等可能结果；m：事件A包含有利结果。 常见模型：摸球、掷骰子、抽卡片、均分转盘。 关键提醒：转盘各扇形面积不相等≠等可能，不能直接数份数算概率。 知识点05:游戏公平性（期末必考解答） 1.判断依据：分别算出甲乙双方获胜概率； 2.公平：P甲=P乙；不公平：P甲≠P乙； 3.修改规则思路：增减球数、更改得分规则，使双方获胜概率相等。 知识点06:期末考试题型汇总 选填：事件分类判断、简单概率计算、利用频率估算总数； 解答：一步试验概率计算 + 游戏公平判定、修改方案。 知识点07:核心公式 + 概念速记卡（一秒回忆 1.频率公式：频率 = （m = 发生次数，n = 试验次数）) 2.等可能事件概率：P (A)=（m = 事件 A 结果数，n = 总等可能结果数） 3.几何概率：P (A)= 4.概率范围：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0＜P＜1 知识点08:高频易错点 易错内容 错误表现 正确思路 事件分类概念混淆 遗漏确定性事件包含必然、不可能两类，错把必然事件当成随机事件 牢记：确定性事件分为必然事件、不可能事件，随机事件概率在 01 之间 概率公式参数颠倒 列式时m和n写反，总结果数当作符合条件结果 n是全部结果总数，m是符合题意的结果数量，先找总数再找有利数 频率与概率混用 单次试验得到的频率直接等同于概率 频率随试验次数变化，只有大量重复试验后稳定的频率才可近似估算概率 转盘概率计算误区 不等面积转盘，直接按格子数量算概率 面积不等，每种结果可能性不同，不能用古典概型公式直接计算 公平性主观判断 不计算概率，凭直觉判定游戏公平与否 必须分别计算双方获胜概率，依据概率是否相等判断公平性 题型01.事件的分类 1．有两个事件，事件（1）：50人的班里有两名同学生日是同一天；事件（2）：通常温度降到以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）（2）都是必然事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 2．下列事件中是必然事件的是（     ） A．打开电视机，正在播放《开学第一课》 B．抛掷一枚硬币10次，有5次正面朝上 C．两个负数的和为负数 D．买一张彩票，一定会中奖 3．王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是___________事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试___________次，才能正确输入密码． 题型02.事件发生可能性大小的判断 4．在下列事件中，不可能事件是（     ） A．在共装有5只红球的袋子里，摸出一只白球 B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C．买一张体育彩票，中大奖 D．小海在练习篮球投篮时5投全中 5．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 6．将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 题型03.求某事件的频率 7．王力同学在做“投掷一枚正方体骰子”的实验时，连续抛了10次，共有3次掷得数字“5”．则掷得数字“5”的频率是（   ） A． B． C． D． 8．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 9．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 10．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 题型04.频率与概率关系的辨析 11．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 12．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 13．下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 题型05.概率的意义理解 14．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 15．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 _______． 16．若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 题型06.由频率估计概率 17．为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 有效催化频数 有效催化频率 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（结果精确到）（     ） A． B． C． D． 18．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 19．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（     ）． A．160 B．140 C．100 D．70 20．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的数量如下表： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 42 88 141 176 445 720 900 合格率 0.84 a 0.94 0.88 b 0.90 0.90 (1)填空：________，________；（结果精确到0.01） (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（结果精确到0.1） 题型07.频率估计概率的综合应用 21．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 22．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 23．在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 24．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 题型08.列举随机实验的所有可能结果 25．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 26．九年级（1）班有50名同学，学校发了8张参观券，老师决定任意分给8名同学，他将50名同学按1～50进行编号，用计算机随机产生________～________之间的整数，随机产生的________个整数所对应的编号的同学就领取参观券． 27．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 题型09.判定试验结果是否等可能 28．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 29．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 30．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型10.列举法求概率 31．有三张正面分别写有，，2三个数字的卡片，除正面的数字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，则取出的这两张卡片上的数字恰好互为相反数的概率是（    ） A． B． C． D． 32．某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级(每个班级只能被分在其中一个组)，那么1班和2班被分在同一组的概率是_______． 33．如图，电路图上有三个开关S、、和两个小灯泡、，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（） A． B． C． D．无法确定 34．如图是一个管道示意图，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，若小球恰好从A入口下落，则小球从②号出口落下的概率是_______． 35．2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． (1)有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； (2)某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 小华小丽 1(北) 2(南) 3(南) 4(北) 1（北） 2（南） 3（南） 4（北） 题型11.由概率公式计算概率 36．在一个不透明的布袋中，装有4个黑球、3个白球、3个黄球、2个红球，从中随机摸出1个球，有两种颜色的球被摸到的概率相同，则这两种颜色分别是（     ） A．黑球和白球 B．黄球和白球 C．黑球和红球 D．红球和白球 37．某饮料厂搞促销活动，在一箱饮料（24瓶）中有4瓶的盖内印有“奖”字，小兵的妈妈买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，那么他拿的这瓶的中奖概率是_______． 38．某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 39．在一个不透明的袋中有8个除颜色外其他都相同的小球，其中4个红球，3个黄球，1个白球． (1)小红从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？ (2)小红和小丽一起做游戏，规则如下：小红从中任意摸出一个小球，摸到红球则小红胜，摸到黄球则小丽胜．该游戏对双方公平吗？为什么？ 题型12.由概率作判断 40．已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 41．一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球． 42．一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（　　） A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 C．第一次摸出的球是红球的概率是 D．两次摸出的球都是红球的概率是 题型13.已知概率求数量 43．一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 44．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为______． 45．一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 46．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共30个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.605 0.6 (1)求出表中___________，___________； (2)当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）；估计此口袋里白球有___________个； (3)若从口袋里拿出个白球后，再从剩下的口袋里任意摸出一球是白球的概率为，请估计的值为多少？ 题型14.游戏公平性 47．甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 48．甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 49．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 50．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球的概率是多少？ (2)小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 题型15.几何概率 51．如今，二维码广泛应用于日常生活．如图，小深自制的二维码面积为20，通过大量随机撒点试验，测得点落在二维码白色部分的频率稳定在0.35．估计该二维码白色部分的面积为（    ） A．13 B．7 C．0.65 D．0.35 52．如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______． 53．把同一个正方形木板平均分割成下图各区域，假设飞镖击中正方形木板的每一处是等可能的（击中正方形边界或没有击中正方形，则重投一次），任意投掷飞镖一次，则飞镖击中正方形木板中阴影部分的概率最大的是（   ） A． B． C． D． 54．小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）； (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）； (3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 题型16.概率综合应用 55．如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 56．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 57．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 58．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 59．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 60．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． (1)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (2)若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 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