山东省泰安市泰山区2025-2026学年八年级下学期数学期末仿真训练卷

**基本信息** 以“圆融”雕塑测高、湘绣文化传承等真实情境为载体，融合二次根式、相似三角形、四边形等核心知识，考查数学眼光、思维与语言，适配八年级期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|二次根式、一元二次方程、相似判定|结合黄金分割实例，基础巩固与概念辨析并重| |填空题|5/20|位似性质、根与系数关系、四边形计算|融入尺规作图，考查空间观念与运算能力| |解答题|9/90|相似应用、方程应用、旋转综合|“圆融”雕塑测高（相似）、湘绣销售（方程）等情境，体现模型意识与创新应用|

山东省泰安市泰山区八年级下学期期末仿真训练卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题4分）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是(   ) A． B． C． D． 4．（本题4分）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（   ）． A． B． C． D． 5．（本题4分）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 7．（本题4分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，已知菱形的一个内角，对角线相交于点，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．下面结论： ①    ② ③    ④ ⑤正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）已知，则的值为______． 12．（本题4分）如图，四边形与四边形关于点O位似，且点O在四边形的左侧，若，则四边形与四边形的面积比为_______． 13．（本题4分）若是方程的两个实数根，则的值为__． 14．（本题4分）如图，在中，，，为中点，为中点，连接并延长交于点，若，则的长为___． 15．（本题4分）如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2)． 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题9分）如图，已知平行四边形，分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平行四边形为菱形． 19．（本题9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．（本题10分）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 21．（本题11分）乔乔在解决问题：已知，求的值时，是这样想的：先将化简成不含分母的形式：，此时， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据乔乔的分析过程，解决下列问题： (1)分别化简：和； (2)若，请你求出的值． 22．（本题11分）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 23．（本题12分）湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？ 24．（本题12分）在中，，，点D是平面内任意一点． (1)如图1，若点D是边上一点，，连接，于点O，求的度数． (2)如图2，若点D在边的下方，连接，并将绕点C顺时针方向旋转至，连接，，点F是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，点M是边的中点，点D在边的左侧，连接，将绕点M逆时针方向旋转至，连接，若，，请直接写出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区八年级下学期期末仿真训练卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B B B C A D C 1．B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：是二次根式，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，该选项符合题意； 、的被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、是分数，不是二次根式，该选项不符合题意． 2．D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故A不符合题意； B、由得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故B不符合题意； C、两三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，分别是，的中点，， ∴， ∴. 7．C 【分析】此题主要考查了实数的运算，算术平方根，二次根式的化简．根据算术平方根，二次根式的化简以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、二次根式被开方数应该为非负数，无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．A 【分析】根据菱形的性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9．D 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，解决本题的关键是由等量关系建立等式． 根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：∵初始训练数据量为360万亿，每次平均增长率为x， ∴第一次扩容后的数据量为万亿， ∴第二次扩容后的数据量为万亿， 又∵最终数据量达到640万亿， ∴可列方程． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故③正确， 在上取点，使用， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故①错误； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故②正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故④正确； ， 设，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ，故⑤错误． 故选：C． 11．/0.75 【分析】本题考查比例的性质，由得到，代入，即可求值． 【详解】解：， ， 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似图形的性质， 根据题意可知位似比，进而得出相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方得出答案. 【详解】解：∵四边形与四边形关于点O位似，且， ∴这两个四边形的位似比为， ∴这两个四边形的相似比为， ∴这两个四边形的面积比为. 故答案为：. 13． 【分析】先由一元二次方程解的定义得到 ，再由根与系数的关系得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 14． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点D作，交于H， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 15．2 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定． 过点作于点，如图，根据正方形的性质得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出，利用基本作图得平分，则根据角平分线的性质得到，，然后证明得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 四边形为正方形， ， 在中，， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ． 故答案为：． 16．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算二次根式除法，然后算二次根式减法即可； （）根据平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得解； （2）利用因式分解法求解可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ，， ∴，． 18．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识的判定方法和性质的运用是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，可证四边形是平行四边形，由此即可求解； （2）连接，与交于点，可得四边形是是菱形，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：连接，与交于点， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 20．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式和完全平方公式． （1）利用平方差公式进行分母有理化运算即可； （2）将x分母有理化得，再利用完全平方公式仿照题干解答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 22．[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23．(1)每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元 (2)文化衫应降价8元或者2元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （）设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，根据采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．列出分式方程求解并检验即可； （）先求出降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据平均每天的总利润达到400元，列出关于x的一元二次方程求出的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，文化衫的数量为件，书签的数量为个， 由题意得，， 解得，   经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元； （2）解：降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， 答：文化衫应降价8元或者2元． 24．(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据等边对等角，求出，三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）延长交于点，先证明，得到，再证明，得到，旋转推出，即可； （3）取的中点，连接，作，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，设，则：，勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），证明如下： 延长交于点，如图： ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵旋转 ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， 取的中点，连接，作，则：， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴或， 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，同法可得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $