第二章 不等式与不等式组 期末复习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 以中考考点为纲，构建“性质-解法-应用”三阶逻辑体系，通过典型题例提炼解题通法，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的基本性质|4题（含中考题）|性质3符号法则、数轴表示应用|从概念到性质应用，夯实基础| |一元一次不等式解法|3题（含接力纠错）|去分母/括号步骤规范、数轴表示|性质到解法的迁移，强化运算| |一元一次不等式组解法|6题（含含参方程组）|解集口诀、整数解确定|不等式解法的拓展，培养逻辑| |含参问题|5题（含新定义运算）|参数范围端点分析、分类讨论|深化逻辑推理，提升思维层次| |一次函数与不等式|3题（含图像应用）|图像法解不等式、交点意义|代数与函数结合，发展数形结合| |实际应用|5题（含方案优化）|建模列不等式、最值分析|知识到实践的转化，培养模型观念|

期末复习 第二章 不等式与不等式组 考点1 不等式的基本性质 1.（2025长清期中）若不等式（a﹣5）x＜1的解集是x＞，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≠5 D．以上都不对 2.（2025济南中考）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3.已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2023济南中考）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 考点2 一元一次不等式的定义及解法 1．下列式子是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·聊城期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2025济阳期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁 考点3 一元一次不等式组的定义及解法 1．下列不等式组：①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2026·济南期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026济南期中）在方程组中，若，则k的取值范围是__________． 4.（2026济南期中）按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是__________． 5.（2025济南中考）解不等式组并写出它的所有整数解． 6.（2026章丘二模）解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 考点4 与不等式有关的参数问题 1.（2026高新期中）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2.（2026天桥期中）若关于的分式方程的解是非负整数解，且满足不等式，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 6 3.（2025泸州中考） 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（2025内江中考）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 5.对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： (1)填空：_________；如果，则实数的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； (3)求满足的所有的值． 考点5 一次函数与不等式（组） 1.（2026长清期中）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 2.（2026高新期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 3.（2025北京中考） 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 考点6 不等式（组）的实际应用 1.（2026平阴期中）某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A、B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，学校准备购买A型和B型机器人模型共 40台，购买的总费用预算不超过15000元． （1）A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若要A型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 2.（2026莱芜期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： （1）请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： （2）假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 3.（2025济南中考）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 4.（2026商河一模）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元． （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，则要购进A型、B型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 5.（2026槐荫二模）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． （1）求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 期末复习 第二章 不等式与不等式组 参考答案 考点1 不等式的基本性质 1.（2025长清期中）若不等式（a﹣5）x＜1的解集是x＞，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≠5 D．以上都不对 1.【答案】B 【分析】根据不等式（a-5）x＜1的解集是x＞，得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】∵不等式（a-5）x＜1的解集是x＞， ∴a-5＜0， ∴a＜5， 故选B． 2.（2025济南中考）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 2.【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 3.已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵ ，， ∴，故A选项不符合题意； ∵ ，∴移项得：，故B选项不符合题意； ∵ ，∴不等式两边同时乘以，再加得：，故C选项符合题意； ∵ ，∴不等式两边同时除以得：，故D选项不符合题意； 4.（2023济南中考）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 4.【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 考点2 一元一次不等式的定义及解法 1．下列式子是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 1.【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式进行判断即可． 【详解】解：选项A：，含有一个未知数x，次数为1，且为不等式，符合定义，故该选项符合题意， 选项B：，是等式而非不等式，故该选项不符合题意， 选项C：，含有两个未知数x和y，不符合“一元”条件，故该选项不符合题意， 选项D：，未知数x的次数为2，不符合“一次”条件，故该选项不符合题意， 故选：A． 2.（2026·聊城期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2.【答案】C 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 3.（2025济阳期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁 3.【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，解不等式利用不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据题目中的解答过程，可以分别进行解答，从而可以得到谁负责的自己的一步出现错误，本题得以解决． 【详解】解：①， ，故甲错误； ②， ，故乙错误； ③， ，故丙正确； ④， ，故丁错误； 故选：D． 考点3 一元一次不等式组的定义及解法 1．下列不等式组：①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1.【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 2．（2026·济南期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2.【答案】B 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集求出不等式组的解集，即可在数轴上表示． 【详解】解：， 由①得，， ∴不等式组的解集为， 数轴表示为： 3.（2026济南期中）在方程组中，若，则k的取值范围是__________． 3.【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和不等式的解法，首先解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后代入，即可解得k的取值范围． 【详解】解： 得： 即：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 4.（2026济南期中）按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是__________． 4.【答案】 【分析】本题主要考查了通过程序列表达式，以及一元一次不等式组的应用，根据图示列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，第三次：，再题意可得：第一次和第二次的算式都小于等于487，只有第三次的算式大于487，列出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 第三次：， 由题意可得不等式组， 解得：． 故答案为：． 5.（2025济南中考）解不等式组并写出它的所有整数解． 5.【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 6.（2026章丘二模）解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 6.【答案】不等式组的解集为，所有整数解之和为 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ， 整数解为：，，，，， ∴整数解之和为： 考点4 与不等式有关的参数问题 1.（2026高新期中）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 1.【答案】C 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：不等式组的解集是2-3a＜x＜21， 因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17． 所以可以得到16≤2-3a＜17， 解得-5＜a≤- ． 故选C． 2.（2026天桥期中）若关于的分式方程的解是非负整数解，且满足不等式，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 6 2.【答案】B 【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及满足不等式，求出，再利用是非负整数可知是4的倍数分析即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ∵分式方程的解是非负整数解，且满足不等式， ∴，解得：． ∵是非负整数，则： 当时，，此时，经检验，是分式方程的解； 当时，，此时，经检验，是分式方程的解； 当时，，此时，经检验，不是分式方程的解； ∴满足条件的整数的值之和是16． 故选：B 【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出，再利用是非负整数，求出a的值即可． 3.（2025泸州中考） 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 4.（2025内江中考）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 4.【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 5.对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： (1)填空：_________；如果，则实数的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； (3)求满足的所有的值． 5.【答案】(1)；； (2)； (3)，，，． 【分析】根据新定义即可求解； 先求出不等式组的解集为，又因为关于的不等式组的整数解恰有个，所以，则，解得； 设（为非负整数），所以，因为，所以，则，故有，解得，从而求得或或或，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴实数的取值范围为， 故答案为：，， （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的整数解恰有个，即，， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围是； （3）解：设（为非负整数）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵为非负整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为，，，． 考点5 一次函数与不等式（组） 1.（2026长清期中）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 1.【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 2.（2026高新期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 2.【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 3.（2025北京中考） 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 3.【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 考点6 不等式（组）的实际应用 1.（2026平阴期中）某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A、B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，学校准备购买A型和B型机器人模型共 40台，购买的总费用预算不超过15000元． （1）A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若要A型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 1.【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）满足条件的方案是购买A型机器人模型15台，B型机器人模型25台 【分析】（1）利用“两种模型购买数量相同”的等量关系列分式方程求解单价； （2）根据总费用不超过预算列不等式，结合A型尽可能多的要求确定购买方案． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为元，则A型机器人模型单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台， 根据题意得， 解得， 为非负整数，要求A型机器人模型尽可能多，  ， 此时， 答：满足条件的购买方案为购买A型机器人模型15台，B型机器人模型25台． 2.（2026莱芜期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： （1）请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： （2）假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 2.【答案】（1）方案一：；方案二： （2）当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案都可 【分析】（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答； （2）根据题意分别列出不等式和方程求解． 【小问1详解】 解：方案一：； 方案二：； 【小问2详解】 解：当时，解得：， 当时，选择方案二； 当时，解得：， 当时，选择方案一； 当时，解得， 当时，选择两种方案都可． 3.（2025济南中考）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 3.【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 4.（2026商河一模）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元． （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，则要购进A型、B型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 4.【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元 （2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元． 根据题意得： 解得． 答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元． 则该公司购进辆型汽车，根据题意得： ，即， ， 随的增大而减小， 又均为正整数，购进汽车数量为正整数， ∴m为正整数，也为正整数。 要使为整数，m必须为偶数。 ∵，解得。 ∴m可取的值为2，4，6， 的最小值为2， 此时（辆）． 当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 5.（2026槐荫二模）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． （1）求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 5.解：（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料. 依题意列分式方程得：. 整理得：， 解得：. 经检验，是原方程的解且符合题意， 此时. 答：型每小时搬运材料90kg，型每小时搬运材料60kg； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得：， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $