25.2.2因式分解法解一元二次方程作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础-应用-综合三层设计，以因式分解法解方程为核心，从单一运算到几何应用再到综合问题，构建“概念理解-运算巩固-模型应用”的知识路径，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一因式分解解方程|直接考查方程求解（如单选1、填空6），强化方法掌握| |应用层|几何与代数简单应用|结合三角形边长（单选2）、矩形周长（单选3），体现几何直观| |综合层|换元法及方程与几何综合|通过换元法（解答11）、等腰三角形综合题（解答12），发展推理意识与模型意识|

25.2.3因式分解法解一元二次方程 一、单选题 1.一元二次方程(x-6)=0 的解是( A.x=0 B.x=6 C.x=0,x2=6D.x=0,x3=-6 2.三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角 形的周长是( A.15 B.13 C.11或8 D.11和13 3.若矩形ABCD的一条对角线长为10，边CD的长是方程x2-3x-40=0的一个根， 则该矩形ABCD的周长为( A.36 B.10+10W5 C.28 D.30 4.已知实数，n满足m+n-2(m+m)15=0,则m+m的值为（) A.3 B.5 C.5或3 D.-3或5 5.如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠， 使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=3, EF=3 5,则4B的长为（ 试卷第1页，共10页 D G 9 A.4 B.5 C.6 D.210 二、填空题 6.方程10x-4.9x2=0的解是 7.一元二次方程=2x-的解是 &.已知方程@-5m牛-9=0，当m=时，是关于r的元二次方程。 9.已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程x2-2x-8=0的一个根，则 该等腰直角三角形的直角边长为 三、解答题 10.解方程： m3x-1)=2(-0, (2)x2-4x=5 8-9=20x-3) (42x2-5x+2=0 试卷第2页，共10页 6)x-3+2x(x-3)=0 1.为解方程：--(：-+4=0，我们可以将-1看作一个整体，然后设 r-1=y,那么原方程可化为”-5y+4= ①解得片=L5=4 当y=1时，x2-1=1,x2=2,x=t2; 当y=4时，x2-1=4,x2=5,∴x=tV5. 故原方程的解为=V2,=-2,s=V5,x=5 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数 学方法. 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：（口--4--12=0 2)若实数a、b满足(a+6a+6-2列-3，求后+6的值. 试卷第3页，共10页 12.已知关于的一元二次方程-(m+3r+3m=0 (1)求证：此方程一定有两个实数根： (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为 1,当△ABC是等腰三角形时，求m的值. 试卷第4页，共10页 1.C 【详解】解：(x-6)=0 则x=0或x-6=0, 解得：x=0,=6. 2.B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断 符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：，x2-6x+8=0, ·因式分解得(-2x-4)=0 解得=2，=4， .三角形两边长分别为3和6， .当第三边长为2时，2+3<6，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为4时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为3+4+6=13！ 3.C 试卷第5页，共10页 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到CD的长，再利用 矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可： 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC,∠BCD=90°， x2-3x-40=0 .(x-8)(x+5)=0 解得x=8或x=-5, 边长为正数， ∴.CD=8, .BD=10 在Rt△BCD中， D B CBC=V102-82=36=6 .矩形ABCD的周长为 ×(6+8)=28 试卷第6页，共10页 4.B 【分析】本题利用换元法将m2+n2看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去 不符合题意的根即可得到结果， 【详解】设x=m2+n2, ,·任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， .x=m2+n2≥0， 原方程可化为x2-2x-15=0, 因式分解得-5x+3)=0 解得x=5,x2=-3 .x20, 舍去x=-3, 即m2+n2=5. 5.C 【分析】由折叠性质可知AG⊥EF,进而利用同角的余角相等证明 试卷第7页，共10页 ∠GAE=∠NFE,由此即可得出 ADG≌△FNE(ASA) 进而确定1G=F.在 RtAADG 中， 根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：如图，连接AG交EF于点M,过点F作FN⊥AD,垂足为N, G B 则∠FNA=∠FNE=90°， “正方形MBCD, .AB=AD=CD,∠BAD=∠ABC=∠D=90° 四边形 ABFN 是矩形， :NF AB=AD 由折叠可知AG⊥EF, ∴.∠GAE+∠AEF=∠NFE+∠AEF=90° ,∠GAE=∠NFE 试卷第8页，共10页 又∠FNE=∠D=90°， .AADG≌△FNE(ASA) ..AG=EF EF =35 ..AG=EF=35 设正方形边长为x,则AB=AD=CD=x, CG=3 ∴.DG=CD-CG=x-3 在RtAADG中，AG=DG+AD2 (x-3+2=(35 x2-3x-18=0 (x-6)(x+3)=0 解得x=6或x=-3(不合题意舍去)， ..AB=6 6.￥=0，x2= 100 49 试卷第9页，共10页 【分析】采用因式分解法求解，先提取公因式将方程左边分解为两个一次因式 的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”得到方程的 解 【详解】解：对方程10x-4,9r=0因式分解，得0-49)=0 得x=0或10-4.9x=0 100 因此原方程的解为x=0,x= 49 7.x=0,x2=1 x2=x(2x-1) 【详解】解： x2=2x2-x 整理得，x2-x=0 x(x-1)=0 ∴.x=0或x-1=0 解得x=0,x3=1. 8.-5 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程与不等式，求解即可得 试卷第10页，共10页 到结果. 【详解】解：“方程㎡-5m)中-9=0是关于x的一元二次方程， [ml-3=2 m2-5m≠0，解得m=-5. 9.2V2 【分析】先求解给定的一元二次方程，舍去负根得到等腰直角三角形的斜边长， 再利用勾股定理计算直角边长即可. 【详解】解：解一元二次方程x2-2x-80, (x-4)(x+2)=0 因式分解得 解得=4，=-2， “三角形的边长为正数， “该等腰直角三角形的斜边长为4， 设该等腰直角三角形的直角边长为a,且a>0, 根据勾股定理可得a2+a2=42, 整理得2a2=16,即a=8, 试卷第11页，共10页 a>0 a=V8=2√2 故该等腰直角三角形的直角边长为2V2. 2 10.(1)x=3,x3=1 (2)X=5,x2=-1 【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可： (2)利用因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解：3x(-)=2(x-1) 3x(x-)-20x-)=0 :(3x-2x-1)=0 ∴.3x-2=0或x-1=0, 号，5=1： (2)解：x2-4x=5, .x2-4x-5=0, 试卷第12页，共10页 :x-5x+1)=0 .x-5=0或x+1=0, .x=5,x3=-1 (3)=3,3=-1 【详解】解： x2-9=2(x-3) (x2-9）-2(x-3)=0 (x+3)(x-3)-2(x-3)=0 (x-3)[(x+3)-2]=0 (x-3)(x+1)=0 -3=0或+1=0 解得=3,2=-1 (④)x=2,名=2 (5)出=3，x=1 【详解】(4)解：2x2-5x+2=0 .a=2,b=-5,c=2, 试卷第13页，共10页 △=b2-4ac=(-5)/-4×2×2=9>0 .方程有两个不相等的实数根， x=-b±F-4ac.-5)±55t3 2a 2×2 4, 1 ∴方程的解为5=2，=2： (5)解：(x-3+2x(x-3)=0 因式分解，得-3(x-3+2x)=0 即x-33x-3)=0 .x-3=0或3x-3=0, 解得=3，x2=1 11.(1)x=3,x3=-2 (2)3 【分析】(1)设x2-x=t,将原方程转化为-4t-12=0,然后利用因式分解法 求出t+2=0或t-6=0,然后分别判断求解即可； (2)设a+6-m>0,将a+6a+6-2列=3转化为m(m-2)=3,然后求解 试卷第14页，共10页 判断即可. 【详解】(1)解：(x-x-4(x2-x)-12=0 设x2-x=t .原方程可化为2-4t-12=0 (t+2)(t-6)=0 t+2=0、t-6=0 或 解得t=-2或t=6 当t=-2时，x2-x=-2 ∴.x2-x+2=0 :4=(--4x1×2=-7<0 .方程无实数根： 当t=6时，x2-x=6 .x2-x-6=0 :(x+2x-3)=0 试卷第15页，共10页 ∴.x+2=0或x-3=0 解得=3，=-2； (2)解：设Va+Vb=m>0 ..(Va+/B)(Va+vB-2)=3 m(m-2)=3 .m2-2m-3=0 :(m+m-3)=0 ∴.m+1=0或m-3=0 解得m=-1（舍去)或m=3 ..Va+/B=3. 12.(1)见解析 (2)3 【分析】（1)根据根的判别式证明即可： (2)根据因式分解法解方程，结合三角形的三边关系解题即可. 试卷第16页，共10页 【详解】(1)证明：△=[-(m+3]-4×1x3m =m2+6m+9-12m =m2-6m+9 =(m-3)2≥0 “此方程一定有两个实数根： (2)解：-(m+3小x+3m=0 (x-3)(x-m)=0 0或-m=0 x-3=0 ..x=3 x2=m 当AB=AC时，m=3, 此时三角形三边为3,3,1，满足三角形三边关系，符合题意： 当AC=BC时，m=1,此时三角形三边为1,1,3，不满足三角形三边关系，舍 去： 当AB=BC时，即3=1，此情况不成立， 综上，m的值为3. 试卷第17页，共10页 试卷第18页，共10页