广东广州市玉岩中学2025-2026学年高一下学期数学限时训练（二）试卷

广州市玉岩中学2025学年第二学期高一年级限时训练（二） 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92分，全卷共150分．考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．若复数z满足，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A．328 B．253 C．007 D．860 3．如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．设O为的外接圆圆心，若，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，，E，F分别是棱，的中点，点M是棱上的一点，且，则过点M，E，F的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ） A． B． C． D． 7．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值t构成的集合是（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9．已知一组大小不等的数据（）的平均数为，方差为，标准差为s，极差为a，若，则下列关于数据（）的结论正确的是（ ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 11．如图，已知圆台的轴截面为四边形，，，，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a．在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A．圆台的高为 B．圆台的体积为 C．a的最小值为 D．b的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为，则可估计该校高一学生的平均身高为_________cm． 13．一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为_________． 14．锐角的面积为2，且，若恒成立，则实数m的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数．根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人． （1）求图中a，b的值； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差．（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若，的面积为2，求角A； （2）若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，M、N分别是棱，的中点． （1）证明：平面；（2）若，且，求点A到平面的距离． 18．（17分）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上．设，． （1）用，表示，； （2）如果，海里，且，求岛屿C到补给站D的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值． 19．（17分）如图，已知四边形满足，、、，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：； （2）在线段上是否存在一点E使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为O，二面角和的平面角大小分别为，，求（记，结果用表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2025学年第二学期高一年级限时训练（二）高一数学参考解析 1．C 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．D 9．AB 10．ACD 11．BCD 12．167 13． 14． 15．（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为 频率分布直方图组距为2，故， 所有区间频率和为，即，解得 （2）A餐厅满意指数平均数 B餐厅满意指数平均数 故 （3）B餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1 混合数据平均数 方差． 16．（1）解：由余弦定理得①，由面积公式得②． ②÷①，得，即．，得 （2）由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理得，所以， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，则，所以，， 由对勾函数的性质易知在上单调递减，所以的取值范围为． 17．（1）【方法一】证明：取的中点D，连接，， 因为N，D分别是，的中点，所以，且， 又因为，，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面． 【方法二】证明：取的中点E，连接，， 因为N，E分别是，的中点，所以，可得平面， 因为M，E分别是，的中点，所以，可得平面， 因为，所以平面平面，所以平面． （2）解：在直三棱柱中，因为，且， 连接，则， 又，，， 所以 设点A到平面的距离为d，则，即，解得， 即点A到平面的距离为． 18．【详解】（1）依题意，得，因为点E为中点，所以， 又F在靠近岛屿C的的三等分点上所以， 又，， 所以，； （2）由题意得，，即， ，所以，则， 又，所以， ， 所以岛屿C到补给站D的距离． （3）由，可得， 即， 可得，即， 设，，由正弦定理知， ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值120， 即b的最小值为，所以岛屿A和岛屿C之间距离的最小值为公里． 19．【详解】（1）若，则平面平面， 在平面内过P作，垂足为S，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，． 在中，，，，由等面积法得，再由射影定理（或）得，故在中，由勾股定理得， 所以在中，有，，故． （2）存在E且满足，使得平面，证明如下： 取（1）中S，由（1）可得，连接， 由旋转不变性可得， 而且，平面，故， 而平面，平面，故平面， 而且，故，同理可得平面， 由，，平面得平面平面， 平面，平面． （3）由旋转翻折过程易知， ①若，取，，的中点分别为T，N，M，连接，，，，， 因为O为三棱锥的外接球球心，故平面，平面， 因为平面，故， 又在中为中位线，，故， 因，，平面，故平面，而平面，故， 所以为二面角的平面角，则， 同理可证：，， 在中，，在中， 在中有，即，， ，即 ②若时，此时O，Q重合，且，，满足， ③若，此时且O在平面的下方，同①可得也成立， 综上，恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $