专题02 正、余弦定理解三角形-2025-2026学年高一下学期数学期末专项训练（广东专用）

**基本信息** 以正余弦定理为核心，通过12类题型系统覆盖解三角形全考点，从基础计算到综合应用，构建“定理应用—性质探究—实际建模”的完整知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |余弦/正弦定理解三角形|12题|已知边边角、角角边等条件求边长或角度|从定理直接应用到多解情况分析，强化方程思想| |三角形个数判断|5题|结合正弦定理判断解的个数|深化边角关系与三角形存在性的逻辑推理| |边角互化与外接圆|10题|边化角或角化边、求外接圆直径|体现三角函数与几何性质的转化，培养数学眼光| |面积/周长及最值|23题|面积计算、周长求解及最值探究|综合应用定理与不等式，提升数学语言表达能力| |三线/四心/实际测量|20题|中线、角平分线、实际距离测量等|从平面几何到实际问题，强化应用意识与模型观念|

专题02 正余弦定理解三角形 一、题型一 余弦定理解三角形 1．（广东省韶关市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知的内角所对的边分别为，则边长（    ） A． B． C．或 D．4或 2．（广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 3．（广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（    ）    A． B． C． D． 4．（广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______． 5．（广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，已知，，，点D为边的中点，则______，______. 6．（广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷）在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 二、题型二 正弦定理解三角形 7．（广东省佛山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知中，是的中点，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（广东省揭阳市三校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题）在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ） A．或 B． C．或 D． 9．（茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷）若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（广东省清远市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）在中，角的对边分别为，已知，则__________. 11．（广东省广州市九区2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）在平面四边形中，，，，，则_____.    12．（广东省六校（北江中学、河源中学、清远一中、惠州中学、阳江中学、茂名中学）2023-2024学年高一下学期联合质量监测考试数学试题）在中，是的中点，，，，则______． 三、题型三 三角形个数的判断 13．（广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试数学试卷）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 14．（广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（专题02解三角形01（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 16．（广东省佛山市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是______．（仅需填写一个符合要求的数值） 17．（广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 四、题型四 边角互化的应用 18．（广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 19．（广东省江门市2023-2024学年高一下学期数学调研测试（二））的内角的对边分别为，已知，，则（     ） A． B． C． D． 20．（广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 21．（广东省湛江市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷）在锐角中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 22．（广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 23．（专题02解三角形01（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则__． 24．（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则__________. 五、题型五 正弦定理求外接圆直径 25．（广东省潮州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 26．（广东省江门市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．（广东省云浮市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 六、题型六 三角形的面积问题 28．（广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 29．（广东省广州市六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的取值范围为______.    30．（广东省佛山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）在非直角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足 . (1)求证: ; (2)若 ，求 的面积. 31．（广东省东莞市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检查数学试题）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 32．（广东省珠海市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，内角所对的边分别为，，，设. (1)求角； (2)若，且，求面积的最大值. 七、题型七 三角形的周长问题 33．（广东省阳江市两阳中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若，求的周长． 34．（广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 35．（广东省广州市越秀区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 36．（广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）中，角，，的对边分别为，，，若． (1)求； (2)若且的面积为，求边长． 37．（广东省清远市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）在中，角的对边分别为，若. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 38．（广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. (1)求角A； (2)若的面积为，，且，求. 39．（广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求 (2)若，的面积为，求的周长． 40．（广东省深圳市深圳科学高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题）已知分别为三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若的周长为，面积为 求. 41．（广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知的内角的对边分别为，. (1)求; (2)若的面积为，求和. 42．（广东省茂名市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷）已知函数. (1)当时，求函数的取值范围； (2)在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，且的面积为，求的周长. 八、题型八 正余弦定理在平面几何中的应用 43．（广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）在中，，，. (1)求的值； (2)取一点，使得，求点到直线的距离. 44．（广东省潮州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷）如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 45．（广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2024~2025学年高一下学期期末联考数学试卷）如图， 是等边三角形， ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点 （不含端点）. (1)求 的值； (2)若 求的最小值. 46．（广东省广州外国语学校等三校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）如图，是等边三角形，是边上的动点（含端点），记．    (1)求的最大值； (2)若，求的面积． 47．（广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题）如果一个四边形的四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧，则称该四边形为凸四边形.如图，在凸四边形中，和的面积分别为和. (1)若，求四边形的面积； (2)求的取值范围； (3)求的最大值. 48．（广东省茂名市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，. (1)求； (2)记的面积为，内一点满足； （i）若，求证：； （ii）若，，求的值. 49．（广东省佛山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，点在内，且满足. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，，，求及的长度. 九、题型九 周长面积最值问题 50．（广东省揭阳市2023-2024学年高一下学期教学质量测试数学试卷）在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 51．（广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题）在中，角所对的边分别是，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 D．若，且，则该三角形内切圆面积的最大值为 52．（广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题）在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . (1)求角C; (2)若 求的取值范围. 53．（专题02解三角形02（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围． 54．（广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 55．（广东省廉江市石岭中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 56．（广东省佛山市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题）从①，②，③的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题． 在锐角中，已知，______，求面积的取值范围． 57．（专题02解三角形01（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）已知△中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，求△周长的最大值． 58．（广东省云浮市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 59．（专题02解三角形02（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）中，角，，的对边分别为，，，满足，． (1)证明：； (2)求的取值范围． 60．（广东省深圳外国语学校2025-2026学年高一上学期期末数学试题）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 61．（广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知的内角的对边分别为，若，，为平面内一点，且满足． (1)求； (2)求的最小值； (3)若，求的取值范围． 62．（广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 63．（广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． (1)求证：； (2)已知，，求的内切圆半径r； (3)已知，且，求S的最大值． 64．（广东省五校联盟（茂名市第一中学等）2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）在①分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足______. (1)求角； (2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径. 十、题型十 三角形三线问题 65．（广东省湛江市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷）已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 66．（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积. 67．（广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且，求面积的最大值. 68．（广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点． (1)求证：； (2)若． （ⅰ）求； （ⅱ）若，求的面积． 69．（吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 70．（广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若为的平分线且与交于点，求面积的最小值. 71．（广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题）在中， . (1)求； (2)已知平分，且位于上，，求的值. 72．（茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷）如图所示，在中，，AD平分，且. (1)若，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若，求k为何值时，BC最短. 73．（广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求b； (3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长． 74．（广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 十一、题型十一 实际测量问题 75．（云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 76．（专题02解三角形02（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 77．（广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 78．（广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 79．（广东韶关实验中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题）如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 80．（广东省广州市天河区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 81．（广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 82．（广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 83．（广东省东莞市2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试题）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 84．（广东省云浮市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得罗定文塔顶端的仰角为，则罗定文塔的高度______.（参考数据：取，，，）    A．23.5m B．47m C．24.5m D．49m 85．（广东省汕尾市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题）如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角. (1)若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）； (2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值. 86．（茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷）在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）. 87．（广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题）甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 88．（广东省韶关市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）如图，为了测量河对岸的塔的高度，某人选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得；，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________.    89．（广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，.    90．（广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 91．（广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 92．（广东省广州市荔湾区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）如图，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量两点间的距离，在两点的对岸选定两点，测得，并且在两点分别测得，，，，    (1)求两点间的距离； (2)设与相交于点，记与的面积分别为，，求． 十二、题型十二 三角形四心问题 93．（广东省广州一一三中2023-2024学年高一下学期期中数学试题）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．O为的外心，则 D．设，则 94．（广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大内角是最小内角的3倍 C． D．若，则内切圆半径为 95．（辽宁省抚顺市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题）在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线一定经过三角形的重心 B．当时，直线一定经过三角形的外心 C．当时，直线一定经过三角形的垂心 D．当时，直线一定经过三角形的内心 96．（广东省湛江第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试（7月）数学试题）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若O为的垂心，，则 D．若，则点O的轨迹经过的重心 97．（广东省佛山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 正余弦定理解三角形 一、题型一 余弦定理解三角形 1．（广东省韶关市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知的内角所对的边分别为，则边长（    ） A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【分析】根据余弦定理列式计算，即可求得答案. 【详解】由中，， 可得，即， 即，解得或， 经验证或适合题意， 故选：C 2．（广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 3．（广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得≌，则，设，则，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得答案. 【详解】因为在平行四边形中，，，， 所以，， 因为将三角形沿翻折得三角形，使得交于， 所以， 因为，所以≌， 所以，设，则， 在中由余弦定理得， ，解得，即， 故选：B 4．（广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______． 【答案】5 【分析】利用余弦定理，将，，，代入计算可得到. 【详解】在中，已知，，， 由余弦定理得，得， 即，解得或，而， 所以. 故答案为：5. 5．（广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，已知，，，点D为边的中点，则______，______. 【答案】 / 【分析】在中，利用余弦定理求，在，中分别利用余弦定理求，，由此列方程求；在中由余弦定理求，再由同角关系求. 【详解】由余弦定理，得， 即，． 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 由与互补，则， 所以，解得． 在中，由余弦定理，得， 因为，所以，     所以． 故答案为：； 6．（广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷）在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 【答案】3 【分析】首先根据余弦定理和角的范围求出，然后用将所求式子表示出来并化简，最后利用二次函数的最值可求得原式的最小值. 【详解】根据余弦定理得，因为，所以， 所以. 所以. 而. 当时，即时，取最大值为. 此时取最小值为. 故答案为：3. 二、题型二 正弦定理解三角形 7．（广东省佛山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知中，是的中点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用正弦定理即可求解. 【详解】 是的中点，， 又，， 在中，，， 在中，，， . 故选：B. 8．（广东省揭阳市三校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题）在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】，，， 则由正弦定理可得，， ， ， ， 的大小为或． 故选：C． 9．（茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷）若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据正弦定理表示，再消去，转化为关于角的三角函数，根据锐角三角形求角的范围，根据三角函数的性质求边的取值范围. 【详解】由正弦定理可知，，则， 因为，则， 因为是锐角三角形，所以， 则，， 所以. 故选：D 10．（广东省清远市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）在中，角的对边分别为，已知，则__________. 【答案】 【分析】明智同角公式及正弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理，得. 故答案为： 11．（广东省广州市九区2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）在平面四边形中，，，，，则_____.    【答案】 【分析】根据正弦定理求得，再根据已知条件求得，利用余弦定理即可求得的长. 【详解】由题意，在中，由正弦定理得， 即， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， ，解得. 故答案为：. 12．（广东省六校（北江中学、河源中学、清远一中、惠州中学、阳江中学、茂名中学）2023-2024学年高一下学期联合质量监测考试数学试题）在中，是的中点，，，，则______． 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理解得，再利用余弦定理解得，最后利用余弦定理求出结果. 【详解】因为在中，，所以， 由正弦定理得：，又因为，， 所以，解得， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据得：， ，解得，因为是的中点，所以， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据可得：，则． 故答案为：. 三、题型三 三角形个数的判断 13．（广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试数学试卷）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 14．（广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使得三角形有两解，需要满足且. 【详解】由正弦定理可得：，要使得三角形有两解，需要满足且，解得. 故选：A 15．（专题02解三角形01（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【答案】ABC 【分析】通过比较与的关系，来确定三角形解的个数. 【详解】已知，， 如图，过作，垂足为． ． ①当或时，有一解； ②当时，无解； ③当时，两解． 结合四个选项，可知，ABC三项判断错误． 16．（广东省佛山市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是______．（仅需填写一个符合要求的数值） 【答案】8（答案不唯一，满足或即可） 【分析】在中，由正弦定理得到 ，再分， ， ，时讨论求解. 【详解】解：在中，，，， 由正弦定理得：，则， 当时，，三角形无解； 当时，，，三角形有唯一解； 当时，即，则，由，得，或，所以三角形有两解， 当时，即，则，由，得，， 因为在上单调递增，所以三角形有唯一解； 故答案为：8（答案不唯一，满足或即可）. 17．（广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 【答案】 【分析】作出示意图，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为. 故答案为：. 四、题型四 边角互化的应用 18．（广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 19．（广东省江门市2023-2024学年高一下学期数学调研测试（二））的内角的对边分别为，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理角化边，然后代入余弦定理化简可得. 【详解】由正弦定理角化边可得，即 又，所以， 解得，所以. 故选：B 20．（广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到，再根据正切的二倍角公式即可求出． 【详解】由，则， 则， 又在中，， 则，且， 所以， 即，得， 所以，， 所以． 故选：B． 21．（广东省湛江市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷）在锐角中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可得，化简得，再结合题意可对A判断；由A可得，再结合为锐角三角形即可对B判断；利用正弦定理可求得，从而可得，从而可对C判断；由，再令，结合在上单调递增，可对D判断. 【详解】A、B：由正弦边角关系有， 所以，又且，，所以，故A正确； 由上，可得，故B错误: C：如下图示，设，则，， 由，则，且，则， 所以， 而，且，则，所以，故C正确； D：由， 而，且在上单调递增，则值域为，故D正确. 故选：ACD. 22．（广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 【答案】/ 【分析】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 23．（专题02解三角形01（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则__． 【答案】 【详解】解：因为，则由正弦定理可得，所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 又因为， 所以. 24．（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则__________. 【答案】/ 【分析】由正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简可得，进而求得，得解. 【详解】因为， 由正弦定理，得，又， ， ，又，， ，即，又， ，即. 所以. 故答案为：. 五、题型五 正弦定理求外接圆直径 25．（广东省潮州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可直接求出外接圆直径. 【详解】因为， 根据正弦定理得，其中为三角形外接圆半径. 所以三角形外接圆直径为. 故选：A. 26．（广东省江门市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求得，由正弦定理求得，结合三角形面积公式和基本不等式求出结果. 【详解】由，得， ∵，∴， ∵外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，则， ∴，则， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，即面积的最大值为. 故选：A. 27．（广东省云浮市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可. 【详解】对于A，由，得，解得或（舍去），故A正确. 对于B、C，因为，所以，解得，故B错误，C正确. 对于D，设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC. 六、题型六 三角形的面积问题 28．（广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求解三角形的面积即可. 【详解】由余弦定理得，则， 则，则的面积为 故选：B. 29．（广东省广州市六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的取值范围为______.    【答案】 【分析】根据正八边形的面积为，根据三角形的面积公式求出的面积即可；根据，求出，则要求的范围，只要求出的范围即可. 【详解】    在正八边形中， ， 所以正八边形的面积为； 因为， 所以， 又，所以， 所以， 因为， 又为定值，所以的取值范围，即取值范围， 设， 所以，当取最小值时，即取最小值， 又表示向量在向量上的投影，故取最小值时，点不可能在路径上（在此路径上为锐角）， 所以点在路径上， 延长与，延长线交于点， 则为等腰直角三角形，且， 所以， 所以当点在上时，向量在向量上的投影最小，即最小， 即， 所以， 所以. 又因为取最大值时，即取最大值， 又表示向量在向量上的投影，故取最大值时，点不可能在路径上（在此路径上为钝角），所以点在路径上， 延长与，延长线交于点，则三角形为等腰直角三角形，且， 所以，即 所以当点在上时，向量在向量上的投影最大，即最大， 即， 所以 所以. 故答案为： ；. 30．（广东省佛山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）在非直角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足 . (1)求证: ; (2)若 ，求 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解， （2）根据正切的和差角公式可得，，即可由同角关系得正弦值，利用正弦定理求解长度，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由可得, 又， 所以， 由于为非直角三角形，故,因此， （2）由，可得, 解得或， 若，则,此时均为钝角，不符合题意， 故，,则，且为锐角，故， 又，为锐角，故, 由正弦定理得,解得 31．（广东省东莞市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检查数学试题）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，整理可得，求出； （2）由余弦定理求出，进而利用面积公式求出答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，解得， 故. 32．（广东省珠海市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，内角所对的边分别为，，，设. (1)求角； (2)若，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，边转角得到，再利用角的范围，即可求出结果； （2）利用余弦定理得，根据结合余弦定理得到，再利用重要不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， ∴， 所以 整理得，， 即 所以，又，， 所以或者（舍）或者（舍）， 所以，又，所以； （2）在中，由余弦定理得：， 得，① 又因为，所以，且， 即，△ADB和△ADC中，由余弦定理得，② 联立①②消去得. （当且仅时等号成立）， 所以的面积. 所以面积最大值为. 七、题型七 三角形的周长问题 33．（广东省阳江市两阳中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先由正弦定理可求得，从而由，可知的值为正，再利用三角形中，可求得的值，从而由正弦定理可求出的值； （2）由已知条件，结合余弦定理，可直接求出的值，即可求得三角形的周长. 【详解】（1）由正弦定理，则， ，， 又，，则， . （2），，， ，即， 得，即， ， 的周长为20. 34．（广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得，由正弦定理可求得结果； （2）利用同角三角函数关系可求得，由余弦定理可构造方程求得的值，由此可得三角形周长. 【详解】（1），，， 由正弦定理得：. （2）为钝角，， 由余弦定理得：，即， 解得：（舍）或， 的周长为. 35．（广东省广州市越秀区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 36．（广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）中，角，，的对边分别为，，，若． (1)求； (2)若且的面积为，求边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可； （2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长． 【详解】（1）中，， 由正弦定理得， 又， 所以， 由于，，有， 所以，又，则，所以. （2）由（1）， 而， 由正弦定理有，从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得，所以. 37．（广东省清远市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）在中，角的对边分别为，若. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求解. （2）由三角形面积公式及余弦定理得出结果. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 即，而，则， 又，所以. （2）由的面积为，得，解得， 由余弦定理得： ，即， 解得，所以的周长为. 38．（广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. (1)求角A； (2)若的面积为，，且，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示及正弦定理边化角求解. （2）利用三角形面积公式、余弦定理及数量积的运算律求解. 【详解】（1）由及，，得， 在中，由正弦定理得，而，即， 解得，即，又，所以. （2）由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，解得， 由，得，则， 所以. 39．（广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求 (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果； （2）由三角形的面积可求得，再结合（1）中得到的式子可求出的值，从而可求出三角形的周长. 【详解】（1）因为，，（为外接圆的半径），     又因为， 所以，即，     所以， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）因为，     所以，     因为， 所以，     所以，     所以的周长为6 40．（广东省深圳市深圳科学高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题）已知分别为三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若的周长为，面积为 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【详解】（1）由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 41．（广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知的内角的对边分别为，. (1)求; (2)若的面积为，求和. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到，则； （2）根据三角形面积公式即可得值，再利用余弦定理即可得到值. 【详解】（1）由正弦定理：，那么，由于， 则，则，且，故. （2）由于，则， 根据余弦定理：， 那么. 42．（广东省茂名市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷）已知函数. (1)当时，求函数的取值范围； (2)在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的单调性求取值范围. （2）由及角A的范围求出角A，结合三角形面积公式、余弦定理及完全平方公式求出，即可求得周长. 【详解】（1）， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，则. （2），则， 又，故，所以，， 因为，所以， 由余弦定理得，， 因为，所以， 所以周长为. 八、题型八 正余弦定理在平面几何中的应用 43．（广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）在中，，，. (1)求的值； (2)取一点，使得，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，在和中，分别由勾股定理及直角三角形中正弦和余弦的定义求解即可； （2）过作，交的延长线于,即为点到直线的距离. 在中，由余弦定理先求出，再利用，即可求出. 【详解】（1）过点作，垂足为. 在中，因为，， 所以. 因为，所以， 在中，由勾股定理可得， ， 因此. （2）因为，所以点为靠近点的三等分点， 因此，. 过作，交的延长线于, 所以即为点到直线的距离. 在中，由余弦定理可得 ， 发现，因此， 又，因此，于是， 所以，即点到直线的距离为. 44．（广东省潮州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷）如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解，用余弦定理求出，由圆内接四边形性质可得，从而得到，然后在中由余弦定理求； （2）在中由余弦定理，求出，然后由两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）为钝角，，则， 在中，由余弦定理，，则， 圆内接四边形对角互补，于是，又，则， 由题知为钝角，则是锐角，于是， 在中，由余弦定理，， 即，解得（负值舍去） （2）由（1）知，，由余弦定理，， 显然，，则， 45．（广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2024~2025学年高一下学期期末联考数学试卷）如图， 是等边三角形， ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点 （不含端点）. (1)求 的值； (2)若 求的最小值. 【答案】(1) (2)9. 【分析】（1）利用正弦定理、数量积的定义，结合诱导公式及二倍角的正弦求解. （2）利用共线向量定理的推论，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，得， 因此 . （2）由，D是线段BC上的任意点 （不含端点），得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为9. 46．（广东省广州外国语学校等三校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）如图，是等边三角形，是边上的动点（含端点），记．    (1)求的最大值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到，利用两角和与差公式将所求化为，从而结合的取值范围即可得解； （2）利用三角函数的平方关系与和差公式求得，再利用正弦定理求得，从而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）， ， 又， 故当时，即时，取得最大值. （2）由，且得， 故， 在中，由正弦定理得，又， 所以， 故. 47．（广东省河源市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题）如果一个四边形的四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧，则称该四边形为凸四边形.如图，在凸四边形中，和的面积分别为和. (1)若，求四边形的面积； (2)求的取值范围； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，利用余弦定理可求得，进而求得，的面积，可得四边形的面积； （2）由三角形的三边关系可得，但三点共线，利用余弦定理可求得，从而可得的取值范围； （3）法一：在，中，由余弦定理可得，又，代入可求得取得最大值；法二：设，则，即，在中，过点作，垂足为，进而可得，利用二次函数的性质求得最大值即可. 【详解】（1）若，在中，，所以， 所以的面积为 在中，，所以， 所以的面积为. 所以四边形的面积为. （2）显然，且，即； 如图，当三点共线时，， 满足，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以的取值范围是. （3）在中，由余弦定理可得 在中，由余弦定理可得， 所以，整理得， 所以 由（2）可知，所以当时，取得最大值，最大值为 解法二：设，则，即， 在中，过点作，垂足为， 则为中点，， 所以 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 当，即时，取得最大值，最大值为. 48．（广东省茂名市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，. (1)求； (2)记的面积为，内一点满足； （i）若，求证：； （ii）若，，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）根据二倍角公式、利用正弦定理把边化角即可求解. （2）（i）利用等面积法、三角形面积公式及余弦定理列式即可证明；（ii）利用余弦定理求出，再利用三角形相似性质及余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以. （2）（i）因为， 所以 ， 所以， 由余弦定理得， ， ， 三式相加得：， 所以. （ii），又，， 所以，解得，所以， 因为， 所以， 所以∽，所以， 设，所以， 由余弦定理得， 即，解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形的三角恒等变换、面积公式及几何性质.本题第（2）问题的解题关键在于利用等面积法、余弦定理及几何条件，建立边长与面积的关系；根据相似性质建立的关系，通过减少未知数的个数来求解. 49．（广东省佛山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，点在内，且满足. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，，，求及的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，. 【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式推理即得. （2）利用（1）的结论，利用等比性质推理得证. （3）利用（2）中信息求出，再利用同角公式及和差角公式、正弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 由三角形面积公式得，即，则， 所以. （2）由（1）知， 设， 同理得 ， 所以. （3）由，，得， 由（2）得，，即，所以； 由，解得，而， 则， ， 于是， 由正弦定理，得. 九、题型九 周长面积最值问题 50．（广东省揭阳市2023-2024学年高一下学期教学质量测试数学试卷）在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，再根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 如图所示，则的面积为， 即，因为，． ． 当且仅当，结合得时等号成立， 所以，的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理得，再利用面积法得到，最后根据基本不等式中的乘“1”法即可. 51．（广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题）在中，角所对的边分别是，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 D．若，且，则该三角形内切圆面积的最大值为 【答案】AD 【分析】对于AB：利用余弦定理结合基本不等式求的最大值，进而可得面积的最大值；对于C：利用余弦定理分析可得：关于c的方程有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D：利用余弦定理可得，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果. 【详解】对于选项A：由余弦定理可得，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于选项B：由余弦定理可得，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：由余弦定理可得，即， 整理可得， 由题意可知：关于c的方程有2个不相等的正根， 则，解得， 且，可得，故C错误； 对于选项D，因为，即， 则，整理可得， 注意到，则，即，可知， 且，则该三角形内切圆半径. 又因为， 当且仅当时，等号成立，可得， 所以该三角形的内切圆面积的最大值是，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化； （2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式； （3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解. 52．（广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题）在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . (1)求角C; (2)若 求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用向量共线的坐标表示列出等式，然后根据正弦定理和和差的正弦公式化简从而求得. （2）先根据正弦定理将分别用表示出来，然后列出的表达式并化简，最后根据的范围求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 所以，化简得， 利用正弦定理得， 因为，所以， 所以，因为，所以. 又，所以. （2）根据正弦定理，所以， 同理. 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 53．（专题02解三角形02（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由内角和定理结合正弦定理得出，结合余弦定理得到，再由正弦定理解出； （2）由（1）知由正弦定理边化角可得，，角化边得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以，即， 由正弦定理得，，即①， 因为，所以②， 联立①②得，，即， 解得， 由正弦定理知，， 所以， 因为，所以． （2）由（1）得， 由正弦定理得，，即， 因为 ， 所以， 又，所以， 因为，，所以，即，所以， 由（1）得， 所以， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，即， 故的取值范围为． 54．（广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)． 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案； （2）由求出，再由余弦定理可得答案； （3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为，所以， 即，所以， 又因为，即， 所以； （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 由（1）知，由余弦定理， 得，， ， ， 当时，取最小值；时，取最大值． 所以的取值范围是． 55．（广东省廉江市石岭中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）利用正弦定理运算求解即可； （3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径）， 所以. （3）由题意可知：，且，即， 又因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 可得， 所以的面积的最大值为. 56．（广东省佛山市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题）从①，②，③的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题． 在锐角中，已知，______，求面积的取值范围． 【答案】答案见解析 【分析】设的内角的对边分别为， 选择①：由正弦定理得到，得到，根据题意求得，结合三角函数的性质，即可求解； 选择②：由正弦定理求得，化简得到，根据题意求得，进而求得的面积的取值范围； 选择③：依题意，由余弦定理和，求得，结合海伦公式，即可求解. 【详解】设的内角的对边分别为， 选择①：由正弦定理，可得，， 且, 因此，的面积为 ， 又由且，故， 因为，可得， 所以的面积的取值范围为． 选择②：由正弦定理，可得， 且， 因此的面积为， 又且，故， 因为当时，可得， 所以的面积的取值范围为． 选择③：依题意，由余弦定理，可得 将代入，可得， 又的半周长为，故的面积为 ， 所以的面积的取值范围为． 57．（专题02解三角形01（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）已知△中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，求△周长的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）方法1，根据余弦定理及基本不等式求解即可； 方法2，结合正弦定理及和差化积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得，整理得， 又，所以， 而，所以. （2），， 方法1：由余弦定理得，当且仅当时取等号， 可得，所以三角形的周长的最大值为． 方法2：由正弦定理， 周长， 由，得， 故，当时取等号，即三角形的周长的最大值为6． 58．（广东省云浮市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解法一：根据可得利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出，再由三角恒等变换得出； （2）由正弦定理得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由可得，代入， 得，即， 则. 由正弦定理得， 即， 即，可得. 因为，则， 可知，解得. 解法二：因为，所以. 又因为，则. 即， 由正弦定理得. 且 ， 即有.解得. 由，可得. （2）由（1）可得， 由正弦定理得，① 由余弦定理得. 对①式进行变形可得， 所以. 因为为锐角三角形，所以即 解得，从而， 又，所以，即的取值范围为. 59．（专题02解三角形02（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）中，角，，的对边分别为，，，满足，． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)因为， 则由正弦定理，可得， 再由余弦定理可得：， 化简可得，则或， 又，则，所以不成立，则，即； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理综合求证； （2）将化为以的形式表达的函数，再求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理可得：， 又且，解得， 令，则函数在,上单调递增，所以， 所以，故的取值范围为． 60．（广东省深圳外国语学校2025-2026学年高一上学期期末数学试题）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用正弦定理得，再根据辅助角公式、倍角公式化简，然后结合正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，     则， 所以 ， 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，得， 所以，则，即， 所以的取值范围为. 61．（广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知的内角的对边分别为，若，，为平面内一点，且满足． (1)求； (2)求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和商关系得出角的值； （2）利用余弦定理、基本不等式和向量数量积公式，计算得出结果； （3）先用向量的运算和向量的模计算公式化简，在结合正余弦弦定理转化为，利用角的取值范围求得的取值范围； 【详解】（1）正弦定理得 因为，所以. （2）为平面内一点，且满足，则为外接圆圆心，设外接圆半径为,由（1）知，， 所以 余弦定理得 当时取等号； ， 所以的最小值为； （3） 解法一： 若，所以 根据正弦定理得, 所以 因为， 因此的取值范围为； 解法二：根据正弦定理，得，所以， 从而. 因为，所以， 所以， 所以 . 因为，所以， 所以. 所以， 所以的取值范围为. 62．（广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理边角互化，求得，得到答案； （2）根据余弦定理，借助重要不等式求出，再根据面积公式求出最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 所以，由正弦定理得， 因为且，所以， 又因为，所以. （2）若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得， 由正弦定理得， 又因为，即， 所以，当且仅当时，等号成立， ， 所以面积的最大值为. 63．（广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． (1)求证：； (2)已知，，求的内切圆半径r； (3)已知，且，求S的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用余弦定理求角，利用平方关系转化为角的正弦，再利用正弦面积公式来求解化简即可证明； （2）利用内切圆圆心把一个三角形分割成三个高为的三角形，再由等面积法求解即可； （3）利用边化角来求出，再结合海伦面积公式，利用消元，即可得二次函数的最大值来求解. 【详解】（1）由余弦定理得：， 所以， 再由三角形面积公式： ， 由于得：； （2）已知，则，由的内切圆半径r， 可用等面积法知：； （3）由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：， 因为，所以，再由，可知：， 所以， 根据海伦公式可知： ， 当时，，此时. 64．（广东省五校联盟（茂名市第一中学等）2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）在①分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足______. (1)求角； (2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，由三角形的面积公式结合余弦定理，即可得到结果；若选②，由向量数量积的运算律结合三角形的面积公式即可得到结果；若选③，由正弦定理即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理与基本不等式化简，然后结合正弦定理即可得到结果. 【详解】（1）选①依题意 即，由余弦定理 . 选②由题意， 得.，即， . 选③， 由正弦定理得， ， ， ，可得， 因为，所以. （2）因为，所以 ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， ， 设内切圆的半径为，则， 所以 所以内切圆的半径为. 十、题型十 三角形三线问题 65．（广东省湛江市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷）已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得和 ，解得. （2）利用余弦定理求出边上的中线即可． 【详解】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得, 所以， 所以. （2）边的中线长为, 证明：设边BC上的中线记为ma， 根据余弦定理得， 所以 ， 所以. 66．（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得出；再利用正弦定理将边化为角得出；最后根据两角和的余弦公式及诱导公式可求解. （2）结合（1）中及余弦定理可得；再根据三角形面积公式可求解. 【详解】（1） 因为AC边上的高等于 所以，即 由正弦定理得， 又因为， 所以． 又因为， ， 所以， 故 （2）由（1）知. 因为， 所以. 因为， 所以由余弦定理可得：， 即， 则，即，解得， 所以△ABC的面积. 67．（广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边，再利用余弦定理即可得到； （2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式即可得到最值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 则， 由余弦定理得. 又，所以. （2）因为是边的中点， 即，所以. 在中，， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为. 68．（广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点． (1)求证：； (2)若． （ⅰ）求； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析. (2) （ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）结合角平分线，在中利用正弦定理证明，关键 （2）（ⅰ）利用正弦定理结合辅助角公式求解；（ⅱ）利用等面积法求解即可. 【详解】（1） 在中,是的平分线. 证明设,则. 在和中分别运用正弦定理,得 ， 又因为, 所以即 （2）（ⅰ）因为 由正弦定理得: 又所以， 所以 所以 即 即 即 即 因为所以 （ⅱ） 又因为 所以可得 所以 69．（吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解. （2）利用三角形面积公式列式求解即得. （3）利用余弦定理及面积公式列式求出，即可求得周长. 【详解】（1）在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. （3）由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 70．（广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若为的平分线且与交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由化简得，整理化简得，即可求解； （2）因为为的平分线且与交于点，可得，则得，再结合基本不等式得，即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，则. 又，所以， 由，得. （2）因为为的平分线且与交于点， 所以，整理得. 由，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为. 71．（广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题）在中， . (1)求； (2)已知平分，且位于上，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理、余弦定理化简已知式得到，结合三角形内角范围即可求出. （2）结合图形将向量等式转化得到，推得点是上靠近点的三等分点，即，又由三角形角平分线定理，，再利用正弦定理得到，结合（1）的结论，即可逐个求出三角形的内角，从而可求. 【详解】（1）由题， 可得（*） 由正弦定理，其中为三角形外接圆半径， 可得， 又由余弦定理，， 即， 代入（*），可得，而，故， 则，解得，因为，所以. （2） 如图，由，可得， 即，又位于上，则点是上靠近点的三等分点， 则，因为平分，所以由角分线定理得， 由正弦定理得，则， 因为，则，代入得， 即，解得，而，故， 则，故. 72．（茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷）如图所示，在中，，AD平分，且. (1)若，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若，求k为何值时，BC最短. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在和中分别利用正弦定理结合AD平分，可得，从而可求出，进而可求出； （2）由结合三角形的面积公式及已知条件化简可得，从而可求出k的取值范围； （3）由，结合余弦定理得，令，则当最小值时，最短，化简后结合辅助角公式和正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为AD平分，所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以，得， 所以； （2）因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （3）由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 所以， 因为， 所以，所以， 由（2）知， 所以， 即当时，最短. 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式和三角函数恒等变换公式的应用，第（3）问解题的关键是余弦定理结合已知条件表示出，换元后结合三角函数恒等变换公式可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 73．（广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求b； (3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理集合同角基本关系即可求解； （2）根据已知条件先求出，结合正弦定理求出，根据面积公式即可求解； （3）利用正弦定理求出值，再利用余弦定理求出，利用半角公式即面积公式求得，两式联立求出即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得， ，，，， ，，， ，又，． （2）由（1）知，，，则． ． 由正弦定理得，， ，． （3）由（1）知，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即． 平分，． ，． ， ， 化简得：， 代入，得， ，， ，的周长为． 74．（广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解； （2）根据题意结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③：由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）若是的角平分线，则， 且，即， 解得. 十一、题型十一 实际测量问题 75．（云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 76．（专题02解三角形02（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 77．（广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下，由题意得，， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 78．（广东省云浮市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】在中，求得则，再在中，求得，利用正弦定理求得，在中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由， 则. 在中，可得， 由正弦定理，可得，解得， 在中， 由余弦定理， 可得，解得， 所以两个目标点间的距离为. 故选：C. 79．（广东韶关实验中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题）如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得． 【详解】连接AC， 可得， ，， 在中，由正弦定理得， 即，则， 在中，由余弦定理得， 则． 故选：C． 80．（广东省广州市天河区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 81．（广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可. 【详解】由题可得示意图：平面，，，， 设山顶高于海面的距离为， 由题意，， 在中，，， 由余弦定理得， 即，即， 解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面米. 故选：D. 82．（广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理来求边，再由正切函数可求出塔高. 【详解】在中，由，，可得， 结合已知和正弦定理可得：，解得， 因为在点C测得塔顶A的仰角为， 所以， 故选：C. 83．（广东省东莞市2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试题）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 【答案】D 【分析】由余弦定理求解． 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 84．（广东省云浮市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得罗定文塔顶端的仰角为，则罗定文塔的高度______.（参考数据：取，，，）    A．23.5m B．47m C．24.5m D．49m 【答案】B 【分析】首先求出，再由两角和的正弦公式求出，在中由正弦定理表示出，在由锐角三角函数得到，从而计算可得. 【详解】因为，所以， 又 ， 因为，，所以， 在中由正弦定理， 即，又， 所以 . 故选：B 85．（广东省汕尾市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题）如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角. (1)若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）； (2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值. 【答案】(1)北偏东 (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可求得，可求，可得结论； （2）利用正余弦定理可得，根据，结合余弦定理可得，利用配方法与基本不等可求得的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理， 得， 即，即， 因为，故，解得， 因为，故， 故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行. （2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得， 又因为， 化简得，， 因为， 即，故，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 86．（茂名市2023-2024学年高一下学期教学质量监测数学试卷）在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）. 【答案】 【分析】画出具体图形后，借助余弦定理及二次函数性质计算即可得. 【详解】如图，、分别为乙船与甲船所处位置，则km，， 设点为两船相遇位置， 相遇时间在小时后， 则， 即， 则当，即时，有， 即甲船航行速度的最小值为. 故答案为：. 87．（广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题）甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是___________ h，最近距离是__________ km． 【答案】 / 【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，得到，然后在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近， 则， 在中，由余弦定理得， 所以当，即航行时间为小时时，最小，即甲、乙两船相距最近， 最近距离是． 故答案为：；. 88．（广东省韶关市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）如图，为了测量河对岸的塔的高度，某人选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得；，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________.    【答案】 【分析】先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得，进而在中，根据求得． 【详解】在中，，， 由正弦定理，得 所以 在中， 所以塔高AB为. 故答案为：. 89．（广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，.    【答案】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】在中，，，米， 则， 因为， 所以米， 在中，， 则， 所以米. 故答案为：. 90．（广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 【答案】(1) (2)无触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方向角的定义在图中确定岛的位置； （2）通过解三角形求出岛到货轮航行路线的距离，与8海里比较大小，判断有无触礁危险. 【详解】（1） （2）在中， （海里）， ． 由正弦定理得， 又， 所以（海里）． 故A到航线的距离为（海里）． 由， 则，所以货轮无触礁危险． 91．（广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)甲船能沿DE方向航行前往救援，理由见解析. 【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【详解】（1）由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). （2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 92．（广东省广州市荔湾区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）如图，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量两点间的距离，在两点的对岸选定两点，测得，并且在两点分别测得，，，，    (1)求两点间的距离； (2)设与相交于点，记与的面积分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦理定依次求得，再利用余弦定理即可求得，由此得解； （2）在中，利用正弦定理求得，再在与中，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）在中，，，所以， 又，所以由，得， 在中，，，所以， 又， 所以由，得， 在中，，， 所以 ， 则. （2）在中，，，则， 由，得，， 所以在中，，， 则， 在中，，， 则， 所以. 十二、题型十二 三角形四心问题 93．（广东省广州一一三中2023-2024学年高一下学期期中数学试题）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．O为的外心，则 D．设，则 【答案】BD 【分析】对于A：计算的正负即可；对于B：直接用面积公式计算即可；对于C：利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再直接利用向量的定义计算即可；对于D：先表示出，然后两边同时平方计算. 【详解】对于A：，为中的角，故为钝角，为钝角三角形，A错误； 对于B：， 则，B正确； 对于C：，为中的角，则， 所以，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以，C错误； 对于D：因为， 则， 所以 ，所以，D正确. 故选：BD. 94．（广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大内角是最小内角的3倍 C． D．若，则内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A；利用余弦定理求和，进而分析可判断BC；再利用面积方法求内切圆半径，判断D. 【详解】A.由正弦定理可知，，故A正确； B.最大内角是，，， 最小内角是，，所以，所以，故B错误； C.由B可知，，，，所以，故C正确； D.若，则，由B可知，，所以， 设内切圆的半径为，则，即，，故D正确. 故选：ACD 95．（辽宁省抚顺市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题）在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线一定经过三角形的重心 B．当时，直线一定经过三角形的外心 C．当时，直线一定经过三角形的垂心 D．当时，直线一定经过三角形的内心 【答案】AC 【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知. 【详解】对于A，因为，，设点为的中点， 所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确； 对于B，当时，， 因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量， 所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误； 对于C，当时，， 所以， 所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确； 对于D，当时，， 而由正弦定理有，即有， 结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解. 96．（广东省湛江第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试（7月）数学试题）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若O为的垂心，，则 D．若，则点O的轨迹经过的重心 【答案】ACD 【分析】利用向量数量积定义及运算律，结合垂心、正弦定理逐项公板判断即可. 【详解】对于A，由，得， 则，为等腰三角形，A正确； 对于B，由，得，整理得，角是锐角， 不能确保为钝角三角形，B错误； 对于C，由O为的垂心，得， 则，C正确； 对于D，令边中点为，由正弦定理得，即， 则，因此点的轨迹是直线上， 而直线过的重心，所以点O的轨迹经过的重心，D正确. 故选：ACD 【点睛】易错点睛：与（或）的计算时，前者的夹角是，后者的夹角为. 97．（广东省佛山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以， 故，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理 则，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 则， 由余弦定理得，所以， 设内切圆半径为，所以，所以， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $