广东省阳江市第三中学2025-2026学年下学期高二数学期末复习（一）

**基本信息** 高二数学期末复习卷以景德镇瓷器（文化传承）、智能软件使用调查（现实应用）为情境，覆盖数列、导数、概率统计等核心知识，通过基础到综合的问题设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|数列、等比数列、二项式定理、导数|基础概念辨析，如数列前n项和求项| |多选题|3题|函数极值、二项式定理、概率|多选项设计考查逻辑推理，如函数极值判断| |填空题|3题（15分）|排列组合、导数单调性、条件概率|简洁考查运算能力，如小区安排方法数| |解答题|5题（77分）|导数极值与方程根、频率分布直方图、数列证明与求和、独立性检验|结合文化与现实情境，如景德镇瓷器概率计算、手机使用独立性检验，考查数学建模与数据分析|

2025-2026学年度第二学期高二数学期末复习（一）答案 一、单选题 1．已知数列的前项和，则等于（     ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】C【详解】由可得，故选：C 2．在单调递减的等比数列中，若，，则（     ） A．9 B．3 C． D． 【答案】A【详解】设等比数列的公比为，则由，，得 ，解得或，又单调递减，故，.故选：A. 3．的展开式中的系数是（     ） A． B．26 C． D．30 【答案】D【详解】二项式的展开式通项为，其中 的展开式中项来源于两部分：因式乘以的项：取，对应系数为；因式乘以的项：取，对应系数为； 将两部分系数求和，得的系数为. 4．下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误.故选：B. 5．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】，A选项正确；，所以不成立，B选项错误；，所以不成立，C选项错误；，所以不成立，D选项错误. 6．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【答案】A【详解】因为，所以，所以. 7．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误.故选：D. 8．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（     ） A．变量x，y正相关 B．回归直线一定过样本中心 C． D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 【答案】D【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确；对于B，样本中心点一定在回归直线上，B正确；对于C，，因此，C正确；对于D，，当时，（百台） 二、多选题 9．已知函数，则（     ） A．的极值点为 B．的极大值为 C．的最大值为 D．只有1个零点 【答案】BCD【详解】∵函数，∴，由，得，由，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，且为函数的最大值，故Ａ错误，BC正确；又因为，且当时，，当时，，故D正确.故选：BCD. 10．对于二项式，下列说法正确的是（     ） A．展开式中各项的二项式系数之和为 B．若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则 C．若展开式中的系数为160，则 D．若为奇数，令，则 【答案】BCD【详解】对于A，由二项式定理可得，展开式中各项的二项式系数之和为，故A错误； 对于B，若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，即，故B正确； 对于C，若展开式中的系数为160，即，故C正确； 对于D，令，，令，，两式做差可得，故D正确.故选：BCD 11．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量，且，则 B．若随机变量，，则， C．已知事件A，B，若，且，，则 D．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 【答案】ACD【详解】选项A：∵，∴，因为对称轴为，∴，∴，故A正确； 选项B：由可得，，，对于，根据期望和方差的性质：∴正确，错误，故B错. 选项C：∵，∴，∴ ，故C正确；选项D：X服从超几何分布，总数,白球数,抽取数,根据超几何分布期望公式计算可得，,选项D对.故选：ACD． 三、填空题 12．将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】150【详解】将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，分组方法有（113），（122）两种分法，当分成（113）时，有种安排方法；当分成（122）时，有种安排方法；综上，共有150种安排方法.故答案为：150 13．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立，因为在区间内单调递增，则，可得，所以实数的取值范围为. 14．对于随机事件，若，，，则_________. 【答案】【详解】，又，所以， 因为，所以.故答案为： 四、解答题 15．已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【详解】（1）由题意得，函数在及处取得极值， 得，解得.此时，. 当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. （2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，由图象知，解得， 所以实数c的取值范围是． 16．某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为，则，解，所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人.设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. .所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 17．景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． (1)若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； (2)若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）记事件为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件为“取出的青花瓷是乙烧制的”， 事件为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件为“取出的青花瓷是成品”， 则，，，，，， 所以． （2）的所有可能取值为，则，，，， 所以的分布列为： 0 600 1200 1800 数学期望． 18．已知数列中，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的前项和． 【详解】（1）当时，，所以，，又，所以，故是以2为首项，3为公差的等差数列.故，所以，． （2），令，① 则，② ①-②得：，，故. 19．深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 零假设为性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过． （2）（ⅰ）设抽取的三人中男生的人数为，易知名周末使用手机小时及以上的同学中有名男生，名女生， 所以的所有可能取值为、、、， 且服从超几何分布：， 则恰好抽中名男生的概率为； （ⅱ）由题意得，的所有可能取值为、、， 则，，， 则的分布列如下 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二数学期末复习（一） 一、单选题 1．已知数列的前项和，则等于（     ） A．15 B．18 C．21 D．24 2．在单调递减的等比数列中，若，，则（     ） A．9 B．3 C． D． 3．的展开式中的系数是（     ） A． B．26 C． D．30 4．下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 6．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1 7．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（    ） A．变量x，y正相关 B．回归直线一定过样本中心 C． D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的极值点为 B．的极大值为 C．的最大值为 D．只有1个零点 10．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为 B．若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则 C．若展开式中的系数为160，则 D．若为奇数，令，则 11．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，且，则 B．若随机变量，，则， C．已知事件A，B，若，且，，则 D．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 13．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 14．对于随机事件，若，，，则_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15．已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 16．某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 17．景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9． (1)若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率； (2)若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望． 18．已知数列中，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的前项和． 19．深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $