广东省2025-2026学年高二下学期数学期末自编测试卷（一）

**基本信息** 高二下学期数学期末测试卷，涵盖立体几何、数列、概率、导数、圆锥曲线等核心知识，通过基础题与创新题结合，考查数学抽象、逻辑推理及应用意识，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|二项式定理、向量、复数、直线与圆|单选注重基础，多选综合空间几何与解析几何，如第10题结合四棱锥外接球与体积| |填空题|3题/15分|双曲线离心率、导数极值、新定义|第14题以正整数分解新定义考查抽象思维| |解答题|5题/77分|立体几何证明与计算、概率统计、椭圆综合、导数新定义|第17题花艺工作室情境体现数学应用，第19题“性质P”新定义考察创新思维，贴合高考命题趋势|

高二下学期 数学期末测试卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 5．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 7．已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 10．已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（   ） A．点在四棱锥外接球的球面上 B．四棱锥内切球的表面积为 C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D．四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分 11．已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l与圆C恒相交 B．当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D．若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为_________． 13．已知函数（为常数），若为的一个极值点，则__________. 14．设正整数，其中，记，当，时______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 16．记的内角的对边分别为．面积为，且. (1)求； (2)若，，求. 17．某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 18．已知椭圆的离心率为点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 19．设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数具有性质，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期 数学期末测试卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线定理得到，两边平方求出，得到答案. 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故.故选：A 3．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，所以； 由得，所以. 所以. 4．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 5．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据抛物线得出焦点及准线进而计算求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是8. 故选：C. 6．若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 7．已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】由题意得，，，解得，， 所以， 所以， 因为是正整数，所以当或时，同时取得最大值为. 8．小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定获胜的概率值，然后结合分布列的特征近似相应的概率值，最后求解数学期望即可. 【详解】设0表示手背，1表示手心，用5为的二进制数表示所有可能的结果， 其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势， 如下表所示，其中标记颜色的部分为小华获胜的结果. 由古典概型计算公式可知，每次比赛小华获胜的概率为， 可能的取值为，服从二项分布， ，， ，， 则数学期望： . 故选：B． 【点睛】本题主要考查古典概型的计算，离散型随机变量的期望，二项分布及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【详解】对于A，因为，则，所以A错误， 对于B，复数的虚部为，所以B正确， 对于C，因为，则为纯虚数，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误. 10．已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（   ） A．点在四棱锥外接球的球面上 B．四棱锥内切球的表面积为 C．四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D．四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分 【答案】ACD 【分析】根据四棱锥与正方体的关系即可判断选项A；根据四棱锥内切球体积与表面积的关系即可判断选项B；找出四棱锥与四棱锥公共部分，转化为求四棱锥和三棱柱的体积问题，再求和即可判断选项C；结合直观想象及空间想象判断选项D. 【详解】A：将四棱锥补成一个正方体， 则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点， 所以点在四棱锥外接球的球面上，A正确. B：四棱锥的体积， 侧面积， 表面积， 则四棱锥内切球的半径， 则该内切球的表面积为，B错误. C：连接，易证，， 则四边形和四边形均为平行四边形， 设，，则，分别为，的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，， 则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体， 其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和， 即，C正确. D：平面、平面、平面将空间分成8个， 最后平面将其中6个空间各分成2部分， 所以四个侧面所在平面将空间分成个部分，D正确. 11．已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l与圆C恒相交 B．当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D．若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，先得到直线过定点，结合点在圆C内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于B，当时，直线l被圆C截得的弦长最短，再求直线方程即可；对于C，由直线与圆的位置关系，可得圆心C到l的距离为1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离为，然后求直线方程即可；对于D，由题可知，再由的面积为即可求解． 【详解】圆C：，圆心，半径， 直线， 令， 所以直线l过定点，又点在圆C内部， 所以直线l与圆C恒相交，故A正确； 当时，直线l被圆C截得的弦长最短，又直线的斜率为， 故直线的斜率为1，所以直线的方程为，故B正确； 因为圆C的半径为，所以当且仅当圆心C到l的距离为1时， 圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 此时直线l的斜率为0或不存在，所以或，故C错误； 设圆心C到l的距离为d，则，且， 又的面积为， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为_________． 【答案】 【分析】由图，题意，双曲线对称性可得为直角三角形，然后设，由及勾股定理可表示出a，c，即可得答案. 【详解】由双曲线对称性及，可知， 则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性， 可知四边形为平行四边形，结合， 可知四边形为矩形，则为直角三角形. 设，则. 故. 故答案为： 13．已知函数（为常数），若为的一个极值点，则__________. 【答案】 【分析】由取极值的必要条件列方程，并检验即可. 【详解】函数在处有极值， ，经检验成立. 故答案为：. 14．设正整数，其中，记，当，时______. 【答案】 【分析】根据题设以及逆用等比数列前n项和公式得即可得解. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作，交于点，作，交于点，再连接，通过说明四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，说明平面即平面，进而可求解. 【详解】（1） 作，交于点，作，交于点，连接． 因为，所以．同理可得． 因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形，所以． 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记． 因为，所以，，即，分别为，的中点． 因为，，所以四边形为平行四边形，， 所以，平面即平面，延长，与的交点即为点． 因为，所以，解得． 16．记的内角的对边分别为．面积为，且. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1），即， 化简可得，即， 因为，所以. （2）因为， 由正弦定理可得，即， 由（1）知， 在中，由余弦定理可得， 因为，所以代入可得， 联立可得，解得，. 17．某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用全概率公式计算出单花艺作品达到设计标准的概率即可； (2)利用全概率公式计算出单花艺作品未被客户采纳的概率,再利用贝叶斯公式计算该单花艺作品是中式花艺作品的概率； (3)利用全概率公式计算这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率； 【详解】（1）设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品， 事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么 . （2）设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么 ， 所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为 ; （3）设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么 . 18．已知椭圆的离心率为点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据离心率及过点即可求解； （2）（ⅰ）设，表示出直线的方程，根据直线与圆相切得出，分别为方程的两根，由韦达定理即可证明；（ⅱ）设，，表示出直线的方程，联立方程组得出两根之积与两根之和，结合直线的斜率为即可求解． 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为点在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）设，则直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 化简得：， 同理：， 所以，分别为方程的两根， 所以． （ⅱ）设，，直线， ， 化简得：， 由，联立消去y得： 所以，所以， 所以， 化简得：，所以或， 当时，直线， 所以在直线上，舍去． 所以，所以． 19．设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数具有性质，求的取值范围． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，利用零点存在定理即可求解； （2）由题意得存在实数，使得，即，即，设，利用导数研究单调性进而求解； （3）由得，，设，利用导数研究单调性，根据的情况分类讨论，进而求解. 【详解】（1）由得，， 设， 当时，， 又， 则存在，使得，即 故函数具有性质； （2）由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是； （3）由得，， 由得，， 设，， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证，令， 则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 当时，，考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质，综上，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $