精品解析：辽宁铁岭市2025-2026学年九年级上学期中学生能力训练数学限时作业（一）

2025-2026年中学生能力训练 数学限时作业（一） （本试卷满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 3. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 4. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（ ） A. 36 B. C. 28 D. 30 6. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. 16 D. 7. 某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是矩形，连接，，延长到使，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 若是方程的两个实数根，则的值为___________． 14. 如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=12，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，CF的长为________。 15. 如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）（公式法） （2）（因式分解法） （3）（配方法） 17. 如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）____________．（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． （1）求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ （2）经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 20. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，试判断的度数，并证明你的结论． 21. 阅读下列材料： ①关于的方程，方程两边同时除以，得， 即，； ； ②； 根据以上材料，解答下列问题： （1），则______；______；______． （2），分别求和的值． 22. 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． （1）如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：； （2）如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点．在折叠过程中，当时，请求出线段的长度． 23. 问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程） 问题探究：在“问题情境”的基础上请研究． （1）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °； （4）拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年中学生能力训练 数学限时作业（一） （本试卷满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析各选项是否一定满足条件． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，展开之后二次项抵消，是一元一次方程，不符合题意； C、等号左边不是整式，不是一元二次方程，不符合题意； D、，未强调，即不一定是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定方法逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 四边形内角和为，四个角相等时每个角都为，因此四个角相等的四边形是矩形，A选项错误； ∵ 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，因此B选项错误； ∵ 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，因此C选项错误； ∵ 矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，因此D选项正确； ∴ 选D． 3. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，将各选项方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：方程，，方程无实数根； B 选项：方程，，方程无实数根； C 选项：方程，，方程无实数根； D 选项：整理方程得，，方程有实数根． 5. 若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（ ） A. 36 B. C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到的长，再利用矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ， 解得或， ∵边长为正数， ∴， ， 在中， ， ∴矩形的周长为； 6. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，由，恰为的中点，得到，得到，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：菱形， ，，， ，恰为的中点， 垂直平分，是的中位线， ， ， ， ． 7. 某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程． 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场次为(场)， 设邀请个队参赛，每个队要与其余个队各赛1场， 又∵每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为， ∴可列方程为． 8. 如图，四边形是矩形，连接，，延长到使，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，求出，只要证明，推出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设与交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 若关于的方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】已知二次项和常数项为平方项，完全平方式的一次项有正负两种情况，据此列方程计算的值即可． 【详解】解：方程的左边为完全平方式，且，， 根据完全平方公式，可得，即， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， 的值为或． 10. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】将一元二次方程的根代入该一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：． 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知数的值是解题关键． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 13. 若是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系，即可解决问题． 【详解】解：是方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=12，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，CF的长为________。 【答案】8或 【解析】 【分析】分情况讨论，当∠FEC为直角时，由折叠图形的特点推得四边形ABEF为正方形，从而求得EF和EC的长，利用勾股定理可求FC的长；当∠EFC为直角时，推得A、F、C在一条直线上，由勾股定理求得AC，再由折叠图形的特点求出AF的长，则FC的长度可知. 【详解】如图，①当∠FEC为直角时， ∵∠BEF=90°， ∵EB=EF， ∴四边形ABEF为正方形， ∴BE=AB=EF=5， ∴EC=BC-BE=12-5=7， ∴FC= ②如图，当∠EFC为直角时 ∵∠AFC=∠ABE=90°， ∴A、F、C在同一条直线上， AC= ∵AF=AB=5， ∴CF=AC-AF=13-5=8. 故答案为：8或 【点睛】本题考查的是勾股定理，翻折变换（折叠问题），本题的解题关键在要注意分，当∠FEC为直角时和∠EFC为直角两种情况讨论. 15. 如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 【详解】解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）（公式法） （2）（因式分解法） （3）（配方法） 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． 【小问3详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 17. 如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）____________．（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，准确表示出，是解决此题的关键． （1）利用路程=速度×时间即可并结合几何关系即可得到答案； （2）求出五边形的面积等于时的面积，根据的面积公式即可列出方程进行求解． 【小问1详解】 解：∵从点开始沿边向终点以的速度移动， ， ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在，时，能够使得五边形的面积等于，理由如下： 长方形的面积是：， 当五边形的面积等于时，的面积为， ∴， 解得． ∴不符合题意，舍去． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 18. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 19. 暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． （1）求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ （2）经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】（1）每个B款冰箱贴的售价为25元 （2）每个A款冰箱贴应降价10元 【解析】 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； 【小问2详解】 解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． 20. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，试判断的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据，求出，然后根据四边形的内角和定理求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ．理由如下： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 21. 阅读下列材料： ①关于的方程，方程两边同时除以，得， 即，； ； ②； 根据以上材料，解答下列问题： （1），则______；______；______． （2），分别求和的值． 【答案】（1）4，14，194 （2）， 【解析】 【分析】（1）仿照①的方法，进行求解即可； （2）仿照①的方法，结合②中的公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； ． 22. 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． （1）如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：； （2）如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点．在折叠过程中，当时，请求出线段的长度． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由折叠可得，，再由矩形得到，然后由折叠以及平行导角得到，即可证明全等； （2）根据折叠得到，再由平行以及折叠得到，那么，即可证明四边相等，即可证明为菱形； （3）连接，可证明（），则可设当射线与射线的交点在边上时．则，，，在中运勾股定理建立方程求解；当射线与射线的交点在边的延长线上时，则，，，在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：折痕为，点的对应点为点 ， 四边形是矩形 ， ， ； 【小问2详解】 解：折痕为，点的对应点为点 ，， 四边形是矩形 四边形为菱形； 【小问3详解】 解：折痕为，点的对应点为点 ，， 四边形是矩形 ，， ， 连接 （） 设 ，， ，， 如图，当射线与射线的交点在边上时． ，， 在中， 如图，当射线与射线的交点在边的延长线上时． ，， 在中， 答：线段的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 23. 问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程） 问题探究：在“问题情境”的基础上请研究． （1）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °； （4）拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ． 【答案】（1）AE＝MN，理由见解析； （2）EQ＝CQ，理由见解析； （3）45； （4）2. 【解析】 【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论； （2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ （3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD， HI⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ， AH = QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果； (4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果． 【小问1详解】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD， 过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示： ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN＝BF，BF⊥AE， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN； 【小问2详解】 解：在图2中，连接AQ、CQ， 在△ABQ和△CBQ中， ， ∴△ABQ≌△CBQ， ∴AQ＝CQ， ∵MN⊥AE于F，F为AE中点， ∴AQ＝EQ， ∴EQ＝CQ 【小问3详解】 解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形， ∴HI⊥AD， HI⊥．BC， HI= AB= AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA = 45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形， ∴HD=HQ，AH=QI， ∵MN是AE的垂直平分线， AQ= QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中， ∵AQ= QE，AH= QI， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)， ∴∠AQH =∠QEI， ∠AQH＋∠EQI = 90°， △AQ E是等腰直角三角形， ∠EAQ=∠AEQ=45°， 即∠AEF= 45° 故答案为：∠AEF=45°； 【小问4详解】 解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示： 则EG=AG=5， ∴AE= 10， 在Rt△ABE中， BE= CE= BC- BE= 8-6=2， 由折叠的性质得： AC'=CE=2， 故答案为： AC′=2. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $