3.2 探索三角形相似的条件 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“探索三角形相似的条件”，核心涵盖相似三角形定义、判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及黄金分割，通过复习全等三角形引入，以定义辨析、对应性讲解搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是方法归纳清晰（如对应元素寻找技巧）、判定思路结构化（分情况总结），结合网格计算、人体雕像黄金分割等实例，培养几何直观、推理意识与应用意识。学生能系统掌握判定方法提升思维，教师可借助分层练习和课堂小结优化教学效率。

2　探索三角形相似的条件 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 相似三角形 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 黄金分割 学习目标 知识点 相似三角形 知1－讲 1 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.数学语言：如图3-2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′中， ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C= ∠C′ ===k ∴△ ABC ∽△ A′B′C′. 感悟新知 知1－讲 2. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性 内容 示例 图示 对 应 性 两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如: △ ABC ∽ △ A′B′C′ 不能写成△ ABC ∽△ B′C′A′ 感悟新知 知1－讲 内容 示例 图示 顺 序 性 相似比具有顺序性 如: △ ABC ∽△ A′B′C′，其相似比为k，则△ A′B′C′ ∽△ ABC，其相似比为 传 递 性 相似三角形具有传递性 如: △ ABC ∽△ A′B′C′， △ A′B′C′ ∽△ GHK， 则△ ABC ∽△ GHK 感悟新知 知1－讲 特别提醒 全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1，而相似三角形不一定是全等三角形。 感悟新知 知1－讲 方法归纳 相似三角形中对应元素的寻找方法： 感悟新知 知1－练 例 1 如图3-2-2，已知△ ABC ∽△ ADE，∠ C=70 °， AB=6，BC=6，AD=3. 解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解. 感悟新知 知1－练 (1)求△ ABC 与△ ADE 的相似比； 解：△ ABC 与△ ADE 的相似比为==2. 感悟新知 知1－练 (2)求∠ AED 的度数和DE 的长. 解：∵△ ABC ∽△ ADE，∴∠ AED= ∠ C=70°. ∵△ ABC ∽△ ADE，∴=. 又∵ AB= 6，BC= 6，AD=3，∴=，解得DE=3. 感悟新知 知1－练 1-1.如图，在正方形网格\中，△ABC∽△EDF，且两个三角形的顶点都在格点上，则∠ABC +∠ACB的度数为_______。 45° 感悟新知 知1－练 1-2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽ △ODC，其中点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为 (4，0)，CD=2，则点A的坐标为 ________。 (－6，0) 感悟新知 知2－讲 知识点 两角分别相等的两个三角形相似 2 判定定理 图示 符号语言 两角分别相等的两个三角形相似 如图，在△ ABC 和△ A′B′C′中，∵∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∴△ ABC ∽△ A′B′C′ 感悟新知 知2－讲 特别提醒 常见的相等的角有：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角) 等，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 感悟新知 知2－练 如图3-2-3，在△ ABC 中，AD 是∠ BAC 的平分线， AD 的垂直平分线交AD 于点E，交BC 的延长线于点F.求证：△ ABF ∽△ CAF. 例2 解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”证明. 由于∠ BFA 是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠ B= ∠ 4或∠ BAF= ∠ ACF即可证明. 感悟新知 知2－练 证明：∵ EF 垂直平分AD，∴ AF=DF. ∴∠FAD = ∠3. ∵AD是∠ BAC 的平分线， ∴ ∠1 = ∠2， ∴∠B = ∠4. 又∵∠BFA = ∠AFC，∴△ABF ∽△CAF. 感悟新知 知2－练 2-1. 如图，在四边形ABCD 中， ∠ ADB =∠ ACB，延长AD， BC相交于点E. 求证：△ ACE ∽△ BDE. 证明：∵∠ADB ＝∠ACB， ∴180°－∠ADB＝180°－∠ACB， 即∠BDE ＝∠ACE。 又∵∠E ＝∠E，∴△ACE ∽△BDE。 感悟新知 知3－讲 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 3 判定定理 图示 符号语言 两边成比 例且夹角 相等的两 个三角形 相似 如图，在△ ABC 和 △ A′B′C′中， ∵=， ∠ B= ∠ B′， ∴△ ABC ∽△A′B′C′ 感悟新知 知3－讲 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS 方法. 感悟新知 知3－练 如图3-2-4，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点， 且BP=3PC，Q 是CD 的中点. 求证：△ ADQ ∽△ QCP. 例 3 解题秘方：紧扣“边角关系判定相似三角形定理”证明即可. 感悟新知 知3－练 证明：设正方形ABCD 的边长为4a，则AD=CD=BC=4a. ∵ Q 是CD 的中点，BP=3PC， ∴ DQ=CQ=2a，PC=a.∴==2. 又∵∠ D= ∠ C=90°，∴△ ADQ ∽△ QCP. 感悟新知 知3－练 3-1.如图，在△ ABC中，D，E 分别在AB与AC 上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求证： △ ADE ∽△ ACB. 感悟新知 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 三边成比例的两个三角形相似 4 判定定理 图示 符号语言 三边成比例的两个三角形相似 如图，在△ ABC 和△ A′B′C′中， ∵==， ∴△ ABC ∽△A′B′C′ 要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边. 1. 感悟新知 知4－讲 2. 判定两个三角形相似的基本思路 感悟新知 25 知4－讲 特别提醒 证明特殊三角形相似的方法： 1. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似； 2. 直角边和斜边或两条直角边成比例的两个直角三角形相似； 3. 有一个底角或顶角相等的两个等腰三角形相似； 4. 所有的等边三角形相似； 5. 所有的等腰直角三角形相似。 感悟新知 26 知4－练 [母题 教材P74 习题T6]图3-2-5，图3-2-6 中小正方形的边长均为1，则图3-2-6 中的哪一个三角形(阴影部分)与图3-2-5中的△ ABC 相似？ 例 4 感悟新知 知4－练 解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断. 感悟新知 知4－练 解：根据勾股定理，得AC= ，BC=2，AB= . 图3-2-6 ①中，三角形的三边长分别为1， ，2 ；图3-2-6 ②中，三角形的三边长分别为1， ， ；图3-2-6 ③中，三角形的三边长分别为， ，3；图3-2-6 ④ 中，三角形的三边长分别为2， ， .∵=== ，∴图3-2-6 ②中的三角形与△ ABC 相似. 感悟新知 知4－练 解题通法：利用三边判断三角形是否相似的步骤： (1)排：将三角形的三边分别按从大到小(或从小到大)的顺序排列； (2)算：分别计算最长边与最长边、最短边与最短边、第三边与第三边的比值； (3)判：若比值都相等，则这两个三角形相似，否则，不相似. 感悟新知 知4－练 4-1. 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF。△AEF与△ECF是否相似？请说明理由。 感悟新知 知4－练 感悟新知 知5－讲 知识点 黄金分割 5 1. 黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(如图3-2-7 所示)，如果= ，那么称线段AB 被点C黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 感悟新知 注意：黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段都有两个黄金分割点，如线段AB 有两个黄金分割点(如图3-2-8 所示)，其中一点D 靠近点A，有=，另一点C 靠近点B，有=，并且AD=BC，AC=BD. 知5－讲 感悟新知 知5－讲 2. 黄金分割点的作法 方法一：如图3 -2-9，已知线段AB， (1)过点B 作BD ⊥ AB，使BD=AB； (2)连接AD，在DA 上截取DE=DB； (3)在AB 上截取AC=AE. 点C 即为线段AB 的黄金分割点. 本质是设法构造出等于原线段的 长的线段. 感悟新知 知5－讲 方法二：如图3 -2-10，已知线段AB. (1)以线段AB 为边作正方形ABCD； (2)取AD 的中点E，连接EB； (3)延长DA 至F，使EF=EB； (4)以AF 为边作正方形AFGH. 点H 即为线段AB 的黄金分割点. 感悟新知 知5－讲 特别解读 判断黄金分割点的方法： 1. 检验一点分已知线段的三条线段是否满足=(较长线段的平方等于较短线段与原线段的积)； 2. 检验较长线段与原线段(或较短线段与较长线段)的比值是否为. 感悟新知 知5－练 科学研究表明，当人的下半身长与身高之比为黄金分割比时，看起来最美. 某成年女士的身高为155 cm，以肚脐为分界点下半身长94 cm，按此比例，该女士所穿高跟鞋的鞋跟最佳高度约为多少？(结果精确到0.1 cm) 例 5 解题秘方：紧扣黄金分割的比例列出方程解决问题. 感悟新知 知5－练 解：设高跟鞋的鞋跟最佳高度为x cm. 根据题意， 得=，解得x=≈ 4.7. 所以，该女士所穿高跟鞋的鞋跟最佳高度约为 4.7 cm. 感悟新知 知5－练 5-1.在设计人体雕像时， 使雕像上部(腰部以上)与下部( 腰部以下)的高度比， 等于下部与全部的高度比， 可以增加视觉美感． 如图， 按此比例设计一座高度为2 m 的雷锋雕像， 那么该雕像的下部设计高度约 是( 结果精确到0.01 m． 参考数 据：≈1.414， ≈ 1.732， ≈2.236)( ) A.0.73 m B.1.24 m C.1.37 m D.1.42 m B 感悟新知 知5－练 [新考法 分类讨论法]已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，AC=a，BC=b，求a－b 和a·b 的值. 例 6 未指明点C 离哪个点近，故需分情况讨论. 解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位置解决问题. 感悟新知 知5－练 解：分两种情况讨论： ①当a>b 时，∵点C 为线段AB 的黄金分割点， ∴=，即2a=(－1)AB. 又∵ AB= 6，∴ 2a=6×(－1). ∴ a=3－3.∴ b=AB－a=9－3 . ∴ a－b=6－12，a·b=36 －72. 感悟新知 知5－练 ②当a<b 时，∵点C 为线段AB 的黄金分割点， ∴=. 又∵ AB=6，∴ b=3－3.∴ a=AB－b=9－3. ∴ a－b=12－6，a·b=36－72. 综上，a－b=6－12 或12－6，a·b=36－72. 感悟新知 知5－练 6-1. 如图，在五角星中，AD=BC，且C，D都是AB的黄金分割点，CD=1。求AB的长。 感悟新知 知5－练 感悟新知 探索三角形相似的条件 定义 角角 黄金分割 判定 方法 应用 边角边 边边边 相似三角形 课堂小结 证明：∵ AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4， ∴ AB＝5＋7＝12，AC＝6＋4＝10. ∴ ＝＝，＝＝.∴ ＝ . 又 ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. 解：△AEF与△ECF相似。理由如下： 设正方形ABCD的边长为4a。 ∵E是BC的中点，DF＝3CF， ∴BE＝EC＝2a，CF＝a，DF＝3a。∴AE＝＝2a，EF＝＝a，AF＝＝5a。∴＝＝＝。∴△AEF∽△ECF。 解：∵C，D都是线段AB的黄金分割点， ∴AC＝BD＝AB。 设AB＝x，则AD＝BC＝。 ∴＋1＝x。 解得x＝＋2，即AB＝＋2。 $