3.3相似三角形判定定理的证明 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，以平行线分线段成比例基本事实为起点，通过其推论构建知识支架，逐步过渡到相似三角形三个判定定理的证明，形成连贯的知识脉络。 其亮点在于采用“逐点导讲练”模式，结合母题解析与方法点拨，通过构造全等三角形转化证明思路，培养学生推理能力（数学思维），利用比例式规范表达（数学语言）。助力学生构建逻辑体系，教师可高效开展教学。

3 相似三角形判定定理的证明 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实的推论 相似三角形判定定理的证明 学习目标 知识点 平行线分线段成比例的基本事实 知1－讲 1 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2. 数学语言：如图3 -3-1 ①②③所示. 感悟新知 知1－讲 在l1 ∥ l2 ∥ l3 的条件下，可分别推出下面共同的结论：= ；==；= 。 感悟新知 知1－讲 如图， 若AB=BC，DE=EF， 则==1，但不能得到AD ∥ BE ∥ CF. 知识拓展：平行线分线段成比例的基本事实的逆命题为假 命题. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 所有的成比例线段是指两条被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关. 2. 在应用平行线分线段成比例的基本事实得到的比例式中，四条线段与两直线的交点位置无关，写比例式时，要注意将对应线段写在对应的位置上. 感悟新知 知1－练 例 1 如图3-3-2，已知l1 ∥ l2 ∥ l3，下列结论正确的 是( ) A. = B. = C. = D. = 感悟新知 知1－练 思路导引： 答案：A 感悟新知 知1－练 1-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥l3， 两条直线与这三条平行线分别交于点A ， B ， C 和D ，E，F，已知=，则的值为( ) A. B. C. D. D 感悟新知 知1－练 [母题 教材P82 习题T1]如图3-3-3，直线l1 ∥ l2 ∥ l3，直线AC 分别交这三条直线于点A，B， C，直线DF 分别交这三条直线于点D， E，F，若AB=3，DE=，EF=4，求BC 的长. 例 2 解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的基本事实，找出已知线段和未知线段之间的关系解决问题. 感悟新知 知1－练 解：∵直线l1∥ l2∥ l3 ，∴=. 又∵ AB=3，DE=，EF=4， ∴ BC= ·AB= ×3=. 感悟新知 知1－练 方法点拨：利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法 先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，再结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，求出待求线段长. 感悟新知 知1－练 2-1. 如图，AD ∥BE ∥ CF， 直线l1，l2 与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点D，E，F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则EF的长为( ) A.7.5 B.6 C.4.5 D.3 D 感悟新知 知2－讲 知识点 平行线分线段成比例的基本事实的推论 2 1. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 感悟新知 知2－讲 2. 数学语言：如图3-3-4 ①②③，若DE ∥ BC， 则=，=，=. 感悟新知 知2－讲 3. 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形(如图3-3- 5) 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 本推论是平行线分线段成比例的特殊情况，即一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上. 2. 成比例线段不涉及平行线上的线段. 3. 当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含有一条隐形的平行线(如图3-3-4). 感悟新知 知2－练 【母题 教材P82 习题T2 】如图3-3-6，已知AB ∥CD，AD 与BC 相交于点O. 若=，AD=10，则AO= ________. 例 3 感悟新知 知2－练 解题秘方：紧扣“基本图形中的比例式”的特征，结合已知条件找出合适的比例式求解. 解：∵ AB ∥ CD，∴==， 即=，解得AO=4. 答案：4 感悟新知 知2－练 方法点拨 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段长的方法：先确定图中平行于三角形一边的直线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，再结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长。 感悟新知 知2－练 3-1.[中考· 哈尔滨]如图，在△ ABC 中，DE ∥ BC，AD=2，BD=3，AC=10， 则AE 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 B 感悟新知 知2－练 如图 3-3-7，在 △ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC内一点，DE//BC，过点D作AC的平行线交CE的延长线于点F，CF与AB相交于点P.求证： =. 例 4 解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的基本事实的推论找平行线，利用中间量进行等量转化. 感悟新知 知2－练 证明：∵DE//BC，∴= ∴PD•PC=PE•PB. ∵ DF//AC，=. ∴ PD·PC=PF·PA. ∴ PE·PB=PF·PA. ∴=. 感悟新知 知2－练 方法点拨 证明线段的比相等，若四条线段刚好是平行线分成的成比例线段，则直接利用结论证明。若组成两个比的四条线段分别在两个三角形中，则可借助等量代换进行转化。 感悟新知 知2－练 4-1.如图，在 △ABC中，EF//CD，DE//BC.求证：AF：FD = AD：DB. 感悟新知 知识点 相似三角形判定定理的证明 知3－讲 3 1. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 证明思路如下： 如图3-3 -8，在△ ABC 和△ A ′B ′C ′中，∠ A= ∠ A ′ ， ∠ B= ∠ B′ . 感悟新知 知3－讲 感悟新知 知3－讲 2. 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 证明思路如下： 如图3-3-9，在△ ABC 和△ A′B′C′中，∠ A=∠ A′， =. 感悟新知 知3－讲 感悟新知 知3－讲 3. 定理3：三边成比例的两个三角形相似。 证明思路如下： 如图3-3 -10，在△ ABC 和△ A′B′C′中， ==. 感悟新知 知3－讲 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 通过添加平行线，可以将相似三角形的判定定理转化成两个三角形三组对应边成比例，对应角相等，从而利用相似三角形的定义判定两个三角形相似. 2. 相似三角形判定定理的证明思路： 感悟新知 知3－练 如图3-3-11，在△ ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 上，∠ AED= ∠ B，射线AG 分别交线段DE，BC 于点F，G，且=. 例 5 解题秘方：紧扣相似三角形的三个判定定理及“相似三角形的对应边的比相等，对应角相等”解决问题。 感悟新知 知3－练 (1)求证：△ ADF ∽△ ACG； 证明：∵∠ AED= ∠ B，∠ DAE= ∠ CAB， ∴△ ADE ∽△ ACB．∴∠ ADE= ∠ C． 又∵=，∴△ ADF ∽△ ACG． 感悟新知 知3－练 (2)若=，求的值． 解：∵△ ADF ∽△ ACG， ∴==．∴=1. 感悟新知 知3－练 5-1. 如图， 在菱形ABCD 中， 对角线AC，BD 相交于点O，EB ⊥ AB，垂足为点B，交AC 于点E． 感悟新知 知3－练 (1)求证：=； 感悟新知 知3－练 (2)若AE=6，AB=5，求EC 的长． 感悟新知 相似三角形判定定理的证明 证明相似三角形的判定定理 平行线分线段 成比例 基本事实 关键点 对应线段成比例 推论 关键点 对应线段成比例 课堂小结 证明：∵EF∥CD，DE∥BC， ∴＝，＝.∴＝， 即AF∶FD＝AD∶DB. 证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC. 又∵EB⊥AB，∴∠EOB＝∠EBA＝90°. 又∵∠OEB＝∠BEA，∴△EOB∽△EBA. ∴＝.∴＝.又∵AB＝BC，∴＝. 解：∵∠AOB＝∠ABE＝90°，∠OAB＝∠BAE， ∴△AOB∽△ABE.∴＝. ∵AE＝6，AB＝5，∴＝，解得OA＝. ∴EC＝2OA－AE＝－6＝. $