精品解析：2026年重庆市中考数学试题

**基本信息** 以重庆本土文化（如马拉松、桥都）、科技前沿（醇类分子结构）及文化传承（《九章算术》）为情境，通过基础巩固（如倒数、三视图）、能力提升（几何综合、函数应用）、创新应用（规律探究、动态最值）三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识、数据意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|数与式、图形与几何、概率统计|第3题结合重庆马拉松考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6/24|方程与不等式、几何计算、数论|第8题以《九章算术》为背景考方程组，渗透文化传承| |解答题|9/86|统计分析、函数与几何综合、几何变换|24题二次函数动态最值探究，25题几何变换与最值问题，契合中考能力立意趋势，培养推理能力与创新意识|

重庆市2026年初中学业水平考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，一定会发生的是（ ） A. 从只有白球的袋中摸出白球 B. 明天一定会下雨 C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 6. 醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为____． 12. 如图，直线，被直线所截．若，，则的度数是___． 13. 满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 14. 若实数，同时满足，，则的值为____． 15. 自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为_____；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为____． 16. 如图，四边形是平行四边形，点，在上，，经过圆心，且，垂足为，．连接交于点，连接并延长交于点，，则的长度为____，的长度为____． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图： A组： B组： C组： D组： （其中表示竞赛成绩） 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你直接写出条形统计图中m的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数； （2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ （3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 列方程解下列问题： 某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少个，且天生产的A型配件的数量与天生产的B型配件的数量相等． （1）求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？ （2）如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少个和个，那么生产个A型配件的天数与生产个B型配件的天数相同，求的值． 22. 如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． （1）求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； （2）现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接，．求证：； （3）如图3，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，连接，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2026年初中学业水平考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ， 的倒数是． 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是2，1，1，据此判断即可． 【详解】解：观察几何体，从正面看： 第一列（左）有2层，看到2个正方形， 第二列（中）有1层，看到1个正方形， 第三列（右）有1层，看到1个正方形，   从正面看到的视图如下 3. 2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示为． 4. 如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 5. 下列事件中，一定会发生的是（ ） A. 从只有白球的袋中摸出白球 B. 明天一定会下雨 C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件． 【详解】解：A选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球一定只能摸出白球，该事件一定会发生． B选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生． C选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生． D选项正方体骰子向上一面的点数最大为，不可能得到点数，属于不可能事件，一定不会发生． 6. 醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第个图形中氢原子个数的公式，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 7. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断时的增减性，再代入的端点值得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛”和“1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”建立方程组． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 因此可得方程组 ． 9. 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，，先得出，则可得的长，再过点作于点，作于点，得出，，求出的长，进而求出与的面积即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 如图，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴与的面积之比为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形． 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和的取值，分别确定相应的值，进而可得的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可． 【详解】解：①当时，，即， ∵，为正整数， ∴， 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得，此时， 则满足条件的所有整式的和为，说法①正确； ②当时，，，即， 由题意可知，为正整数，，为整数，且， ∴， ∵函数的图象关于轴对称， ∴，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 又∵为正整数， ∴，， ∴或（舍去）， ∴满足条件的整式，有且仅有1个；说法②正确； ③∵整式是二次二项式， ∴，且只有两个非零项， 同②可得：，为正整数， ∴在这个二次二项式中，或， （Ⅰ）当时，，，， ∴， ∴， ∴当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当时，，能在有理数范围因式分解； 当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当时，，，， ∴， ∴只有符合，此时，能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，从五个备选节目中随机抽取1个，共有种等可能的结果，其中抽到节目A的结果只有种， ∴抽到节目A的概率为． 12. 如图，直线，被直线所截．若，，则的度数是___． 【答案】##58度 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 13. 满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【解析】 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 14. 若实数，同时满足，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，由绝对值的非负性推出，则可推出，进而得到，解方程求出y的值，进而求出x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； ∴． 15. 自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为_____；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为，表示出，根据的化简结果确定其和的关系，结合乘积为三位数的条件求出的最小值，再利用平方差公式变形，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有的和即可． 【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为， ∴，， ∴， ， 要使最小，需最小， 则当时，的最小值为， 此时， 由二次函数的性质可知，当或时，的值最大，最大值为或，符合题意． 当时，， 解得， ∴，且为整数， ∴， ∵， ∴， 又∵为奇数，且， ∴所有可能的取值为， ①当，即时，，， ∵，且为整数， ∴当时，， 此时正整数，，符合题意； 当时，， 此时正整数，，不符合题意，舍去； ②当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ③当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ④当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ⑤当，即时，，， 当时，， 此时正整数，，符合题意； 当时，， 此时正整数，，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的所有的值为7和21，它们的和为． 【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论． 16. 如图，四边形是平行四边形，点，在上，，经过圆心，且，垂足为，．连接交于点，连接并延长交于点，，则的长度为____，的长度为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先得出，再在中，利用勾股定理求解可得的长度；过点作于点，过点作于点，连接，先求出的长，再求出的长，然后解直角三角形可得的长，进而可得的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴，． 如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵经过圆心，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 将①和②的解集在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【详解】 解： ，且时分式有意义  当时，原式． 19. 早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图： A组： B组： C组： D组： （其中表示竞赛成绩） 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你直接写出条形统计图中m的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数； （2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ （3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）6，86，93 （2）154人 （3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵八年级的众数大于七年级的众数 ∴八年级此次竞赛成绩较好 或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵七年级的中位数大于八年级的中位数 ∴七年级此次竞赛成绩较好 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出B组人数，然后根据中位数和众数的定义求解； （2）利用样本估计总体的方法求解； （3）根据中位数、众数分析判断即可． 【小问1详解】 解：七年级抽取20名学生的竞赛成绩中B组人数； ∵共有20个数据 ∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数 ∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为； ∵八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多 ∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人； 【小问3详解】 略 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）解：作图如下： （2）证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 列方程解下列问题： 某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少个，且天生产的A型配件的数量与天生产的B型配件的数量相等． （1）求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？ （2）如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少个和个，那么生产个A型配件的天数与生产个B型配件的天数相同，求的值． 【答案】（1）该企业每天生产A型配件的数量为15个，每天生产B型配件的数量为45个 （2）． 【解析】 【分析】（1）设该企业每天生产A型配件的数量为x个，则每天生产B型配件的数量为个，根据天生产的A型配件的数量与天生产的B型配件的数量相等建立方程求解即可； （2）根据生产个A型配件的天数与生产个B型配件的天数相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该企业每天生产A型配件的数量为x个，则每天生产B型配件的数量为个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该企业每天生产A型配件的数量为15个，每天生产B型配件的数量为45个； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意． 22. 如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）（）； （2） 或 【解析】 【分析】（1）求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即​的表达式；根据点沿运动， 速度为，当时，，当时，，分两种情况解答． （2）根据、的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． 【小问2详解】 解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 23. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． （1）求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； （2）现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 【答案】（1）7.4千米 （2）千米或4千米 【解析】 【分析】（1）过点B作于点E，由含30度直角三角形的性质求得，，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得； （2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作于点H，由速度关系得路程关系，设千米，则千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得，再由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 由题意得， ∴千米， ∵，， ∴， ∴千米， 由勾股定理得千米， ∵， ∴， ∴千米， 由勾股定理得（千米）． 答：的长度为7.4千米． 【小问2详解】 解：假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，即千米， 如图，过点F作于点H， ∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍， ∴乙的路程是甲的路程的2倍， 即， 设千米，则千米，千米， ∵，， ∴千米， 由勾股定理得千米，千米， 在中，由勾股定理得， 整理得， 解得， 则（千米），或（千米）． 答：甲离处千米或4千米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接，．求证：； （3）如图3，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，连接，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，解得； ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的中点， 又点是线段的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和解直角三角形求解即可； （2）结合“手拉手”模型，证得，利用全等证得是等腰直角三角形，所以得到，再利用得到新条件证明，得到是的中位线，利用等量代换证出最终结果； （3）先利用“手拉手”模型确定点的运动轨迹，再利用将军饮马确定点的具体位置； 接着利用对称性得出，从而确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，根据圆上的点到直线的最大距离需过圆心进行解答． 【小问1详解】 解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点在与垂直且垂足为点的直线上， ∴作点关于直线的对称点，连接交直线为点， 此时最短，如下图所示， ， 连接交直线于点，过点作垂直直线，交直线于点， ∴四边形是矩形， ∴， 在等腰直角三角形中，， ∴，解得， 在直角三角形中， ，解得， 则， 由对称性可知， 由题意知，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，； ∵沿直线翻折至所在平面内得到， ∴点是关于直线的对称点， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点实在以为圆心，长为半径的圆上运动， 过点作交于点， ∴， ∴欲面积的最大，则需要最大， 过圆心时取得最大值，如下图所示， ， 在和中，， 即，解得， ， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $