江苏省苏州市新区实验集团2025-2026学年八年级下册期末数学模拟试卷

**基本信息** 立足苏科版八年级下册核心内容，融合博物馆文化、足球联赛等现实情境，梯度设计考查数学抽象、几何直观与数据意识，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|必然事件判断、因式分解概念|基础概念辨析，如第1题结合四边形内角和考查推理意识| |填空题|8/24|二次根式意义、几何作图应用|第11题计算机模拟估算阴影面积，体现数学眼光| |解答题|11/82|统计图表分析（博物馆活动）、动态几何（直角梯形动点）|20题结合文化活动考查数据意识，25题小区广场设计体现模型意识，23题黄金矩形渗透数学文化|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版八年级下册+一元二次方程+相似三角形。。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的)。 1.下列事件是必然事件的是() A.四边形内角和是360° B.校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C.掷一枚硬币时，正面朝上 D.车辆随机到达路口，遇到绿灯 2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是() A.(x-2)(x+5)=2 B.(x-2)2=x-2 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 3.为了解我校八年级500名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计，下列判断 正确的是() A.样本容量是100 B.被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C.被抽取的100名学生是总体的一个样本 D.八年级500名学生是总体 4.下列各式中，正确的是(). x6 a2+b2 A5=x2 2+62=0 B. x2 y2 (a-b)3 C.-x+y+x+y=-x+y D.0-0=1 5.下列从左到右的变形中，是因式分解的是() A.(x+2)x-3)=x2-x+6 B.3x2-x+1=x(3x-1)+1 C.x2-2x-1=x-1)2 D.2x2+xy=x(2x+y) 第1页，共9页 6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE//AB交BC于点E.若AB=9,BC=6,则DE的长为 () c号 18 A.3 B.4 D. D B E 7.如图，在正方形ABCD中，以点A为旋转中心，将边AD顺时针旋转30°得到AE,连接DE,过点B作DE的垂 线交DB的延长线于点R,连接BB、CR,则的值为() A.V2 3v2 ,23 v3 B.2 C.3 D.3 D 8.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上， 点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连接GF,下列结论①LAGD =125:@0-2:③S640D=S6G0:④四边形ABFG是菱形，国6E=20G,其中正确结论有() 个 D G B A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若代数式V3一x有意义，则实数x的取值范围是 10.已知二次三项式x2-3x+m有一个因式是x+3,则m的值为一· 第2页，共9页 11.如图1，在边长为20cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术 强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的 频率数据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为一cm2. +频率 0.40---… 0.35 61002003004005006007008009001000试验次数 图1 图2 12.若关于x的方程，二2=x-2+1有增根，则a的值是一· 13.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AD于点M,交AB于点N,分别 以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交DC于点E,DE=2CE,点F、G 分别是AE、BE的中点，若FG=6厘米，则四边形ABCD的周长为一厘米. D E F 14.已知x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+3=0(a≠0)的两个实数根，则x1+2x1x2+x3= 15.己知x,y为非负实数，x+y-2Wxy=(x)2+()2-2xV=（x-V)2≥0，x+y≥2xy,当 “x=y”时，x十y有最小值特例当x=2时，分式x+生有最小值4，如图，四边形ABCD的对角线AC,BD 交于点0，S△Boc=4,S△A0D=16,则四边形ABCD的面积的最小值为. B 16.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E,F分别在AD和BC上，且AE=CF,将矩形ABCD沿 EF折叠，点A,B的对应点分别是A,B,点P是BC的中点，则A'P最大时EF的值为一 第3页，共9页 A----- B---- 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)将下列各式因式分解： (1)a3-6a2b+9ab2, (2)(x2+4)2-16x2. 18(体小题5分)i计算：V48÷V3-2后×V30+6W2+3)2 19(休小题5分)洗化简，再求值a+1-。)。+“,共中a=3, 3 20.(本小题6分) 方寸之间，一览千年.博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化 和艺术熏陶的重要课堂.为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信.苏州某中学初二历史组开展 了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目.A.讲述博物馆馆藏文物的故事；B. 制作博物馆专题手抄报；C制作博物馆系列文创产品；D挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一 第4页，共9页 项.为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计 图：根据以上信息，解答下列问题： 人数/人 40 40 30 25 C25% B20% 20 15 10 D 0 A 3 C D 类别 (1)参与此次抽样调查的学生人数是 人，并补全条形统计图： (2)在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是·： (3)若该校初二年级共有学生1500人，试估计参与A和B项目的学生共有多少人？ 21.(本小题6分) 2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州vs南通，扬州vs苏州，无锡vs 镇江，连云港vs盐城， (1)有四场足球赛：常州s南通，扬州s苏州，无锡vs镇江，连云港vs盐城.小明随机观看一场，则观看扬 州vs苏州的概率为一： (2)某比赛场馆共有四个入口：入口2,3通往南看台，入口1,4通往北看台.小华和小丽将随机选择入口进 入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率， 第5页，共9页 22.(本小题8分) 如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE//AC且DE=OC,连接CE,OE,OE= CD. B F C (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2过点A作AF1BC于点R,若AF-号，BC=5,求四边形0C5D的周长. 23.(本小题8分) 随着教育教学改革的不断深入，数学教学从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展.从数学的产生 和发展历程来分析，不外乎就是三个环节【阅读观察】一【类比应用】一【拓展延伸】.下面同学们从这三 个方面试着解决下列问题： A D B B 图1 图2 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式。 例如：化简2石 2+V3 解：将分子、分母同乘以2+8，得，雨=2动雨=2+3 1 (①)【类比应用】化简：27-33=一 第6页，共9页 ②)【拓展延伸】宽与长的比是5，的矩形叫黄金矩形.如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1,如图2 将图1的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABFE,得到新的矩形CDEF,猜想矩形CDEF是否为黄金矩 形，并证明你的结论. 24.(本小题8分) 如图(1)，直角梯形0ABC中，∠A=90°，AB/C0,且AB=2,OA=2V,∠BC0=60°. A B A ⊙ A B 且 H H M 609 p 60 609 图) 0 图(2) (备用图) (1)求证：A0BC为等边三角形： (2)如图(2)，OH1BC于点H,动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向 点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒。设点P运动的时间为t秒，△0PQ的面积为S,求S与t之间的函数关 系式，并求出t的取值范围： (3)设PQ与OB交于点M,当OM=PM时，求t的值. 25.(本小题10分) 某小区业委员会决定把长80m,宽60m的矩形空地建成花园小广场如图四块绿化为全等的直角三角形，空 白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m,不大于44m.预计划活动区造价60元m2,绿化区 第7页，共9页 造价50元m2.设绿化区域较长直角边为xm. (1)用含x的代数式表示出口区的宽度为一一m,绿化区总造价为一一-元，活动区总造价为 一一元； (2)如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程.若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能.请说明理 由？ (3)业委员决定在(2)设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化在实际施工中，每天 比原计划多绿化11m2,结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2 人m 60m 80m 26.(本小题10分) 正方形ABCD和正方形AEFG的位置如图所示，点E在AD上，CF交BD于点M,延长FE交BD于点P,PN⊥AB 于点N,连接FN,CP,CN. D M B A W (1)求证：CD=FP: (2)求∠FCN的度数： (3③)若△FPC~△CPN,求e的值。 第8页，共9页 27.(本小题10分) 在菱形ABCD中，∠BAD=60°. (1)如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB=4,求线段EC的长 (2)如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与AD交于点 G,连接NC、DM,Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ,判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论 (3)在(2)的条件下，若AC=√3，请你直接写出DM+CN的最小值. D 图1 图2 第9页，共9页 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册+一元二次方程+相似三角形。。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）。 1.下列事件是必然事件的是(    ) A. 四边形内角和是 B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 车辆随机到达路口，遇到绿灯 2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 3.为了解我校八年级名学生期中数学考试成绩，从中抽取了名学生的数学成绩进行统计，下列判断正确的是(    ) A. 样本容量是 B. 被抽取的名学生的数学成绩是个体 C. 被抽取的名学生是总体的一个样本 D. 八年级名学生是总体 4.下列各式中，正确的是． A. B. C. D. 5.下列从左到右的变形中，是因式分解的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，平分，交于点，交于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在正方形中，以点为旋转中心，将边顺时针旋转得到，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接、，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形纸片 中，对角线 、 相交于点 ，折叠正方形纸片 ，使 落在 上，点 恰好与 上的点 重合，展开后，折痕 分别交 、 于点 、 ，连接 ，下列结论： ； ； ；四边形 是菱形； ，其中正确结论有    个 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若代数式有意义，则实数的取值范围是          ． 10.已知二次三项式有一个因式是，则的值为        ． 11.如图，在边长为的正方形内部有一不规则图案图中阴影部分，为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图所示小亮由此估计阴影部分面积约为        ． 12.若关于的方程有增根，则的值是        ． 13.如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点、分别是、的中点，若厘米，则四边形的周长为        厘米． 14.已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则           ． 15.已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为        ． 16.如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 和 上，且 ，将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是 点 是 的中点，则 最大时 的值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分将下列各式因式分解： ． 18.本小题分计算： 19.本小题分先化简，再求值，其中． 20.本小题分 方寸之间，一览千年．博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂．为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信．苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目． 讲述博物馆馆藏文物的故事； 制作博物馆专题手抄报； 制作博物馆系列文创产品； 挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： 参与此次抽样调查的学生人数是___________人，并补全条形统计图； 在扇形统计图中，扇形 对应的圆心角度数是            ； 若该校初二年级共有学生人，试估计参与 和 项目的学生共有多少人？ 21.本小题分 年江苏省城市足球联赛常规赛于月日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． 有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为          ； 某比赛场馆共有四个入口：入口，通往南看台，入口，通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 22.本小题分 如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作且，连接，． 求证：四边形是菱形； 过点作于点，若，，求四边形的周长． 23.本小题分 随着教育教学改革的不断深入，数学教学从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展．从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节【阅读观察】【类比应用】【拓展延伸】下面同学们从这三个方面试着解决下列问题： 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以，得． 【类比应用】化简：          ； 【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图，已知黄金矩形的宽，如图，将图的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 24.本小题分 如图，直角梯形中，，，且，，． 求证：为等边三角形； 如图，于点，动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为秒。设点运动的时间为秒，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； 设与交于点，当时，求的值． 25.本小题分 某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于预计划活动区造价元，绿化区造价元设绿化区域较长直角边为 ． 用含的代数式表示出口区的宽度为______ ，绿化区总造价为______ 元，活动区总造价为______ 元； 如果业委员投资万元，能否完成全部工程若能，请写出为正整数的所有工程案；若不能请说明理由？ 业委员决定在设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 26.本小题分 正方形和正方形的位置如图所示，点在上，交于点，延长交于点，于点，连接． 求证：； 求的度数； 若，求的值． 27.本小题分 在菱形中，． 如图，点为线段的中点，连接、、若，求线段的长 如图，为线段上一点不与、重合，以为边向上构造等边三角形，线段与交于点，连接、，为线段的中点，连接、，判断与的数量关系，并证明你的结论 在的条件下，若，请你直接写出的最小值． 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10. ．  11.   12.   13.   14.   15. ．  16.   17. 解：原式． 原式．   18. 解：原式， ， ， ．  19. ，．  20. 【小题】 解：参与此次抽样调查的学生人数是 人， 则参与项目 的学生人数为 人， 故可补画条形统计图，如下图所示： 故答案为：； 【小题】 【小题】  人， 估计参与 和 项目的学生共有人．   21. 【小题】 【小题】 解：根据题意，用列表法列出所有可能的结果： 小华小丽 北 南 南 北 北 南 南 北 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两人在同一侧看台的结果有种： 同在北看台： 同在南看台： 答：他们在相同一侧看台观赛的概率为．   22. 【小题】 证明：如图，且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ，即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； 【小题】 解：由四边形是菱形， 于点， 菱形的面积， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ． 由知， ， ， 负值不符合题意，已舍去， 由知四边形是矩形， 矩形的周长为．   23. 【小题】 【小题】 解：矩形是黄金矩形，证明如下： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， 黄金矩形的长， 由裁剪可知：， ， ． 矩形是黄金矩形．   24. 解：在中，，， ， ，， ， ， 而， 为等边三角形 如图：过做于， ， ，， ，， 而， ， ， 而 ， ，即， ．  25. ． 所以业主委员会投资万元，能完成全部工程，所有工程方案如下：较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；较长直角边为，短直角边为，出口宽度为． 原计划每天绿化．   26. 【小题】 四边形，均为正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ； 【小题】 解：， ， 又四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， 又 ， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ，． ， ， ， ； 【小题】 解：由可知，． ， ， ． ， ． 设，，则， ， ， ． ，， ， ． ．   27. 解：如图，连接，则平分， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， ； 如图，延长至，使，连接、， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ． 由知，， 要最小，便是最小， 即：点，，在同一条线上时，最小， 此时，点和点重合，即：的最小值为，如图， 由知，是等边三角形， ． 是菱形的对角线， ， ， 在中，， 的最小值为．  【解析】 1.  本题考查了随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：、四边形内角和是，是必然事件，本选项符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，本选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，本选项不符合题意， 故选：． 2. 适合用公式法，故A选项不符合题意；适合用因式分解法，故B选项符合题意；适合用公式法，故C选项不符合题意；适合用直接开平方法，故D选项不符合题意．故选B． 3. 解：、样本容量是，故A符合题意； B、每名学生的数学成绩是个体，故B不符合题意； C、被抽取的名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意； D、八年级名学生的数学成绩是总体，故D不符合题意； 故选：． 根据总体、个体、样本，样本容量，即可解答． 本题考查了总体、个体、样本，样本容量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 4. 略 5. 解：，且等号右边不是多项式的形式，则不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则不符合题意， ，则不符合题意， 符合因式分解的定义，则符合题意， 故选：． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 6. 解：交于点，，， ∽，， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 证明∽，求出，根据平行线的性质和等边对等角得出，根据等角对等边得出，结合求出，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 7. 解：连接，如图， 四边形为正方形， ，，，， 边顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 点、在以为直径的圆上， ，， ， ，， ∽， ． 故选：． 连接，如图，先利用正方形的性质得到，，，，再根据旋转的性质得到，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，所以，接着证明为等边三角形得到，于是可计算出，再利用圆周角定理可判断点、在以为直径的圆上，所以，，从而得到，然后证明∽，则利用相似比可得． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 8. 由四边形 是正方形，可得 ，又由折叠的性质，可求得 的度数；由 ，可得 ；由 ，可得 的面积 的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得 是等腰三角形，即可证得 ，易证得四边形 是菱形；由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得 ． 【详解】解： 四边形 是正方形，  ， 由折叠的性质可得：， 故 ，故正确．  由折叠的性质可得： ， ，  ，  ，  ，  ，故错误．  ，  ， 与 同高，  ，故错误．  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ， ，  ，  四边形 是菱形， 故四边形 是菱形，故正确．  四边形 是菱形，  ，  ，  ，  ， 同理可得 故正确． 故选：． 9. 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 被开方数满足， 移项得， 系数化为得． 10. 解：设另一个因式是， 则 ， 则，， 那么，， 故答案为：． 设另一个因式是，计算后即可求得答案． 本题考查因式分解的意义，理解因式分解及整式乘法的互逆性是解题的关键． 11. 解：点落在不规则图案上的频率稳定在， 点落在不规则图案上的概率为． 估计阴影部分面积约为． 故答案为：． 根据频率估计概率解答即可． 本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12. 解：原方程去分母得：， 即， 原方程有增根， ， ， ， 故答案为：． 将原方程去分母后化为整式方程，再根据增根的定义求得，将其代入整式方程解得的值即可． 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其意义是解题的关键． 13. 解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ． 点、分别是、的中点， 为的中位线， 厘米， 厘米． ， 厘米． 厘米， 四边形的周长为厘米． 故答案为：． 由作图过程可知，为的平分线，可得由平行四边形的性质得，，，可得，则，即由题意得为的中位线，可得厘米，则厘米，可得厘米，则厘米，进而可得答案． 本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14. 先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得：，  ， 是一元二次方程 的两个根， ， 将 代入 得：． 15. 解：设，， 由题意可得：，， ， ， 四边形的对角线，交于点，，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 本题考查配方法的应用，正确进行计算是解题关键． 16. 连接 交 于点，证明 ，得到 ，连接 ，求出 ，且 ，得到 ，则当 三点在同一直线上，设 交 于点，证明 ，得到 ，则 ，解得 ，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接 交 于点， 四边形 是矩形，  ，  ， ， 如图，连接 ， 点是 的中点，点是 的中点，  ， ，且 ，  ， 将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是  ，  ，且 ，  ， 当 三点在同一直线上，设 交 于点， 由折叠可得， ，  ，  ，  ， 解得 ，  ， 17. 略 18. 首先计算乘除和完全平方，再计算加减即可． 此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序，二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 19. 解： ， 当时，原式． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得解． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 20.   本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、求扇形统计图的圆心角、利用样本估计总体等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． 利用“参与 项目学生人数 所占百分比”，即可求得参与此次抽样调查的学生人数，再确定参与项目 的学生人数，即可补画条形统计图；   利用“ 参与 项目学生人数占比”，即可获得答案； 在扇形统计图中，扇形 对应的圆心角度数是 ． 故答案为：；  利用“该校初二年级学生总数 参与 和 项目的学生人数占比”，即可获得答案． 21.   利用“随机事件的概率该事件可能出现的结果数所有等可能出现的结果总数”这一公式求解； 【详解】解：由题意可知，共有场比赛，小明随机观看一场，其中观看扬州苏州的情况只有种， 则观看扬州苏州的概率为；   先通过列表法列出两人选择入口的所有等可能结果，再统计出“两人选择同一侧看台”的结果数，最后用目标结果数除以总结果数得到概率． 22.   先证四边形是平行四边形，进而可得平行四边形是矩形，然后可得，则四边形是菱形；   根据题意可得，结合菱形的性质可得，又，再由，求得即可． 23.   根据分母有理化进行求解即可； 【详解】解：；   根据黄金矩形的定义得到的长，由裁剪可知：，然后根据黄金矩形的定义验证即可． 24. 略 25. 解：由题意可得，出口的宽度为；绿化区总造价为元，活动区总造价为元，  故答案为：，，；  设工程队总造价元，  由题意可得，，，  ，  ，  ，  ，  ，  设，  当时，，或，  当时，或，  ，  所以业主委员会投资万元，能完成全部工程，  所有工程方案如下：较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；  较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；  较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；  ，  在中随的增大而减小，  当时，有最小值，  绿化面积，  设原计划每天绿化，则在实际施工中，每天绿化，  则，  解得：或舍，  经检验是原方程的解，  答：原计划每天绿化． 根据图形可得结论；  根据面积造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得与的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得的取值范围，业主委员会投资万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；  先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验． 本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式组解决问题． 26.   由四边形，均为正方形可得，，再证明即可得出结论；   根据证明，得，证出，可得；   由可证明，，设，，则，得，再求出，求出，从而得． 27. 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明≌是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建． 如图，连接对角线，先证明是等边三角形，根据是的中点，由等腰三角形三线合一得：，利用勾股定理即可依次求和的长； 如图，作辅助线，构建全等三角形，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，得条件证明≌，则，根据是的中位线，得，由等量代换可得结论． 先判断出点在的延长线上时，最小，最小为，再判断出，即可用三角函数求出结论． 第2页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册+一元二次方程+相似三角形。。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）。 1.下列事件是必然事件的是(    ) A. 四边形内角和是 B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 车辆随机到达路口，遇到绿灯 【答案】A  【解析】 本题考查了随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：、四边形内角和是，是必然事件，本选项符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，本选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，本选项不符合题意， 故选：． 2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】适合用公式法，故A选项不符合题意；适合用因式分解法，故B选项符合题意；适合用公式法，故C选项不符合题意；适合用直接开平方法，故D选项不符合题意．故选B． 3.为了解我校八年级名学生期中数学考试成绩，从中抽取了名学生的数学成绩进行统计，下列判断正确的是(    ) A. 样本容量是 B. 被抽取的名学生的数学成绩是个体 C. 被抽取的名学生是总体的一个样本 D. 八年级名学生是总体 【答案】A  【解析】解：、样本容量是，故A符合题意； B、每名学生的数学成绩是个体，故B不符合题意； C、被抽取的名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意； D、八年级名学生的数学成绩是总体，故D不符合题意； 故选：． 根据总体、个体、样本，样本容量，即可解答． 本题考查了总体、个体、样本，样本容量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 4.下列各式中，正确的是． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.下列从左到右的变形中，是因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，且等号右边不是多项式的形式，则不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则不符合题意， ，则不符合题意， 符合因式分解的定义，则符合题意， 故选：． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 6.如图，在中，平分，交于点，交于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：交于点，，， ∽，， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 证明∽，求出，根据平行线的性质和等边对等角得出，根据等角对等边得出，结合求出，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 7.如图，在正方形中，以点为旋转中心，将边顺时针旋转得到，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接、，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，，，， 边顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 点、在以为直径的圆上， ，， ， ，， ∽， ． 故选：． 连接，如图，先利用正方形的性质得到，，，，再根据旋转的性质得到，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，所以，接着证明为等边三角形得到，于是可计算出，再利用圆周角定理可判断点、在以为直径的圆上，所以，，从而得到，然后证明∽，则利用相似比可得． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 8.如图，在正方形纸片 中，对角线 、 相交于点 ，折叠正方形纸片 ，使 落在 上，点 恰好与 上的点 重合，展开后，折痕 分别交 、 于点 、 ，连接 ，下列结论： ； ； ；四边形 是菱形； ，其中正确结论有    个 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】由四边形 是正方形，可得 ，又由折叠的性质，可求得 的度数；由 ，可得 ；由 ，可得 的面积 的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得 是等腰三角形，即可证得 ，易证得四边形 是菱形；由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得 ． 【详解】解： 四边形 是正方形，  ， 由折叠的性质可得：， 故 ，故正确．  由折叠的性质可得： ， ，  ，  ，  ，  ，故错误．  ，  ， 与 同高，  ，故错误．  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ， ，  ，  四边形 是菱形， 故四边形 是菱形，故正确．  四边形 是菱形，  ，  ，  ，  ， 同理可得 故正确． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若代数式有意义，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 被开方数满足， 移项得， 系数化为得． 10.已知二次三项式有一个因式是，则的值为        ． 【答案】．  【解析】解：设另一个因式是， 则 ， 则，， 那么，， 故答案为：． 设另一个因式是，计算后即可求得答案． 本题考查因式分解的意义，理解因式分解及整式乘法的互逆性是解题的关键． 11.如图，在边长为的正方形内部有一不规则图案图中阴影部分，为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图所示小亮由此估计阴影部分面积约为        ． 【答案】  【解析】解：点落在不规则图案上的频率稳定在， 点落在不规则图案上的概率为． 估计阴影部分面积约为． 故答案为：． 根据频率估计概率解答即可． 本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12.若关于的方程有增根，则的值是        ． 【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 即， 原方程有增根， ， ， ， 故答案为：． 将原方程去分母后化为整式方程，再根据增根的定义求得，将其代入整式方程解得的值即可． 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其意义是解题的关键． 13.如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点、分别是、的中点，若厘米，则四边形的周长为        厘米． 【答案】  【解析】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ． 点、分别是、的中点， 为的中位线， 厘米， 厘米． ， 厘米． 厘米， 四边形的周长为厘米． 故答案为：． 由作图过程可知，为的平分线，可得由平行四边形的性质得，，，可得，则，即由题意得为的中位线，可得厘米，则厘米，可得厘米，则厘米，进而可得答案． 本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14.已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则           ． 【答案】  【解析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得：，  ， 是一元二次方程 的两个根， ， 将 代入 得：． 15.已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为        ． 【答案】．  【解析】解：设，， 由题意可得：，， ， ， 四边形的对角线，交于点，，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 本题考查配方法的应用，正确进行计算是解题关键． 16.如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 和 上，且 ，将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是 点 是 的中点，则 最大时 的值为          ． 【答案】  【解析】连接 交 于点，证明 ，得到 ，连接 ，求出 ，且 ，得到 ，则当 三点在同一直线上，设 交 于点，证明 ，得到 ，则 ，解得 ，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接 交 于点， 四边形 是矩形，  ，  ， ， 如图，连接 ， 点是 的中点，点是 的中点，  ， ，且 ，  ， 将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是  ，  ，且 ，  ， 当 三点在同一直线上，设 交 于点， 由折叠可得， ，  ，  ，  ， 解得 ，  ， 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分将下列各式因式分解： ． 【答案】解：原式． 原式．   【解析】略 18.本小题分计算： 【答案】解：原式， ， ， ．  【解析】首先计算乘除和完全平方，再计算加减即可． 此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序，二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 19本小题分.先化简，再求值，其中． 【答案】，．  【解析】解： ， 当时，原式． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得解． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 20.本小题分 方寸之间，一览千年．博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂．为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信．苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目． 讲述博物馆馆藏文物的故事； 制作博物馆专题手抄报； 制作博物馆系列文创产品； 挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： 参与此次抽样调查的学生人数是___________人，并补全条形统计图； 在扇形统计图中，扇形 对应的圆心角度数是            ； 若该校初二年级共有学生人，试估计参与 和 项目的学生共有多少人？ 【答案】(1)解：参与此次抽样调查的学生人数是 （人）， 则参与项目 的学生人数为 （人）， 故可补画条形统计图，如下图所示： 故答案为：100；   (2)54  (3) （人）， ∴估计参与A 和B 项目的学生共有900人．   【解析】  本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、求扇形统计图的圆心角、利用样本估计总体等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． 利用“参与 项目学生人数 所占百分比”，即可求得参与此次抽样调查的学生人数，再确定参与项目 的学生人数，即可补画条形统计图；   利用“ 参与 项目学生人数占比”，即可获得答案； 在扇形统计图中，扇形 对应的圆心角度数是 ． 故答案为：；  利用“该校初二年级学生总数 参与 和 项目的学生人数占比”，即可获得答案． 21.本小题分 年江苏省城市足球联赛常规赛于月日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． 有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为          ； 某比赛场馆共有四个入口：入口，通往南看台，入口，通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 【答案】(1)  (2)解：根据题意，用列表法列出所有可能的结果： 小华小丽 1(北) 2(南) 3(南) 4(北) 1（北） 2（南） 3（南） 4（北） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人在同一侧看台的结果有8种： 同在北看台： 同在南看台： 答：他们在相同一侧看台观赛的概率为．   【解析】  利用“随机事件的概率该事件可能出现的结果数所有等可能出现的结果总数”这一公式求解； 【详解】解：由题意可知，共有场比赛，小明随机观看一场，其中观看扬州苏州的情况只有种， 则观看扬州苏州的概率为；   先通过列表法列出两人选择入口的所有等可能结果，再统计出“两人选择同一侧看台”的结果数，最后用目标结果数除以总结果数得到概率． 22.本小题分 如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作且，连接，． 求证：四边形是菱形； 过点作于点，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：如图，∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形；   (2)解：由（1）四边形是菱形， ∵于点F， ∴菱形的面积， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． 由（1）知， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，已舍去）， 由（1）知四边形是矩形， ∴矩形的周长为．   【解析】  先证四边形是平行四边形，进而可得平行四边形是矩形，然后可得，则四边形是菱形；   根据题意可得，结合菱形的性质可得，又，再由，求得即可． 23.本小题分 随着教育教学改革的不断深入，数学教学从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展．从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节【阅读观察】【类比应用】【拓展延伸】下面同学们从这三个方面试着解决下列问题： 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以，得． 【类比应用】化简：          ； 【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图，已知黄金矩形的宽，如图，将图的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1)  (2)解：矩形是黄金矩形，证明如下： ∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴黄金矩形的长， 由裁剪可知：， ∴， ∴． ∴矩形是黄金矩形．   【解析】  根据分母有理化进行求解即可； 【详解】解：；   根据黄金矩形的定义得到的长，由裁剪可知：，然后根据黄金矩形的定义验证即可． 24.本小题分 如图，直角梯形中，，，且，，． 求证：为等边三角形； 如图，于点，动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为秒。设点运动的时间为秒，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； 设与交于点，当时，求的值． 【答案】解：在中，，， ， ，， ， ， 而， 为等边三角形 如图：过做于， ， ，， ，， 而， ， ， 而 ， ，即， ．  【解析】略 25.本小题分 某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于预计划活动区造价元，绿化区造价元设绿化区域较长直角边为 ． 用含的代数式表示出口区的宽度为______ ，绿化区总造价为______ 元，活动区总造价为______ 元； 如果业委员投资万元，能否完成全部工程若能，请写出为正整数的所有工程案；若不能请说明理由？ 业委员决定在设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 【答案】． 所以业主委员会投资万元，能完成全部工程，所有工程方案如下：较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；较长直角边为，短直角边为，出口宽度为． 原计划每天绿化．   【解析】解：由题意可得，出口的宽度为；绿化区总造价为元，活动区总造价为元，  故答案为：，，；  设工程队总造价元，  由题意可得，，，  ，  ，  ，  ，  ，  设，  当时，，或，  当时，或，  ，  所以业主委员会投资万元，能完成全部工程，  所有工程方案如下：较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；  较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；  较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；  ，  在中随的增大而减小，  当时，有最小值，  绿化面积，  设原计划每天绿化，则在实际施工中，每天绿化，  则，  解得：或舍，  经检验是原方程的解，  答：原计划每天绿化． 根据图形可得结论；  根据面积造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得与的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得的取值范围，业主委员会投资万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；  先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验． 本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式组解决问题． 26.本小题分 正方形和正方形的位置如图所示，点在上，交于点，延长交于点，于点，连接． 求证：； 求的度数； 若，求的值． 【答案】(1)∵四边形，均为正方形， ，，，， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴， ∴；   (2)解：∵， ∴， 又四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ 又 ∴， ∴， ∴ 又， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ， ， ，． ， ， ， ；   (3)解：由（2）可知，． ， ， ． ， ． 设，，则， ， ， ． ，， ， ． ．   【解析】  由四边形，均为正方形可得，，再证明即可得出结论；   根据证明，得，证出，可得；   由可证明，，设，，则，得，再求出，求出，从而得． 27.本小题分 在菱形中，． 如图，点为线段的中点，连接、、若，求线段的长 如图，为线段上一点不与、重合，以为边向上构造等边三角形，线段与交于点，连接、，为线段的中点，连接、，判断与的数量关系，并证明你的结论 在的条件下，若，请你直接写出的最小值． 【答案】解：如图，连接，则平分， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， ； 如图，延长至，使，连接、， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ． 由知，， 要最小，便是最小， 即：点，，在同一条线上时，最小， 此时，点和点重合，即：的最小值为，如图， 由知，是等边三角形， ． 是菱形的对角线， ， ， 在中，， 的最小值为．  【解析】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明≌是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建． 如图，连接对角线，先证明是等边三角形，根据是的中点，由等腰三角形三线合一得：，利用勾股定理即可依次求和的长； 如图，作辅助线，构建全等三角形，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，得条件证明≌，则，根据是的中位线，得，由等量代换可得结论． 先判断出点在的延长线上时，最小，最小为，再判断出，即可用三角函数求出结论． 第23页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $