精品解析：吉林省长春市南关区部分学校2025-2026学年度第二学期6月阶段测试八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期6月份月考八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为系列智能机搭载着麒麟9000，制程芯片，集成了153亿个集成电路．，那么用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若把一次函数向上平移3个单位长度，得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形中，错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 8. 如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 若与最简二次根式是同类二次根式，则___________． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 11. 如图，双曲线与直线的一个交点的横坐标为2；则的解集为______． 12. 如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 20. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③连接并延长，交于点．求的周长． 21. 某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩如下：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在组中的数据如下：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题． （1）所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是___________分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是___________分； （2）补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； （3）若该中学八年级与九年级各500名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 22. 节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）节日过后，该采摘园将会调整优惠方案：游客进园需购买90元门票，采摘的草莓按（1）中求得的优惠前价格的六折计费．若某游客采摘的草莓重量超过了10千克，且发现节前、节后两种方案的花费恰好相同，则该游客采摘的草莓重量是________千克． 23. 如图①，在中，．点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，以为圆心，为半径作，设点的运动时间为（秒）． （1）的长为______； （2）当与相切时，用无刻度的直尺和圆规在图②确定点的位置； （3）当时，如图③，为上任意一点，连结．当最大时，求的长． （4）当与的边有且只有三个公共点时，直接写出的取值范围． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期6月份月考八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程．逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，未说明，若，方程不是一元二次方程．∴A错误． ∵选项B中，方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程．∴B错误． ∵选项C中，满足只含一个未知数．未知数最高次数是2．是整式方程．二次项系数为．符合一元二次方程定义．∴C正确． ∵选项D中，方程含有和两个未知数，是二元方程，不符合一元二次方程定义．∴D错误． 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，关键是根据定义进行判断；根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 对于选项A，的被开方数不含分母且不能开得尽方，符合最简二次根式的定义； 对于选项B，的被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义； 对于选项C，，不符合最简二次根式的定义； 对于选项D，，不符合最简二次根式的定义； ∴只有选项A是最简二次根式， 故选：A． 3. 华为系列智能机搭载着麒麟9000，制程芯片，集成了153亿个集成电路．，那么用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴用科学记数法表示为． 4. 若把一次函数向上平移3个单位长度，得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，根据一次函数向上平移3个单位长度可得，即可得出答案． 【详解】解：一次函数向上平移3个单位长度可得， 即. 故选：A． 5. 下列各式从左到右的变形中，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用，需根据分式的基本性质（分子分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变）及分式符号变化规则，逐一判断选项，掌握分式基本性质是解题关键． 【详解】解：A选项：，变形正确，不符合题意； B选项：，变形正确，不符合题意； C选项：的分子分母同时减1，不符合分式基本性质，变形错误，符合题意； D选项：，变形正确，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作法得，， 垂直平分， ，故①正确； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， 垂直平分线段，故④正确． 故正确的个数有3个． 7. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 8. 如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题以等边三角形与反比例函数结合为载体，通过作垂线转化几何性质求点坐标，利用反比例函数解析式建立方程求解，凸显了数形结合与方程思想的应用． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 若与最简二次根式是同类二次根式，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：由条件可知，则， 故答案为：6． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 11. 如图，双曲线与直线的一个交点的横坐标为2；则的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图象找出反比例函数图象在正比例函数图象上方部分且在x轴上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：，双曲线与直线的一个交点的横坐标为2， ， 从图象来看，即在x轴上方时且反比例函数图象在正比例函数图象上方的部分， 对应得解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查学生的观察图形的能力，用了数形结合思想． 12. 如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识． 根据菱形的性质、勾股定理，先求出、，再结合，即可作答． 【详解】解：在菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据关于的一元二次方程有实数根，得到一元二次方程根的判别式非负，代值解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正切函数的定义求出的长，进而求出的长即可判断①；当时，利用旋转的性质和等腰三角形的性质求出相关角的度数，利用两角对应相等证明三角形相似即可判断②；根据旋转的性质和勾股定理表示出和，结合点的运动状态判断③；根据垂线段最短求出的最小值，进而得到的最小值即可判断④． 【详解】解：①在中， ，故①正确； ②当时，为等腰三角形 由旋转的性质可知 为等腰直角三角形 在中， ，故②正确； ③由旋转的性质可知 在中， 是上一动点，的长度不确定 不一定成立，故③错误； ④由旋转的性质可知当时，最短，即最短在中， 的最小值是， 故正确故答案为①②④ 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先化简各式，然后再进行计算即可解答； 先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 17. 在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 【答案】 小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是小王跳的时间＝小李跳的时间．通过设未知数，利用时间相等的条件建立分式方程求解即可 【详解】解：设小李平均每分钟跳次，则小王平均每分钟跳次 根据题意，得方程： 解得 检验：当时，，所以是原方程的解 ∴小王平均每分钟跳次 答：小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次 18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 【答案】（1）所作射线如图所示： （2）所作射线如图所示： 【解析】 【分析】（1）在图中找到一个角的正切值也为即可； （2）在图中构造一个等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图略， 证明如下：连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③连接并延长，交于点．求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】先结合平行四边形的性质，得出，根据作图过程得平分，进行等量代换得，等角对等边得，又结合30度角所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理列式计算得，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点，则 四边形是平行四边形 ， 由尺规作图可知，平分， ， ， ， ， ， ， ； 由勾股定理得 的周长． 21. 某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩如下：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在组中的数据如下：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题． （1）所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是___________分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是___________分； （2）补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； （3）若该中学八年级与九年级各500名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）， （2）补全频数分布直方图如下： 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． （3）估计此次测试成绩达到 90 分及以上的学生有 450 人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的定义求解即可得； （2）先求出所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩在组的人数为 2 名，据此补全频数分布直方图，再根据平均数的公式计算即可得； （3）利用该中学八年级与九年级的学生人数乘以测试成绩达到 90 分及以上的学生所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：将所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩按从小到大进行排序后，第 5 个数和第 6 个数的平均数即为中位数， ， ∴按从小到大进行排序后，第 5 个数和第 6 个数在组， 又 ∵八年级的测试成绩在组中的数据为：， ∴所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是（分）， ∵在所抽取的 10 名九年级学生的测试成绩中， 100 分的人数最多， ∴所抽取的九年级学生测试成绩的众数是 100 分； 【小问2详解】 解：所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩在组的人数为（名）， 补全频数分布直方图略， 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数分， 答：所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测试成绩达到 90 分及以上的学生有 450 人． 22. 节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）节日过后，该采摘园将会调整优惠方案：游客进园需购买90元门票，采摘的草莓按（1）中求得的优惠前价格的六折计费．若某游客采摘的草莓重量超过了10千克，且发现节前、节后两种方案的花费恰好相同，则该游客采摘的草莓重量是________千克． 【答案】（1）30 （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）先理解题意，再分别算出节后的费用，结合由（2）得节前费用是以及节前、节后两种方案的花费恰好相同，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴优惠前草莓的销售价格为每千克元； 【小问2详解】 解：设时与的函数解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴， 【小问3详解】 解：设该游客采摘的草莓重量是千克， ∵节日过后，该采摘园将会调整优惠方案：游客进园需购买90元门票，采摘的草莓按（1）中求得的优惠前价格的六折计费， ∴费用是， 由（2）得节前费用是， ∵节前、节后两种方案的花费恰好相同， ∴， 解得， ∴该游客采摘的草莓重量是15千克． 23. 如图①，在中，．点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，以为圆心，为半径作，设点的运动时间为（秒）． （1）的长为______； （2）当与相切时，用无刻度的直尺和圆规在图②确定点的位置； （3）当时，如图③，为上任意一点，连结．当最大时，求的长． （4）当与的边有且只有三个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）5 （2）作的平分线交于点P，如下图 （3） （4）或2或 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理即可求出； （2）用尺规作图方式，作的平分线交于点P，以点P为圆心，为半径作，与相切； （3）点为上任意一点，在外部，与相切时，最大，同时也最大，运用勾股定理，即可求出； （4）与的边有且只有三个公共点,一共有三种情况，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：在中， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在外部，与相切时，最大，同时也最大，如下图 ，， ． 【小问4详解】 解：当与的边有且只有三个公共点时，共有三种情况，分类讨论如下 ①与相切于点D，即，如下图 ，， ，即 ，由（1）得， 解得，即； ②为直径，点P在中点，如下图 ，即； ③当点P在斜边上时，只要点P不与点A、点B重合，两个直角边不与相切，就有两个交点，且与有一个交点，如下图 综上所述，或2或． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 反比例函数的解析式为， 将，代入得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， ， ， ，即， ， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $