3.1 相似多边形 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“相似多边形”核心内容，涵盖两条线段的比、成比例线段、比例性质及相似多边形判定与性质，通过“逐点导讲练”从形状相同图形切入，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于讲练结合，例题设多种解法（如例3用设参数法、比例性质法）培养推理能力，结合比例尺等实际问题提升抽象能力与应用意识，课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效开展教学。

3 相似多边形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 两条线段的比 成比例线段 比例的基本性质 相似多边形 等比性质 学习目标 知1－讲 知识点 两条线段的比 1 1. 形状相同的图形：形状相同，大小、位置不一定相同的图形叫作形状相同的图形。 感悟新知 知1－讲 2. 两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD 的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶ CD=m∶ n，或写成=.其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项. 如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD. 感悟新知 知1－讲 注意 两线段的比具有顺序性，若写线段AB 与CD 的比，就必须把表示AB 长度的数字写在前面 (前项) 或分数线上面. 3. 比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通常为比例尺，比例尺是两条线段的比的一种. 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 两条线段的比，与所选的长度单位无关，但所选单位必须统一，其比值是一个没有单位的正实数； 2. 两条线段的比将有关“形”(线段)的问题转化为有关“数”(线段的长度)的问题。 感悟新知 知1－练 [母题 教材P119 复习题T1(2)]在某县地图(比例尺为1 ∶400000)上量得红旗乡与胜利乡之间的距离为 5 cm，则两乡之间的实际距离是多少？ 例1 解题秘方：借助“线段的比”求用比例尺表示的地图中有关的距离. 感悟新知 知1－练 解：设两乡之间的实际距离是x cm， 则5 ∶ x =1∶ 400 000， ∴ x =400 000×5 =2 000 000. 而2 000 000 cm=20 km， ∴两乡之间的实际距离是2 0 km. 感悟新知 知1－练 1-1. 若a=0.5 m，b=20 cm，则a∶b=( ) A. B. C. D.2.5 cm C 1-2.在比例尺是1 ∶300的交通游览图上， 某隧道长约为 4 cm，那么它的实际长度约为 _______m. 12 感悟新知 知3－讲 知识点 成比例线段 2 1. 成比例线段：四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段 . • • • • 感悟新知 知2－讲 2. 拓展 (1)若a ∶ b=b ∶ c，则b 叫做a 和c 的比例中项； (2)在比例式a ∶ b=c∶ d 中，b，c 称为内项，a，d 称为外项，d 叫做a，b，c 的第四比例项. 感悟新知 知2－讲 特别解读 1. 在通常情况下，四条线段a，b，c，d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使a 与b 的单位一致，c 与d的单位一致. 2. 四条线段a，b，c，d 成比例是有顺序的。如：若a，b，c，d 是成比例线段，则a∶b = c∶d 或=，不能随便更改位置. 感悟新知 知2－练 下列各组线段中，能构成比例线段的是( ) A. 3 cm，7 cm，6 cm，9 cm B. 2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C. 3 cm，9 cm，18 cm，6 cm D. 1 dm，2 dm，3 dm，4 dm 例 2 感悟新知 知2－练 解题秘方：紧扣成比例线段的定义进行判断. 解： 选项 一化 二排 三算 四判断 A 3cm，6 cm，7 cm，9 cm ≠ 不能 B 0.6 dm= 6 cm 2 cm，5 cm，6 cm，8 cm ≠ 不能 C 3 cm，6 cm，9 cm，18 cm = 能 D 1 dm，2 dm，3 dm，4 dm ≠ 不能 答案：C 感悟新知 知2－练 解题通法 判断四条线段是否是成比例线段的方法： 先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后进行判断. 方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等； 方法2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等. 若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段. 感悟新知 知2－练 2-1.下列各组线段中，不能成比例的是( ) A.a=3，b=6，c=2，d=4 B. a = 1 ， b = ，c= ，d= C.a=4，b=6，c=5，d=10 D. a = 2 ， b = ，c= ，d=2 C 感悟新知 知3－讲 知识点 比例的基本性质 3 基本性质：如果=，那么ad=bc. 如果ad=bc(a，b，c，d 都不等于0)，那么= . 特别解读 有多种不同的变化形式，如：= ，=，= 感悟新知 知3－讲 注意 =为比例式，ad=bc为等积式，由比例式化等积式是唯一的，而由等积式化比例式是不唯一的。 感悟新知 18 知3－练 [一题多解] 已知= ，求的值。 例 3 解题秘方：可以采用设参数法，用参数表示出a，b，最后求出的值；也可以通过把分式转化为整式，从而化简求出的值。 感悟新知 知3－练 解：(方法一 设参数法) 因为=， 所以设a-b=3m(m≠ 0)，则b=8m， 所以a-8m=3m，得a=11m。 所以==。 感悟新知 知3－练 (方法二 比例的基本性质) 由比例的基本性质知 8(a-b)=3b， 所以8a-8b=3b，即8a=11b。所以=。 (方法三 分式的恒等变形) 因为=， 所以-1=，所以=。 感悟新知 知3－练 方法点拨 比例求值的常用方法： (1)用比例的性质求值或等价变形，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常用的方法； (2)用设参数法求值：对于已知等比条件求值的题目，可先根据比例式设出合适的参数，再用含此参数的代数式表示出相应字母，然后代入求值； 感悟新知 知3－练 (3)用代入消元法求值：对于已知等比条件求值的题目，可根据已知等式，先用含同一个字母的代数式表示出其他字母，再代入所求的代数式中并整理，约去这个字母，求出代数式的值。 感悟新知 知3－练 3-1.已知==(a≠0，b≠0，c≠0)。 (1)求的值； 感悟新知 知3－练 (2) 若2a-b+c=36，求a，b，c的值。 解：∵2a－b＋c＝36， ∴2×4k－5k＋6k＝36， ∴k＝4。 ∴a＝4k＝4×4＝16，b＝5k＝5×4＝20， c＝6k＝6×4＝24。 感悟新知 知识点 相似多边形 知4－讲 4 1. 相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. •••••• ••••• 感悟新知 知4－讲 2. 相似多边形的表示：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如：如图3-1-1，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，记作四边形ABCD∽四边形EFGH。“∽”读作“相似于”。 感悟新知 知4－讲 3. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 感悟新知 知4－讲 注意 相似多边形的相似比具有顺序性，即多边形A与多边形B 相似，若多边形A 与多边形B 的相似比为k，则多边形B 与多边形A 的相似比为。 感悟新知 知4－讲 要点提醒 1.相似多边形的定义既是相似多边形的判定方法，又是相似多边形的性质。 2.判定两个多边形相似，需具备下面三个条件： (1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边的比相等. 3. 若两个多边形的相似比为1，则这两个多边形为全等多边形，即全等是相似的一种特殊情况. 相似比反映多边形被放大或缩小的程度. 感悟新知 知4－练 例 4 如图3-1-2，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形。若AB=6，BC=4，每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由。 解题秘方：紧扣相似多边形的定义进行判断。 感悟新知 知4－练 解：不相似。理由如下： ∵原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4， ∴划分后小矩形的长AD=4，宽AE=6÷3=2。 ∵=≠=，∴原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似。 感悟新知 知4－练 4-1. 图中的三个矩形相似的是( ) A. 甲和丙 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 A 感悟新知 知4－练 例 5 如图3-1-3，梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，AD∥BC，A′D′ ∥ B′C′，∠A=∠A′，AD=4，A′D′=6，AB=6，B′C′=12，∠C=60°。 解题秘方：紧扣“相似多边形的定义及相似比的定义”进行计算。 感悟新知 知4－练 (1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k； 解：相似比k===。 感悟新知 知4－练 (2)求A′B′和BC的长； 解：∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′， 且由(1)知相似比k=，∴=，=。 ∵ AB=6，B′C′=12，∴ A′B′=9，BC=8。 感悟新知 知4－练 (3)求∠D′的度数。 解：由题意知∠D′= ∠D。 ∵AD∥ BC，∠ C=60°， ∴∠D=180°- ∠ C=120°。 ∴∠D′=120°。 感悟新知 知4－练 5-1.如图是两个相似四边形，求x的值和角α 的度数。 感悟新知 知4－练 例 6 如图3-1-4，在矩形ABCD 中，点E，F分别为边AD 与边BC的中点。若矩形ABCD∽矩形AEFB，则其相似比为( ) A. 2 B. C. D. 解题秘方：紧扣“相似多边形对应边的性质”进行计算。 感悟新知 知4－练 解：∵矩形ABCD∽矩形AEFB，∴=。 ∵ E 是AD的中点，∴ AE=AD。∴=， 即AD2=2AB2，∴AD= AB(负值已舍去)。 ∴= 。∴相似比为 。 答案：C 感悟新知 知4－练 6-1.如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为_______。 感悟新知 知5－讲 知识点 等比性质 5 等比性质 如果= =…= (b＋d＋…＋n ≠ 0)，那么= . 感悟新知 知5－讲 感悟新知 43 知5－讲 特别提醒 使用等比性质时，一定要注意b+d+…+n≠0这个前提条件。 感悟新知 44 【母题 教材P65 习题T5】(1)已知===，b+d+f=6, 则a+c+e=_______。 知5－练 例 7 解题秘方：紧扣等比性质进行变形求值。 解：∵ ===，∴=。 又∵ b+d+f=6, ∴=，∴ a+c+e=4。 4 感悟新知 知5－练 (2)若===，，且3b-2d+f≠ 0，则 3a-2c+e3b-2d+f的值为________。 解题秘方：紧扣等比性质进行变形求值。 解：∵===，∴= ==，∴=。 感悟新知 知5－练 7-1.若==3，且2a-3c+1≠0，则的值是( ) A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 A 感悟新知 相似多边形 相似多边形 两条线 段的比 比例的性质 相似多边形 课堂小结 解：令＝＝＝k(k≠0)， 则a＝4k，b＝5k，c＝6k， ∴＝＝。 解：∵两个四边形相似， ∴＝，解得x＝12。 由题意易得α＝ 360°－(77°＋83°＋117°)＝83°. 1∶ $