精品解析：2026年河北省沧州市任丘市中考前测试数学试题

河北省初中学业水平模拟考试（九年级）数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 2. 把统一成加法，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 年月日（上映第天），沈腾主演的《飞驰人生》内地累计总票房为亿元人民币，数据亿用科学记数表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 【新情境·密码锁】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”．小明想设计三个密码“，，■”，且每次转动转盘都不超过一周，使得开锁时标记线对准的刻度线表示的数是10，那么■表示的密码为（ ） A. 5或 B. 10或 C. 3或 D. 27或 6. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 7. 定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体，相对面上两个数相等，求的值．嘉嘉与琪琪给出如下结论．嘉嘉：由题意可得，，利用整体思想可求得；琪琪：由题意可得，，解它们组成的方程组，可求得．则下列说法正确的是（ ） A. 只有嘉嘉的对 B. 只有琪琪的对 C. 他们两个人的都对 D. 他们两个人的都不对 9. 如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 小明去超市买体育用品，一副羽毛球拍元，一副网球拍元，则小明买副羽毛球拍和副网球拍的费用为________元． 14. 为弘扬非遗文化，某校组织学生参与“扎染技艺进校园”实践活动，记录了个小组完成一幅扎染作品的耗时（单位：分钟）：，，，，，，，，，．则这组数据的众数是________． 15. 如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点，与交于点，，当是等腰三角形时，的度数为________． 16. 如图，正六边形的边长为1，线段在正六边形内，且，点为正六边形内任一点（点，，可在正六边形的边界上），则的面积的最大值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… （1）计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） （3）请将正确解答过程补充完整． 18. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． （1）被污染的整式________；________； （2）已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“中华非遗文化体验”活动，设置“京剧”“剪纸”“书法”“皮影戏”四类体验项目，学校随机抽取部分学生，调查其最想参与的项目（每人限选一项）．将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据以下信息，解答下列问题： （1）填空：此次共调查了_____名学生；图中学生体验“京剧”所在扇形的圆心角为_____．学校采用的调查方式是_____（选填“全面调查”或“抽样调查”）： （2）将条形统计图补充完整； （3）学校计划从最想参与“皮影戏”的4名优秀学生（两男两女）中随机抽取2名，担任非遗文化体验活动志愿者，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生中至少有1名是女生的概率． 20. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 21. 某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． （1）求乙班返回时的速度． （2）求的函数表达式． （3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 22. 如图，在中，，，，点在边上，且，以点为圆心，为半径在的上方作半圆，交于点，，交于点．随后，将半圆沿向右平移，设点平移的距离为（）． （1）在图中的长为________； （2）向右平移半圆，当边与半圆相切于点时，如图所示，求的值； （3）在半圆沿边向右平移的过程中，当半圆与的重叠部分是半圆时，直接写出的取值范围． 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 24. 在中，，，． （1）①尺规作图：在图1中作的垂直平分线与交于点，与交于点； ②连接，求证：． （2）在（1）的基础上，如图2，将沿着剪开，将绕点逆时针方向旋转得到，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点，（不与点重合），与边交于点，线段与交于点． ①试判断与的数量关系，并证明你的结论； ②如图，当时，求的长； ③如图，当经过点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省初中学业水平模拟考试（九年级）数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 2. 把统一成加法，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了把有理数加减混合运算统一为加法运算．根据有理数的减法法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3. 年月日（上映第天），沈腾主演的《飞驰人生》内地累计总票房为亿元人民币，数据亿用科学记数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿 ． 4. 如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光的反射得出相等的角，然后根据垂直和平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 【新情境·密码锁】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”．小明想设计三个密码“，，■”，且每次转动转盘都不超过一周，使得开锁时标记线对准的刻度线表示的数是10，那么■表示的密码为（ ） A. 5或 B. 10或 C. 3或 D. 27或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，用数学运算表示密码锁开锁原理是解决问题的关键． 先根据图示得到表盘总共有个格子，再由已知密码得到标记线此时对准的是，按照题中密码锁开锁原理，分顺时针和逆时针求解即可得到答案． 【详解】解：由表盘可知，总共有个格子， ，即标记线此时对准的是， 逆时针旋转格或顺时针旋转格时，开锁时标记线对准的刻度线表示的数是10， 则■表示的密码为3或， 故选：C． 6. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：与不是同类项，不能合并， 结果不是，A错误； 选项B：， 结果不是，B错误； 选项C：， 结果不是，C错误； 选项D：， 结果为，D正确． 7. 定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 8. 如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体，相对面上两个数相等，求的值．嘉嘉与琪琪给出如下结论．嘉嘉：由题意可得，，利用整体思想可求得；琪琪：由题意可得，，解它们组成的方程组，可求得．则下列说法正确的是（ ） A. 只有嘉嘉的对 B. 只有琪琪的对 C. 他们两个人的都对 D. 他们两个人的都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先确定相对面，再得到，，再结合完全平方公式的变形进行计算即可. 【详解】解：由正方体的相对面可得： ，， ∴； ∴嘉嘉的对，琪琪的错误. 9. 如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 10. 如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别求得点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，设反比例函数与线段相交于点时值最大，得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：点，轴，轴， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为、， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小， 设反比例函数与线段相交于点时值最大， 则， ， 当时，值最大为， 因此，的取值范围是． 11. 如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由四边形是菱形，得，，，可得,再结合为的中点，得，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，. 12. 如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 小明去超市买体育用品，一副羽毛球拍元，一副网球拍元，则小明买副羽毛球拍和副网球拍的费用为________元． 【答案】 【解析】 【分析】根据总价等于单价乘数量，分别求出购买副羽毛球拍和副网球拍的费用，再将两个费用求和，得到总费用． 【详解】解：根据总价单价数量，购买副羽毛球拍的费用为元，购买副网球拍的费用为元， 总费用为两种费用之和，即元． 14. 为弘扬非遗文化，某校组织学生参与“扎染技艺进校园”实践活动，记录了个小组完成一幅扎染作品的耗时（单位：分钟）：，，，，，，，，，．则这组数据的众数是________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据众数的定义，统计这组数据中每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到众数． 【详解】解：这组数据为，，，，，，，，，. 其中出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， 出现次. 出现的次数最多， 因此这组数据的众数是. 15. 如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点，与交于点，，当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分、 、三种情况即可求解． 【详解】当时，如下图： ，， ， ， 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，， 题干要求，故该情况不存在． 综上，的度数为或． 16. 如图，正六边形的边长为1，线段在正六边形内，且，点为正六边形内任一点（点，，可在正六边形的边界上），则的面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、正多边形和圆，正确作出辅助线是解决此题的关键．过点作于点，交于点，过、分别作于、于，设，则，由正多边形性质可得，，然后根据三角形面积公式及最值问题可得答案． 【详解】解：过点作于点，交于点，过、分别作于、于，连接，过作于， 由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，同理可得，， 设，则， ， ， 的面积 ， 当，即当、分别在、的中点时，的最大面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… （1）计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） （3）请将正确解答过程补充完整． 【答案】（1）有理数的减法法则，二 （2）加法交换律，加法结合律 （3） 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【小问1详解】 解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； 【小问2详解】 解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； 【小问3详解】 略 18. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． （1）被污染的整式________；________； （2）已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：与的和大于1 与的和大于1． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“中华非遗文化体验”活动，设置“京剧”“剪纸”“书法”“皮影戏”四类体验项目，学校随机抽取部分学生，调查其最想参与的项目（每人限选一项）．将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据以下信息，解答下列问题： （1）填空：此次共调查了_____名学生；图中学生体验“京剧”所在扇形的圆心角为_____．学校采用的调查方式是_____（选填“全面调查”或“抽样调查”）： （2）将条形统计图补充完整； （3）学校计划从最想参与“皮影戏”的4名优秀学生（两男两女）中随机抽取2名，担任非遗文化体验活动志愿者，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生中至少有1名是女生的概率． 【答案】（1），，抽样调查 （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据皮影戏的人数除以占的百分比求出调查的学生总数，进而求出京剧的百分比，乘以即可求出占的圆心角，再根据题意判断调查的方式即可； （2）求出剪纸与京剧的人数，补全条形统计图即可； （3）列树状图，利用概率公式即可解答． 【小问1详解】 解：此次调查的学生总人数为（名）， “京剧”所在扇形的圆心角为， 学校采用的调查方式是抽样调查， 【小问2详解】 解：选择“书法”的学生人数为（名）， 选择“剪纸”的学生人数为（名）， 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：记两名男生为男1，男2，两名女生为女1，女2，画树状图如下： 一共有12种等可能的情况，其中抽到至少有1名是女生有10种可能的情况， 则所选2名学生中至少有1名是女生的概率． 20. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交于点，先证明四边形是平行四边形，即可得的值，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得． 21. 某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． （1）求乙班返回时的速度． （2）求的函数表达式． （3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 【答案】（1） （2） （3）甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或 【解析】 【分析】（1）根据函数关系图，利用速度路程时间即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系图列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴乙班返回共用走完， ∴乙班返回时的速度为：． 【小问2详解】 解：∵， 设的表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴的表达式为． 【小问3详解】 解：∵， 设的函数表达式为，则， 解得：， ∴的函数表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同， ∴， 解得：． ∵， 设的函数表达式为，则 ， 解得：， ∴的表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同， ∵的表达式为， ∴，解得：． 综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或． 22. 如图，在中，，，，点在边上，且，以点为圆心，为半径在的上方作半圆，交于点，，交于点．随后，将半圆沿向右平移，设点平移的距离为（）． （1）在图中的长为________； （2）向右平移半圆，当边与半圆相切于点时，如图所示，求的值； （3）在半圆沿边向右平移的过程中，当半圆与的重叠部分是半圆时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）找到劣弧所对的圆心角，再利用公式求解即可； （2）根据切线的性质，再解直角三角形即可； （3）圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵边与半圆相切， ． ，， ， ． 【小问3详解】 解：的取值范围是． 如图，半圆与相切于点时，连接， ， ， ， ． 在中，根据勾股定理可得 ，即， 解得（负值舍去）． 在中，，， ， ． ∴半圆与的重叠部分是半圆时，的取值范围是． 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴的计算公式即可求解； （2）①令，设该方程的两根为，由，得，根据，可求得的值，进而求得a的值； ②由①得抛物线的解析式，由题意得上方的平行线不能在顶点下方，要使最大，则直线经过顶点，从而得直线，由此求得m与n的值，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：因为， 所以该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ①解：令，则， 设该方程的两根为， 因为点在原点的左侧，， 所以， 由根与系数关系得：， 即， 所以，， 把代入， 得， 所以； ②解：因为， 所以该函数表达式为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且， 所以如图，上方的平行线不能在顶点下方， 因为直线和之间的距离为9， 所以要使最大，则直线经过顶点， 此时直线为， 所以当时， 解得，， 所以的最大值为． 24. 在中，，，． （1）①尺规作图：在图1中作的垂直平分线与交于点，与交于点； ②连接，求证：． （2）在（1）的基础上，如图2，将沿着剪开，将绕点逆时针方向旋转得到，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点，（不与点重合），与边交于点，线段与交于点． ①试判断与的数量关系，并证明你的结论； ②如图，当时，求的长； ③如图，当经过点时，直接写出的长． 【答案】（1）①； ②证明：由作图可知，，， 又， ， ， ，， ， ． （2）①与的数量关系是． 证明如下：连接，如图所示： 由旋转的性质得，， 在和中，， ， ． ②3；③的长为 【解析】 【分析】（1）①根据尺规作图作垂直平分线的方法即可作出；②利用垂直平分线得 与，再通过平行线性质与等腰三角形性质导出，从而． （2）①连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系；②先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，利用相似三角形的性质得出，再利用，求得，再用勾股定理求得；③设，则，由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长． 【小问1详解】 ①略；②略． 【小问2详解】 ①略； ②过点作于，交于，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理，得， 由（1）可知，，，，， ， 是的中位线， ． 由旋转的性质，得 ，， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． ， ， ， ． ③的长为． 设，则， 由旋转的性质得，， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， ，解得， 的长为． 【点睛】本题考查了尺规作图，旋转变换，轴对称的性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $