专题9 矩形 暑期巩固专项练习 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 以矩形性质与判定为核心，通过分层题型构建"概念理解-性质应用-综合探究"的完整训练体系，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解|4题|矩形与平行四边形性质对比，轴对称特征分析|从定义出发，建立特殊与一般的联系| |性质应用|16题|角度计算（等边三角形判定）、线段求解（勾股定理）、面积转化（出入相补原理）|性质→量化计算→实际应用的递进| |证明与判定|20题|定义法、角判定法、对角线判定法的灵活选用|判定定理与性质定理的双向应用| |折叠与动点|8题|折叠对称性质、动点轨迹分析、最值模型构建|静态性质到动态问题的思维迁移|

华师大版（2024）八年级下册暑期巩固 专题9矩形 矩形性质的理解 1、如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是(　　)    A. B. C. D. 2、矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 3、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是         ．（填代号） ①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形． 4、矩形的对称轴有    条． 利用矩形的性质求角度 1、如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是(　　)    A. B. C. D. 2、在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为(　　)    A. B. C. D.不确定 3、如图，矩形中，对角线，交于点，点是上一点，且，，则的度数为          ． 4、如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    利用矩形的性质求线段的长度 1、如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　) A.3 B.4 C. D.5 2、矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为（　　） A.22 cm和26 cm B.22 cm和24 cm C.26 cm D.22 cm 3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为        ． 4、如图，矩形的对角线和相交于点O，，则      ．    5、如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 6、如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．        (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 利用矩形的性质求面积 1、数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 2、如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 4、如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，以BC为一边，在BC上方作等边三角形BCE，连接DE，BD则的面积为                        ． 5、已知矩形中，，，，则矩形的面积为         ． 6、如图，矩形中，点E在上，且平分，若，    (1)求证：； (2)求的面积． 利用矩形的性质证明 1、如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 2、如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 3、如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 4、如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是     ．    5、如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形． 6、如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 矩形中的折叠问题 1、如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　) A. B. C.5 D. 2、如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 3、如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是       ． 4、矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为      ．    矩形中的动点问题 1、如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　) A.当点P与点A重合时，最小 B.当点P与点D重合时，最小 C.当最小时，A、E、C三点共线 D.当最小时， 2、如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是(　　)    A.2 B.3 C.4 D.5 3、如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是                ． 4、如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 用定义判定矩形 1、如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 2、在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形． 4、如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 用角判定矩形 1、如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2、下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 3、在四边形中，，则四边形是        ． 4、工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 5、已知：如图，在中平分，过点A作，过点C作，垂足为点E，连接交于点F． 求证：四边形是矩形． 6、如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形. 用对角线判定矩形 1、如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 2、如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 3、在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 4、如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 5、如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且．求证：四边形是矩形． 矩形判定定理的理解 1、依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)    A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③ 2、下列说法正确的是(　　) A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D.四个角都是直角的四边形是矩形 3、给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是          . 4、在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有    ．（把你认为正确说法的序号全部填上） 添一条件使四边形是矩形 1、如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 2、下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 3、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 4、已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 5、如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 综合利用矩形的判定与性质进行求解 1、如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 2、如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 3、如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　) A.23 B.16 C.22 D.15 4、如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为       ． 5、如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 6、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 综合利用矩形的判定与性质进行证明 1、已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 2、平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 3、已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 4、如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 5、如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 6、如图，在四边形中，，，垂足为，． 求证：． 华师大版（2024）八年级下册暑期巩固 专题9矩形（参考答案） 矩形性质的理解 1、如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵在矩形中，对角线，交于点， ∴，，， 矩形不一定有， ∴四个选项中只有D选项说法错误， 故选：D． 2、矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 【答案】D 【解析】A.矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意； B.矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意； C.矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意； D.矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意． 故选D． 3、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是         ．（填代号） ①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形． 【答案】④⑤⑥ 【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是： ④对角线相等； ⑤4个角都是90°； ⑥轴对称图形． 故答案为：④⑤⑥． 4、矩形的对称轴有    条． 【答案】2 【解析】如图所示， 所以矩形的对称轴有2条． 故答案为：2． 利用矩形的性质求角度 1、如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】四边形是矩形， ， 故选C． 2、在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为(　　)    A. B. C. D.不确定 【答案】C 【解析】∵矩形中，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 3、如图，矩形中，对角线，交于点，点是上一点，且，，则的度数为          ． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4、如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为：. 利用矩形的性质求线段的长度 1、如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　) A.3 B.4 C. D.5 【答案】B 【解析】四边形是矩形，且， ， ， 是等边三角形，， 故选：B． 2、矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为（　　） A.22 cm和26 cm B.22 cm和24 cm C.26 cm D.22 cm 【答案】A 【解析】如图1，∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长, 如图2，∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的周长， 综上所述，矩形的周长为22 cm或26 cm， 故选：A. 3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为        ． 【答案】 【解析】设AE＝x，则BE＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝10，∠A＝∠B＝90°， ∴AD2＋AE2＝DE2，BC2＋BE2＝CE2， ∵DE⊥CE， ∴∠DEC＝90°， ∴DE2＋CE2＝CD2， ∴AD2＋AE2＋BC2＋BE2＝CD2， 即42＋x2＋42＋（10﹣x）2＝102， 解得：x＝2或x＝8（不合题意，舍去）， ∴AE＝2， ∴DE＝＝＝2， 故答案为：2． 4、如图，矩形的对角线和相交于点O，，则      ．    【答案】6 【解析】∵是矩形， ∴， 由∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6． 5、如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】解：（1）∵在矩形在中，，， ∴， 又∵，， ，， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形； （2）在矩形在中，，， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴是等边三角形， ， ∴在中，，， 由勾股定理得，． 6、如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．        (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，连接， 由（2）知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴．    利用矩形的性质求面积 1、数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知，故A正确； 根据矩形的性质得，，故B，D正确， 而与不一定相等， 故选：C． 2、如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 【答案】C 【解析】为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°， ∴AO=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=AB， ∴AC=2AO=8， ∴， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=． 故选：B． 4、如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，以BC为一边，在BC上方作等边三角形BCE，连接DE，BD则的面积为                        ． 【答案】 【解析】作EF⊥BC于点F，如图， ∵△BCE是等边三角形，BC=4， ∴∠ECF=60°，EC=BC=4，BF=CF=2， ∴， ∴S△BDE=S四边形BCDE－S△BCD = S△BCE+S△CDE－S△BCD = =； 故答案为：． 5、已知矩形中，，，，则矩形的面积为         ． 【答案】20 【解析】连接，相交于点M，过A作轴，过C作轴，过B作轴，交于点G，交于点F， ， ∵矩形， ∴M为，的中点， 又，，， ∴， 解得， ∴，， ∴矩形的面积为． 故答案为：20． 6、如图，矩形中，点E在上，且平分，若，    (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积=． 利用矩形的性质证明 1、如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，故正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵根据条件无法推出平分， ∴推导不出， 故推导不出，故错误，符合题意． 故选：． 2、如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 【答案】C 【解析】过点C作，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故A正确； ∵， ∴的值不变，故B正确； ∵， ∴，故D正确； ∴的值不变不成立， 故选：C． 3、如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B.由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C.由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D.不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选：D． 4、如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是     ．    【答案】（答案不唯一） 【解析】可以添加条件为： 在矩形中，，， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 5、如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明∵四边形是矩形，O为对角线的中点， ∴，， ∴，． 在和中， , ∴, ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． 6、如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 矩形中的折叠问题 1、如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　) A. B. C.5 D. 【答案】A 【解析】四边形为矩形，，， ，， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 解得， ， 故选：A． 2、如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】∵折叠, ∴, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, ∵, ∴, 在中，, 即, 解得, ∴, 故选：B. 3、如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是       ． 【答案】 【解析】过点F作于G, ∵是直角梯形的折痕, ∴，． 又∵, , ∴, ∴, ，, , 在中，, , ，, , 在中，， , （负值已舍去）, 故答案为：． 4、矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为      ．    【答案】 【解析】四边形是矩形，，， ，，，， 在中，， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在中，， 故答案为：． 矩形中的动点问题 1、如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　) A.当点P与点A重合时，最小 B.当点P与点D重合时，最小 C.当最小时，A、E、C三点共线 D.当最小时， 【答案】D 【解析】如图，以为边向右作等边，连接．    是等边三角形， ，，， ， ， ，， 点在射线上运动，且，设交于点， 则， 当时，的长最小，此时，则， ，， ， ，即：点为中点， ， ， ． 综上，当点为中点时，的长最小，此时， 故选：D． 2、如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是(　　)    A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】过点M作，交延长线于G，延长线于H，    则四边形为矩形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 当点E与D重合时，， 设，则 ， 在中， ，解得， ∴， ∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长是， 故选：C． 3、如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是                ． 【答案】 【解析】四边形是长方形， ，， 将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处， ， ， ， ， 过点作交于， ， ， ， ， ，又， ， 又， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 4、如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD，∠A＝∠C＝90°， ∵BF＝DH， ∴BC﹣BF＝AD﹣DH，即CF＝AH， 又AE＝CG， ∴△HAE≌△FCG， ∴HE＝FG， 同理可证：HG＝FE， ∴四边形EFGH是平行四边形． （2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点． 理由如下： 如图，连接AC、AG、CE，设AC、EG的交点为M． ∵AE∥CG，AE＝CG， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴MA＝MC，MG＝ME， 即点M为AC的中点， 又矩形ABCD的对角线互相平分 ∴点M为矩形对角线ACBD的交点， ∴直线GE总过AC、BD的交点M． 用定义判定矩形 1、如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 【答案】B 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误； B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确； C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误； D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误． 故选：B． 2、在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形, 故选：B. 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形． 【答案】45 【解析】当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形． ∵DF∥AB，DE∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． 故答案为45． 4、如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：（1）四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． ． （2），平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 用角判定矩形 1、如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，, 则，，, 因为、、、分别是、、、的角平分线， 所以，， 所以，, 在中，， 即； 在中，， 即； 在中，， 即； 所以四边形是矩形, 故选：B. 2、下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意； D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 3、在四边形中，，则四边形是        ． 【答案】矩形 【解析】对于四边形，其内角和为， 即， 又∵， ∴． 故答案为：矩形． 4、工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 【答案】三个角是直角的四边形为矩形 【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故答案为：三个角是直角的四边形为矩形. 5、已知：如图，在中平分，过点A作，过点C作，垂足为点E，连接交于点F． 求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵平分， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 6、如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形. 【答案】证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形. 用对角线判定矩形 1、如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 2、如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 3、在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 【答案】矩 【解析】四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 4、如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 5、如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 矩形判定定理的理解 1、依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)    A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③ 【答案】C 【解析】图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意； 图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意； 根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 2、下列说法正确的是(　　) A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D.四个角都是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误； B.两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； C.两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误； D.四个角都是直角的四边形是矩形，正确， 故选：D． 3、给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是          . 【答案】（1）、（2）、（4） 【解析】（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）. 4、在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有    ．（把你认为正确说法的序号全部填上） 【答案】①② 【解析】①对角线AC、BD互相平分的四边形是平行四边形，又∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形，正确； ②∠A=90°，∠B=∠C=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，正确； ③只有对角线相等，不能判定其为平行四边形，也就不能判定四边形ABCD是矩形，所以不正确． 故应填：①②. 添一条件使四边形是矩形 1、如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 【答案】D 【解析】A.正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B.正确．，，， ， ， 平行四边形为矩形． C.正确，， ， ， 平行四边形是矩形， D.错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 2、下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，即对角线相等，    ∴平行四边形是矩形， ∴A选项符合题意； ∵，即一组邻边相等， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴B选项不符合题意； ∵，即对角线垂直 ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴C选项不符合题意； ∵，即一组边和对角线垂直， ∴平行四边形不能判定是矩形； ∴D选项不符合题意； 故选：A． 3、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 【答案】①③④ 【解析】①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 4、已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ∴. （2）解：，四边形是矩形．理由如下： ， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 平行四边形是矩形． 5、如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】解：（1）∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当时，是矩形． 连接，   ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 综合利用矩形的判定与性质进行求解 1、如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2、如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【解析】平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小． ∵，， ∴， 又∵四边形的平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故选：B． 3、如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　) A.23 B.16 C.22 D.15 【答案】B 【解析】如图，延长到点，使得，连接． ，四边形是矩形， ∴， 四边形和四边形是矩形． ∴，， ， ， ， ． 分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小， 且的值等于的值． 在中，， 四边形的周长的最小值是 ． 4、如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为       ． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴、为等边三角形， ∴，， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴， ∴四边形为矩形， 又， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：， 故答案为：. 5、如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 【答案】 【解析】由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 6、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中， OA=OC=AC，OB=OD=BD， 又∵OA=OB， ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形．   （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OD． 又∵∠AOD=60°， ∴AOD是等边三角形， ∴OD=AD=4， ∴BD=2OD=8， 在RtABD中，AB=． 综合利用矩形的判定与性质进行证明 1、已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 2、平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，但对角线不一定垂直， 故选项C不一定正确； 故选：C． 3、已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ②∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ③连接， ∵四边形是矩形， ∴过点E，． 若，则，显然与不一定相等，故③不正确； ④∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 4、如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 【答案】①②④ 【解析】平移恰好到， 四边形为平行四边形， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 平分，故正确； 平分，平分， ，， 但， ，故错误； 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，故正确． 故选①②④． 5、如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 【答案】 【解析】①，， ，， 将绕点逆时针旋转， ，，，，， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)， ∴ R t △ D E C "> ，，， 平分，故①正确； ②，， ， ， ，， ， ，故②正确； ③如图，连接， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 点是的中点，故③正确， ④，， ， ， ，故④不合题意， 故答案为：①②③． 6、如图，在四边形中，，，垂足为，． 求证：． 【答案】证明：过作于， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $