高效同步练习18.1.2 矩形的判定-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（华东师大版·新教材）

高效同步练习18. 第1课时 知识点①利用矩形的定义判定 1.（3分)如图所示，增加下列一个条件可以使平 行四边形ABCD成为矩形的是() A.∠BAD=∠BCD B.AC⊥BD C.∠BAD=90° D.AB=BC 第1题图 第2题图 2.学习情境·过程性学习(3分)如图，线段AB1 BC,以C为圆心，BA的长为半径作弧，然后再 以A为圆心，BC的长为半径作弧，两弧交于 点D,连结CD,AD,则四边形ABCD是矩形，其 依据是 知识点②矩形的判定定理1 3.生活情境·制作踏板(3分)一个木匠制作了 一块四边形的踏板.为了检验这块踏板是不 是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中 合理的是(） A.测量踏板的对角线是否互相平分 B.测量踏板的对角是否相等 C.测量踏板的三个角是否都为90° D.测量踏板的一组对边是否平行且相等 4.(6分)如图，四边形ABCD是平行四边形， BE,CE,DF,AF分别为四个角的平分线，四边 形MENF是矩形吗？为什么？ 25分钟同步练习，精炼高效抓 1.2矩形的判定 矩形的判定 知识点③矩形的判定定理2 5.(3分)已知在平行四边形ABCD中，AC,BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断 这个平行四边形为矩形的是() A.AD=BC B.AB=DC C.AC=BD D.AC⊥BD 6.（3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,OA=3cm,若要使平行四 边形ABCD为矩形，则OB的长度为( A.4cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 7.生产劳动情境·零件测量(3分)用一把刻度 尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两 组对边是否分别相等，然后测量两条对角线 是否相等，这样做的依据是 8.（7分)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,∠1=∠2.求证：口ABCD是矩形 A 0 2入 B C 章 考点ZBH八年级数学下册 47 9.学习情境·方案设计(3分)如图，平行四边形 ABCD的对角线交于点O,直线EF过点O,分 别交AD,BC于点E,F.要在BD上找点G,H, 使四边形EGFH是矩形.下面给出了两种方 案.关于这两种方案，下面说法正确的 是( B 方案1：以0为圆 方案2：分别过E,F 心，0E为半径作圆， 作AC的平行线，与 与BD交于G,H. BD交于H,G. A.方案1,2都正确 B.方案1正确，方案2错误 C.方案1错误，方案2正确 D.方案1,2都不正确 10.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且 BA=6,AC=8,点D是斜边BC上的一个动 点，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC 于点N,连结MN,则线段MW的最小值 为() A.5 B.3.6 C.2.4 D.4.8 B 章 第10题图 第11题图 11.(3分)如图，已知MN∥PQ,EF与MN,PQ分 别交于A,C两点，过A,C两点作两组内错角 的平分线，分别交于点B,D,则四边形ABCD 是 12.(3分)如图，在口ABCD中， 下列条件：①AC=BD;②AB =AD:③∠1=∠2：④AB⊥ BC中，能说明口ABCD是矩形的 有 （填序号) 48 25分钟同步练习，精炼高效抓 13.(7分)如图，口ABCD的对角线AC与BD相 交于点E,点G为AD的中点.连结CG,CG的 延长线交BA的延长线于点F,连结FD. (1)求证：AB=AF; (2)若AG=AB,∠BCD=120°，判断四边形 ACDF的形状，并证明你的结论， 14.[教材例题变式](8分)如图，在平行四边形 ABCD中，BM,DN分别是∠ABD和∠CDB的 平分线. (1)求证：△ABM≌△CDN; (2)当AB与BD满足什么数量关系时，四边 形BNDM是矩形？请说明理由. 考点ZBH八年级数学下册 第2课时直角三 知识点①直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 1.(3分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E 是AC的中点，若AD=6,DE=5,则CD的长等 于() A.5 B.6 C.7 D.8 2.(3分)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，∠BCD=30°，则∠B= 3.(8分)如图，D,E,F分别是△ABC各边的中 点，AH是高，如果ED=5cm.求HF的长 知识点②直角三角形的判定 4.（3分)如图，数学老师利用刻度直尺（单位： cm)测量三角形教具的尺寸，点B,C分别对应 刻度尺上的刻度2和8，点D为BC的中点，若 AD=3cm,则可以得到∠BAC=90°，所应用的 数学知识是() BD 012345678) A.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.三角形的中位线等于第三边的一半 D.一个三角形一边上的中线等于该边的一 半，那么这个三角形是一个直角三角形 15分钟同步练习，精炼高效抓 角形的性质与判定 5.（10分)小亮在学习“矩形”这一节时又掌握 了一个真命题“直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半”，他联想到以前的学习经验， 提出问题：这个定理的逆命题成立吗？首先 他猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于 这条边的一半，那么这个三角形为直角三角 形”.然后和同学一起交流讨论，通过合作探 究，他们发现这个猜想确实能用以前学习过 的知识去证明是成立的.以下是他们的证明 过程： 已知：如图1，在△ABC中，D是AB边的中点， 连结CD,且CD=2A4B求证：△4BC为直角三 角形 证明：由条件可知，AD=BD=CD,则∠A= ∠DCA,∠B=∠DCB.又，∠A+∠DCA+∠B+ ∠DCB=180°，∴.∠DCA+∠DCB=∠ACB= 90°，即△ABC为直角三角形. 小亮及其团队还发现用本学期所学知识也能 证明这个结论，并想出了图2的证明思路，请 你把证明过程补充完整： 证法：如图2，延长CD至点E,使DE=CD,连 结AE,BE 第8 图1 图2 考点ZBH八年级数学下册 49综上所述，=子或4s时，以A、M,EF为顶点的四边形是平 行四边形 11.（1)证明：.BD垂直平分AC,.AB=BC,AD=DC.在△ADB与 (AB=BC △CDB中，{AD=CD,∴.△ADB≌△CDB(SSS),.∠BCD= DB=DB ∠BAD..∠BCD=∠ADF,.∠BAD=∠ADF,.AB∥FD.. BD⊥AC,AF⊥AC,.AFBD,.四边形ABDF是平行四边形； (2)解：，四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5,.AB=BD =5.AD=6,设BE=x,则DE=5-x..BD⊥AC,∴.AB2-BE2= AD2-DE2,即52-x2=62-（5-x)2.解得x= 5,AE= AC=2AE=48 VAB-BE=24 12.解：(1)把A(4,2)代入反比例函数的表达式得2= 4,解得 8 =8,.∴反比例函数的表达式为y=二（x>0): (2)四边形ACED为平行四边形.理由如下：AC⊥y轴，BD ⊥x轴，A(4,2),∴.AC=4,OC=2..BD=20C,∴.BD=2×2=4. .点B的纵坐标为4，代入y= 8中，得4=8 ,解得x=2,.B （2,4).由题意，得C(0,2),设直线BC的表达式为y=kx+b, 则有公4，解得化2，直线BC的表达式为y=x+2令 y=0,得0=x+2,解得x=-2,.E(-2,0),DE=2-（-2)=4. AC=4,DE=4,AC∥DE,.四边形ACED为平行四边形 13.解：(1)50 （2)连结DE.由旋转，得∠DBE=60°，BD=BE,△BDE是等 边三角形，∴.BE=BD=DE=7.△ABC为等边三角形，∴.AB =BC,∠ABC=60°，∴.∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌△CBE (SAS),.CE=AD.当C,D,E三点共线时，CE有最小值，此时 CE=DE-CD=7-4=3,∴，AD的最小值为3； (3)设AC与BD交于点O,如图，以点C为旋转 中心将CA逆时针旋转60°，得到CE,连结EB D EA,则∠ACE=60°，CA=CE,:.△ACE是等边三 角形，.AC=CE=AE=300米.AC=BD,.BD B =CE..AC与BD所夹锐角为60°，∴.∠AOB= 60°，∴.∠AOB=∠ACE=60°，..BD∥EC,.四边 形BECD是平行四边形，.CD=BE,.AB+CD=AB+BE.由图 可得AB+BE≥AE,∴.AB+BE的最小值是AE的长，即当点A B、E三点共线时AB+BE的长最小.，AE=300米，∴.AB+CD 的长度的最小值是300米 高效同步练习18.1.1矩形的性质 1.2中点2.90°3.14 4.5【解析】：四边形ABCD为矩形，.AB=CD,AD∥BC,∠A= ∠D=90°，∴.∠AEB=∠EBC.∠ABC的平分线交AD于E,∴ ∠ABE=∠EBC,∴.∠AEB=∠ABE,∴.AB=AE=4,∴.CD=AB= 4..AE=4,BC=7,.AD=BC=7,.DE=3,在Rt△CDE中，CD =4,DE=3.由勾股定理得CE=5. 5.A6.7 7.解：解法一：.四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB..·AE⊥BD于 点E,BF⊥AC于点F.∴.∠AE0=∠BF0=90°..·∠AOE= ∠BOF,.△AEO≌△BFO(AAS),∴.AE=BF 解法二：：四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,∠DAB=∠ABC= 90°，2AB·AD=2AB·BC,SaMm=Sac2BD·AB= 1 AC·BF.四边形ABCD是矩形，.AC=BD,AE=BF 8.1或3 9.4cm2或12cm2【解析】如图所示，在矩形ABCD D 中BE平分∠ABC交AD于点E,.AB=CD,AD= BC,AD∥BC,∴.∠AEB=∠CBE.BE平分 ∠ABC,..∠ABE=∠CBE,.∠AEB=∠ABE,∴， AB=AE.①当AE=1cm时，AB=CD=1cm,AD=BC=4cm, S矩形8cn=1×4=4(cm2);②当AE=3cm时，AB=CD=3cm.AD= BC,4cm,S挺形cn=3×4=12(cm2).故矩形ABCD的面积为 4cm2或12cm2. 10.C11.D12.A 13.C【解析】根据折叠的性质可知∠BAC=∠EAC.·.·四边形 ABCD是矩形，.AB∥CD,.∠ACD=∠BAC,..∠EAC= 76 同步练习，精炼高效抓考》 ∠ACD,∴.A0=C0=5cm.在Rt△AD0中，D0=√JAO-DA= √52-4=3，.CD=3+5=8(cm).故选C. 14.C【解析】AB=6,BC=8,.AC=√82+6=10，.A0=D0= 5:对角线AC,BD交于点0，S0m=4AB,BC=12.:B0 LA0,EF⊥D0,.SAAOD=S△A0E+S△DoE= 2X5x80+ 2×5xE =12,E0+EF=24 故选C 15.解：.四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,OA= 2AC,OB= 2BD,0A=0B.又：LA0B=560,.∠0BA=∠0AB=62. .AE⊥BD,∴.∠EAB=90°-∠DBA=28°. 16.(1)证明：在矩形ABCD中，AD=BC,∠A=∠B=90°..E是 (AD=BC. AB的中点，∴.AE=BE.在△ADE与△BCE中」 ∠A=∠B, AE=BE, △ADE≌△BCE(SAS). （2)解：由(1)知：△ADE≌△BCE,则DE=EC.在Rt△ADE中， AD=4.AE= 2AB=3,由勾股定理知，DE=√AD2+AE=5, △CDE的周长=EC+DE+CD=2DE+AB=2×5+6=16. 高效同步练习18.1.2矩形的判定 第1课时矩形的判定 1.C2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.C 4.解：四边形MENF是矩形.理由如下：，·四边形ABCD是平行四 边形，∴.AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.，AF,BE是∠BAD, ∠ABC的平分线，∴.∠BAM+∠ABM=90°，∴.∠AMB=∠EMF= 90°，同理LF=∠E=90°，∴.四边形MENF是矩形. 5.C6.B 7.对角线相等的平行四边形是矩形 8.证明：∠1=∠2，OB=0C.:四边形ABCD为平行四边形， 0A=OC=2 AC,OB=OD=2 BD,..0A=OC=0B=OD,.AC =BD,∴.口ABCD为矩形. 9.B 10.D【解析】连结AD.∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,∴.BC= √AB+AC=10.:DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形AMDN为矩 形，∴.AD=MW,∴.当AD最小时，MN最小.当AD⊥BC时，AD 最小，此时Sa1c=2×6x8=×10xAD,AD=4.8.故选D, 11.矩形12.①④ 13.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.ABCD,AB=CD, ∴.∠FAD=∠CDA.又.G是AD的中点，.AG=DG,在△AGF I∠FAG=∠CDG 和△DGC中，XAG=DG ,.△AGF≌△DGC(ASA), (∠AGF=∠DGC AF=CD,∴.AB=AF. (2)四边形ACDF是矩形.证明：.：四边形ABCD是平行四边 形，.∠BAD=∠BCD=120°，.∠FAG=60°.由(1)得AB= AF.AB=AG=AF,△AGF是等边三角形，.AG=GF.又： 四边形ABCD是平行四边形，∴.CD∥AB,CD=AB,∴.CD∥AF, CD=AF,四边形ACDF为平行四边形，AG=DG=7AD, FG=CG=- CF,AG=DG=FG=CG,AD=CR平行四边 形ACDF是矩形. 14.（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,∠A= ∠C,AB∥CD,∴.∠ABD=∠CDB.BM,DN分别是∠ABD和 ∠CDB的平分线，∴.∠ABM= 2∠ABD,∠CDN= ∠CDB,∴. ∠ABM=∠CDN,..△ABM≌△CDW(ASA): (2)解：当AB=BD时，四边形BNDM是矩形，理由如下：由 (1)可知，△ABM≌△CDN,∴.AM=CN..AD=BC,∴.DM= BN..:DMBN,∴.四边形BNDM是平行四边形.又.AB=BD BM平分∠ABD,.BM⊥AD,.∠BMD=90°，∴.平行四边形 BNDM是矩形. 第2课时直角三角形的性质与判定 1.D2.30° ZBH八年级数学下册 3.解：D,E,F分别是BC,AB,AC的中点，∴.DE是△ABC的中 位线，DEB=2AC.:DB=5cm,AC=2DE=10cm:AH是 △ABC的高，∠AHC=90°，又F是AC的中点，HF=)AG F2×10=5(cm),即F的长为5cm 4.D 5.解：延长CD至点E,使DE=CD,连结AE,BE.D是AB的中 点，.AD=DB,四边形ACBE是平行四边形，又：CD=)AB, CD=2CE,.AB=CE,.平行四边形ACBE是矩形，LACB= 90°，∴.△ABC为直角三角形. 高效同步练习18.2.1菱形的性质 1.=2.2对角线3.B4.C 5A【解析】小：四边形ABCD是菱形，A0=2AC=3,B0= 2BD=4,AC⊥BD,在Rt△A0B中，由勾股定理，得AB=5, .菱形的周长为4×5=20.故选A. 6.D7.C 8.解：(1)，DE⊥AB于点E,且E为AB的中点，.AD=BD.四 边形ABCD是菱形，∴.AD=BA,∴.AB=AD=BD,∴.△ABD是等 边三角形，∴.∠DAB=60°； (2).:四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,..∠AOD=90°..BD =2,△ABD是等边三角形，∴.D0=1,AD=2.∴.A0= WAD2-D02=√3，.AC=2W3. 9.B 【归纳总结】(1)菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高；(2) 菱形的对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形. 10.A【解析】在菱形ABCD中，AC=12,BD=16,.B0=。BD= 8,0c= 2AC=6,ACBDBC=6=10.AELBC, S支Cm=2AC·BD=BC·AE,AB=9.6,故选A 11.D12.(-5.4) 13.60°【解析】连结AC,CE,CP.四边形ABCD是菱形，.BD 垂直平分AC,∴.AP=CP..∠BCD=120°，∴.∠ABC=60°， △ABC和△ACD都是等边三角形.又：点E为AD的中点， CE⊥AD.·PA+PE=CP+PE≥CE,.当C,P,E三，点共线时 PA+PE的值最小，等于CE的长，此时AP=DP,.∠ADP= ∠DAP=30°，∴.∠APB=60°. 14.(1)证明：连结AC.·BD,AC是菱形ABCD的对角线，.BD垂 直平分AC,∴.AE=EC; (2)解：点F是线段BC的中点.理由如下：四边形ABCD是 菱形，∴.AB=CB.又.·∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形. .'AE=EC,.∠EAC=∠ECA.,:∠EAC+∠ECA=∠CEF ∠CEF=60°，∴.∠EAC= 2∠CEF=30°.又：LBAF=∠BAC ∠EAC=30°=∠EAC,..AF是等边三角形ABC的角平分线， ∴.BF=CF,∴.点F是线段BC的中点. 15解，I深入探究】S=Swt5em=D·AB+BD CE=2BD (AE+CE)-BDAC-2 2 ×40x30=600(cm2). 两条对角线乘积的一半 【拓展提高】连结BD,过点A作AN⊥BD于点N,过点C作 CM⊥BD于点M.S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=)BD·AN+)BD ·CM=2B0·(aN+CM)=×40x30=60(cm2) 一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之 和的积的一半 高效同步练习18.2.2菱形的判定 1.B 2.四条边都相等的四边形是菱形 3证明：由题意，得AB=AE=DE=CD=BC,∠BAE=180×(5-2) 5 同步练习，精炼高效抓考》 =108°，.∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，.. ∠FAE=108°-36°=72°.∴.∠AFE=180°-72°-36°=72°，∴.AE =EF,同理BC=CF,∴.EF=CF=DE=CD,∴.四边形CDEF为 菱形. 4.菱形 5.解：赞成小洁的说法，补充一个条件为OA=OC,证明如下： OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.AC⊥BD, .平行四边形ABCD是菱形.（答案不唯一） 6.C 7.C 【解后反思】本题考查作图，菱形的判定和性质等知识，解题的 关键是熟练掌握菱形的判定方法，通过作图痕迹得出信息，进而 作出判断 8.AB=BC(答案不唯一)9.45 2 cm 10.(1)证明：.·四边形ABCD是矩形，∴.AO=CO,AD∥BC,. ∠OAE=∠OCF..EF⊥AC,∴.∠AOE=∠COF=90°，在△AE0 I∠OAE=∠OCF 和△CF0中，{A0=C0 ∴.△AE0≌△CFO(ASA),.: ,∠AOE=∠C0F OE=OF.AO=C0,∴.四边形AECF是平行四边形.·EF⊥ AC,.四边形AECF是菱形： （2)解：设AF=x,则BF=4-x.在Rt△ABF中，由勾股定理可 2 得：AF2=AB2+BF2,即x2=(4-x)2+32,解得x= 8菱形 AECF的周长=4× 2525 8=2 11.解：(1)12 (2)当点P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形.理由如 下：连结AP.PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE是平行四边 形.AB=AC,P为BC的中点，∴.∠PAD=∠PAE.,PE∥AB ∴.∠PAD=∠APE,∴.∠PAE=∠APE,.EA=EP,∴.四边形 ADPE是菱形： (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形 连结AP..PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE是平行四边形 :AP平分LBAC,∠BAP=∠CAP.AB∥EP, .∠BAP= ∠APE,∴.∠CAP=∠APE,∴AE=EP,.平行四边形ADPE是 菱形. 高效同步练习18.3正方形 1.B 2.D【解析】解法一：·四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC LABC=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2,即 2AB2=4,.AB2=2,即正方形ABCD的面积是2cm2.解法二：. 四边形ABCD是正方形，AC=2cm,∴.AC⊥BD,AC=BD=2cm, ,∴.S正方形ABCD= 2AC·BD=2cm2.故选D. 3.C【解析】在正方形ABCD中，AC平分∠BAD,∴.∠BAE=45°. AB=AE,.∠ABE=∠AEB=180°-45 =67.5°，∴.∠BEC= 180°-67.5°=112.5°.故选C. 4.C 5.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，.∠D=∠B=90°，AD=AB =BC=CD.又E,F分别为DC,BC的中点，∴.DE=BF.在 （AD=AB, △ADE和△ABF中 ∠D=∠B,.△ADE≌△ABF(SAS). DE=BF. (2)解：由题意，得∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4 DE=CE=BF=CF=2.∴.S△AEr=SE方形ABCD-S△ADE-S△ABr-S△Ec=4 ×4- 2*4x2 1 2 ×4×2- 22x2=6 6.D7.B 8.证明：，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴，AC⊥BD OB=OD..OE=OF=OB,∴.OE=OF=OB=0D,∴.四边形BFDE 是平行四边形，BD=EF,.平行四边形BFDE是矩形.又，BD ⊥EF,∴.四边形BFDE是正方形. 9.C【解析】.四边形ABCD为正方形，∴.AB=AD,∠BAD=90° .:△ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°，.AD =AE.,·∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°，.∴.∠ADE=∠AED= 180°-150° =15°，.∴.∠BED=60°-15°=45°.故选C. 10.C【解析】.'四边形ABCD是正方形，.∠DBC=∠BDC= 45°.：正方形ABCD的边长为6，BC+CD=12.四边形 EFCG是矩形，·.∠EFB=∠EGD=90°，∴.△BEF与△DEG是 ZBH八年级数学下册 77