精品解析：山西省部分校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，又，所以可取， 即，因此. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则确定复数，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部. 【详解】由题意，， 故复数z的虚部为 故选：B 3. 某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 4. 若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 5. 的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ） A. 84 B. —84 C. 15 D. —15 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和为64求出，在二项展开式的通项公式中求常数项. 【详解】因为二项式系数之和为， 所以，故， 所以， 令，则常数项为. 6. 曲线上的点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离， 即相应切点到直线的距离. 由，得，所以直线的斜率为. 由，得. 令，可得， 又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为. 因为点到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最短距离为. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用直角三角形边角关系及椭圆的定义列式求解. 【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 8. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. B. 若是第三象限角，则 C. 若角的终边过点，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据弧度制与角度制之间的转化分析判断；对于B：根据象限角三角函数值的正负性分析判断；对于C：根据任意角三角函数值的定义运算求解；对于D：根据倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：若是第三象限角，则，故B正确； 对于选项C：若角的终边过点，则，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 10. 已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 若，则的面积为1 D. 若的面积为，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用离心率与点到直线距离公式可求出双曲线的方程，即可得A、B；结合双曲线定义与三角形面积公式计算可得C；利用面积可得，从而可得点坐标，再求出、、后即可得D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，焦点坐标为， 则由双曲线的焦点到渐近线的距离为1，可得 ， 由，则，即有， 解得，则，故双曲线的方程为； 对A：由双曲线的方程为，则渐近线方程为，故A正确； 对B：由双曲线的方程为，故，故B错误； 对C：设，，则， 由有 ， 又 ，故， 则，故C正确； 对D：由，则， 故有，解得，由对称性，不妨取， 则有 ， ， 又 ，故中最大角为， 由，故为钝角， 即为钝角三角形，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 4是的极大值点 B. 当时， C. 函数的图像是中心对称图形 D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合定义域，解可得单调性，据此可判断选项正误；对于B，通过举特例可判断选项正误；对于C，注意到 ，据此可判断选项正误；对于D，由题设可得，然后由在上单调递增，可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，定义域为：， . 因时，，则， ，从而在上单调递增， 在上单调递减.从而是的极大值点，故A正确； 对于B，因，又注意到当时，，则时，，故B错误； 对于C，注意到， ， 则图像关于中心对称，故C正确. 对于D，因，则，又，则， 从而，又由A分析可得在上单调递增， 则，从而 ,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知变量和的经验回归直线方程为，若时的观测值为，此时残差为__________（注：观测值减去预测值称为残差）． 【答案】## 【解析】 【详解】把代入中，得， 所以若时的观测值为，此时残差为. 13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 14. 已知正项数列的前项积为，且，则使得的最小正整数的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出后，利用前项积的关系可得当时，，即可消去，得到数列是常数列，即可求出，从而可表示出，借助计算即可得解. 【详解】由为正项数列，则， 当时，，则， 当时，，由，则， 故，即，则， 即，则，又， 故数列是常数列，且， 故，则， 则， 令，即， 当时，有， 当时，有， 又在上单调递增， 故使得的最小正整数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，利用已知条件建立方程组求解和； （2）将裂项为，再求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由得， 由得， 解得，. 所以. 【小问2详解】 ，则， 所以. . 16. 已知函数（），当时，有极大值4． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最小值为0，最大值为4． 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件--函数值为4，导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极大值点. （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【小问1详解】 ，， 当时，有极大值4，， ，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在取得极大值，满足题意，故． 【小问2详解】 由（1）可得，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 且，，，， 综上可知，在上的最小值为0，最大值为4． 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解； （2）（i）利用求导法来求切线方程，再通过同构可得到切点弦方程，然后即可得到定点； （ii）利用联立方程组来求弦长和距离，通过面积公式即可求得函数最小值. 【小问1详解】 已知焦点（）到直线的距离为2， 根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则， 解得，故抛物线的方程为： ； 【小问2详解】 （i）设切点，抛物线，求导得切线斜率， 切线方程为：， 同理切线方程为：，因为, 所以，， 因为都满足方程， 所以直线的方程为：， 当时，，故对任意的，直线恒过定点； （ii）将与联立，消去得：， 判别式， 则弦长， 点到直线的距离： 因此的面积： ， 由，当时，取得最小值. 故面积的最小值为. 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. 【小问2详解】 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（ ） A. B. C. D. 2 5. 的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ） A. 84 B. —84 C. 15 D. —15 6. 曲线上的点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. B. 若是第三象限角，则 C. 若角的终边过点，则 D. 10. 已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 若，则的面积为1 D. 若的面积为，则为钝角三角形 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 4是的极大值点 B. 当时， C. 函数的图像是中心对称图形 D. 当且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知变量和的经验回归直线方程为，若时的观测值为，此时残差为__________（注：观测值减去预测值称为残差）． 13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 14. 已知正项数列的前项积为，且，则使得的最小正整数的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数（），当时，有极大值4． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $