山西省晋中市榆次区第二中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二年级测试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：高一数学必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A．160 B．120 C．80 D．20 8．在等差数列中，，则的公差为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A． B．回归直线过点 C． D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数在上的值域为 11．如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（ ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从爬到，则最短距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则_____． 13．已知复数满足，则_____． 14．已知函数（且）的图象过定点，若且，，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知锐角满足． （1）求、的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 16．（15分）已知幂函数的图像过点，． （1）求的解析式； （2）记，在区间上的值域分别为集合，，若是的必要条件，求实数的取值范围． 17．（15分）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 18．（17分）已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）． 19．（17分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）讨论的单调性： （3）若有极小值，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学测试试题答案 一、单项选择题： 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．D 二、多项选择题： 9．ACD 10．AB 11．ACD 三、填空： 12． 13． 14．9 四、解答题 15．因为为锐角，所以，， 由已知条件可得，解得． 5分 （2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由（1）可知， 所以， 所以． 13分 16．（1）设，将点代入，得，解得， ． 5分 （2）由（1），，则，即， 又在上单调递减， ，即， 因为是的必要条件，所以， ，解得． 所以实数的取值范围为． 15分 17．（1）在正三棱柱中，连接与交于点，连接， 由四边形是矩形，得点是的中点，又点是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面． 7分 （2）取的中点，连接，在等边中，点为的中点，则，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 18．解（1）；（2）或． （1）由是面积为的等边三角形，结合性质，列出关于、的方程组，求出、，即可得结果；（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得，化简得．原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大．由，利用二次函数的性质可得结果． 【详解】（1）由是面积为的等边三角形，得， 所以，，从而， 所以椭圆的标准方程为． 7分 （2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意． 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得， 所以有，， 9分 则， 即，化简得． 因为，所以有且． 12分 原点到直线的距离为，的面积， 所以当最大时，的面积最大． 因为，而， 14分 所以当时，取最大值为3，面积的最大值． 把代入，得，所以有， 即直线的方程为或． 17分 19．（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【详解】（1）当时，，所以，所以切线方程为，即， 4分 （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 10分 （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $