2025-2026学年高一下学期数学期末仿真模拟试卷03（江苏专用，测试范围：苏教版必修第二册）

**基本信息** 立足高一数学核心知识，以工厂生产抽样、足球联赛调查等真实情境为载体，通过立体几何折叠、复数几何意义等问题设计，梯度覆盖基础运算与创新应用，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分层抽样（第1题）、复数虚部（第2题）、立体几何位置关系（第4题）|结合工厂生产情境，考查统计与空间观念| |多选题|3/18|概率事件关系（第10题）、立体几何动态问题（第11题）|通过不放回摸球等情境，培养推理能力| |填空题|3/15|向量线性运算（第12题）、球与圆锥体积（第14题）|以平行四边形、旋转体为载体，强化几何直观| |解答题|5/77|统计图表应用（第15题）、立体几何折叠（第19题）|结合频率分布直方图、折叠动态问题，发展数据观念与创新意识|

2025-2026学年高一数学下学期期末仿真模拟试卷03 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（ ） A. 16 B. 40 C. 80 D. 100 2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，，若，且满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 4.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 2，6 C. 4，3 D. 4，6 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 7. 在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8.已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在虚轴上.在中，复数，且，在复平面上对应的点分别为，，则的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10.一个袋子中有大小和质地相同的四个球，其中有2个红球，2个绿球，从袋中不放回地依次随机摸出2球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，“两次都摸到绿球”，“两次都摸到红球”，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 11.如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得共面 B. 存在点使得 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示） 13. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则___________． 14. 半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该容器体积的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求选取市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计； （3）根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数. 16.如图，在正方体中. （1）求证：平面； （2）若平面，求证：平面平面. 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 18.在中，角，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 19. 如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． （1）求证：平面平面； （2）若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末仿真模拟试卷03 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（ ） A. 16 B. 40 C. 80 D. 100 【答案】B 【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，列出方程，即可求解. 【详解】根据分层抽样的定义与计算方法，可得，可得. 故选：B. 2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算求出即可作答. 【详解】依题意，， 所以的虚部是1. 故选：B 3. 已知向量，，若，且满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，即可得解 【详解】根据题意向量，， 所以， 又，则， 化简得 故选：D 4.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】由线面，面面的位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 5.已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 2，6 C. 4，3 D. 4，6 【答案】A 【分析】设的平均数为，方差为，利用平均数和方差的性质得到方程，求出答案. 【详解】设的平均数为，方差为， 则数据的平均数为，方差为， 所以，，解得，. 故选：A 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【分析】将条件变形为，根据两角和差的余弦公式，结合同角三角函数的关系，即可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 则， 所以，因为， 所以. 故选：D 7. 在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析四边形特征得出旋转得到的几何体为一个圆台加上一个圆锥组成，再由体积公式计算可得结果. 【详解】过点分别作，垂足分别为，如下图所示： 在中，因为，，所以， 又在 中，，因此，所以； 易知四边形为矩形，所以 ，可得； 将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体为一个圆台和一个圆锥组成， 圆台的上、下底面半径为 ，高为，圆锥底面半径为，高为； 因此圆台体积为 ， 圆锥体积为 ， 所以所得几何体的体积为 . 故选：C 8.已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在虚轴上.在中，复数，且，在复平面上对应的点分别为，，则的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案B 【分析】先得到，再根据在复平面上对应的点在虚轴上，由求解，得到各复数在复平面上对应的点分别为，及，然后利用余弦定理及基本不等式可得，再利用三角形面积公式求解. 【详解】∵， ∴，， ∴，（不符合题意舍去）； ∴，，， ∴，， ∴. 在复平面上对应的点分别为，， ∴，， 由余弦定理可得，得 ， 因为，即，当且仅当时，此时为等边三角形，等号成立， ∴三角形面积最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】利用两角和的正弦公式判断A，利用二倍角的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断C，利用两角差的正切公式判断D即可. 【详解】对于A，由两角和的正弦公式得 ，故A正确， 对于B，由二倍角的余弦公式得，故B错误， 对于C，由题意得， 由两角和的正切公式得， 则，代入可得 ，故C正确， 对于D，由题意结合两角差的正切公式得 ，故D错误. 故选：AC 10.一个袋子中有大小和质地相同的四个球，其中有2个红球，2个绿球，从袋中不放回地依次随机摸出2球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，“两次都摸到绿球”，“两次都摸到红球”，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合互斥事件和独立事件的概率计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由“两次都摸到绿球”，“两次都摸到红球”， 事件和事件不能同时发生，所以事件和事件为互斥事件， 所以，所以B正确； 对于C中，由事件表示第一次摸到红球，第二次摸到红球， 所以，所以C正确； 对于D中，由，， 所以，所以D不正确. 故选：ABC 11.如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得共面 B. 存在点使得 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，当点为中点时，利用中位线的性质可证得，即可得四点共面；对于B，取中点，连接，利用中位线的性质可证得四边形为平行四边形，则，利用反证法假设存在点使得，结合线面垂直的判定和性质定理可证得，显然与题意矛盾；对于C，利用等体积法，结合线面平行的判定定理求得点面距为定值，由此可求得三棱锥体积为定值；对于D，根据定义作出点到距离，当点在点处时，取得距离的最大值为. 【详解】对于A，如图，当点为中点时，连接， 因为，分别为，的中点，所以 所以，，则四点共面， 又为线段上的动点，所以共面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接， 因为，分别为，的中点，所以, 且， 所以，即四边形为平行四边形，则. 若存在点使得，则， 因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 又平面平面，所以平面， 而平面，所以. 由，，平面，平面，可得平面， 又平面，故，显然与题意矛盾. 所以不存在点使得，故B错误； 对于C，设点到平面的距离为， 由B可知，，因为平面，平面，所以平面，所以为定值. 因为是定值，故C正确； 对于D，如图，取中点，连接，则，过点作于点，则， 过点作于点，连接， 因平面平面，所以平面, 又平面，，故即为点到距离. 在中，， 当点在点处时，，此时为最大值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示） 【答案】 【分析】由得到，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果. 【详解】由为线段上靠近的三等分点，则， 由题意，易得，所以，故有， 所以. 故答案为：. 13. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则___________． 【答案】 【分析】先应用正弦定理得出，应用诱导公式再结合角的范围及计算求解即可. 【详解】由及正弦定理得， 因为，所以，且， 所以，因为，所以， 所以 ，所以， 所以. 故答案为：. 14. 半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该容器体积的最小值为_____． 【答案】 【分析】作圆锥轴截面，求出圆锥的体积的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小， 作圆锥轴截面如图，为圆锥的高，为球心，为切点， 则，又， 则， 由，得， 因此该圆锥的体积 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该容器体积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求选取市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计； （3）根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数. 【答案】（1）140人 （2）岁 （3） 【分析】（1）根据频率分布直方图求出市民年龄在内的频率，进而可求出频数. （2）根据频率分布直方图求平均数. （3）根据百分位数的定义和公式进行求解计算. 【解析】（1）由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为， 由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为. 所以选取的市民年龄在内的人数为140人. （2）由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为 . 所以这200名市民的年龄的平均数为37岁. （3）由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为， 市民年龄在内的频率之和为， 所以70百分位数应在中，设为， 可得，解得. 所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5. 16.如图，在正方体中. （1）求证：平面； （2）若平面，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可； （2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理得平面，再结合面面垂直判定定理即得证． 【解析】（1）由正方体的结构特征可知， ，且，所以四边形为平行四边形， 即有，而平面，平面，故平面． （2）因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴． 因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴， 而平面，故平面． 又因为平面，所以平面平面. 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，，根据两角差的正弦公式求出，再根据平面向量的数量积的坐标表示可得结果； （2）利用平面向量共线的坐标表示可得，再根据两角差的正弦公式化简可解得结果. 【解析】（1）因为角的终边过点，所以，， 所以， 所以，， 所以. （2）因为向量，所以，即， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 18.在中，角，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 【答案】（1） （2）①；② 【分析】（1）利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角； （2）①利用三角形的面积公式，结合可得，又由余弦定理可得，于是得到的值. ②设，，利用可得，利用可得，可求出的值，进而求的面积. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 因为， 代入得. ，，. ，，. （2）①， . 因为， ， 则有，解得. 在中，由余弦定理得， 解得. . ②设，. ，. ，代入化简得①. ② 代入①得. . 19. 如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． （1）求证：平面平面； （2）若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①② 【分析】（1）先证明平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面； （2）①在平面内过点作，交于点，连接．先证明是二面角的平面角，再计算，由即得所求； ②延长至点，使，则，在平面中，过点作于，证得平面，点在四边形内，根据可求的最小值． 【解析】（1）在翻折过程中，，平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面． （2）①如图，在平面内过点作，交于点，连接． 因为点是点在平面上的射影，所以平面， 因为平面，所以， 又，，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 则翻折前、、三点共线，且， 所以，， 所以． 延长至点，使，则， 在平面中，过点作于， 由①知平面，即平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 所以（当且仅当点与点重合，且点为线段与平面交点时取“”）， 因为， 所以，所以，所以点在线段上， 所以点在四边形内， 此时 ， 综上，最小值即为，长为， 所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $