精品解析：江苏省无锡市惠山区锡山高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

江苏省锡山高级2024-2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题人：任方成 审核人：李倩倩 王洪涛 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 2. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 若，则所有的数据都为0； C. 若，则的平均数为6； D. 若，则的方差为12； 3. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 40 5. 已知球O的半径R为2，一母线长与圆锥底面直径相等的圆锥位于球内，圆锥顶点在球面上，底面与球面相接，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（ ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、、和、、、、均由个和个排列而成.记，表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题的个数为（ ） ①S可能有个不同的值；②若，则与无关；③若，则与无关；④若，则；⑤若，，则与的夹角为. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A. 若，则、互为共轭复数 B. C. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D. 若，则 10. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 的长度范围是 B. 存在点P，M，使得平面与平面平行 C. 存在点P，M，使得二面角大小为 D. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 11. 已知平面向量，满足为单位向量，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 在方向上的投影长度的范围为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程． 12. 设随机事件、相互独立，且，，则______． 13. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 14. 已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 16. 已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． （1）当时，求的值； （2）求的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 18. 如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值的取值范围． 19. 圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． （1）若与的交点为，，求的值； （2）若，求的最大值； （3）若点满足，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级2024-2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题人：任方成 审核人：李倩倩 王洪涛 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 若，则所有的数据都为0； C. 若，则的平均数为6； D. 若，则的方差为12； 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的定义及性质，平均数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 3. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解. 【详解】由图甲可知抽取的高中生人数是， 又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人． 故选：B． 5. 已知球O的半径R为2，一母线长与圆锥底面直径相等的圆锥位于球内，圆锥顶点在球面上，底面与球面相接，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，由题意知圆锥轴截面为正三角形，则圆锥的高为， 则，即，解得， 则圆锥的体积为. 故选：C． 6. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（ ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用线面垂直的性质可知③正确，利用正方体可判断④错误. 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，在直线上取点、，设点、在平面内的射影点分别为、， 则，，故，故、、、共面， 由平面几何的相关知识可知，在平面内必存在直线，使得， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可知，在平面内也存在直线与直线垂直，即③正确； 对于④，不妨取正方体为例，如下图所示： 当点在上底面上时，此时不存在经过点的平面与、都平行，④错. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、切化弦以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】由及正弦定理可得， 因为，所以，整理得， 所以， 因为，则，由题意知，，故， 因为，因此，. 故选：B. 8. 已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、、和、、、、均由个和个排列而成.记，表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题的个数为（ ） ①S可能有个不同的值；②若，则与无关；③若，则与无关；④若，则；⑤若，，则与的夹角为. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】S的取值依据所含的个数分类：，，，可判断①；当时化简后可判断②；当时，易知S的值与有关，可判断③；利用放缩可判断④；利用化简后比较大小可得最小值，然后由求解可判断⑤. 【详解】根据题意得S的取值依据所含的个数，分三类：有个、有个、有个， 记，分别得S的取值为：，， 则S至多有个不同的值，①错， 若，则，此时，，，又、为非零向量，则，与无关，②对， 若，则、、均与有关，则与一定有关，③错， 若，则 、 、， 则，④对， 若，则、、， ∵ 、 ， ∴，解得，∴，⑤错， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A. 若，则、互为共轭复数 B. C. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 10. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 的长度范围是 B. 存在点P，M，使得平面与平面平行 C. 存在点P，M，使得二面角大小为 D. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 11. 已知平面向量，满足为单位向量，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 在方向上的投影长度的范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设求出，设，，，则，进而判断选项A，设，中点为，利用数量积进行求解判断B，利用投影定义结合坐标法求解判断选项C；先由题设转化得，接着平方并令得，再利用判别式求解的范围可判断选项D. 【详解】由，为单位向量，，得， 故，则，又，故， 设，，，则， 则点在以为圆心且为半径的圆上，故，故A正确； 设，中点为， 则， 由题意可得，， 因为，故最小值为，故最小值为，故B错误； 在的投影长度为， 点在以为圆心为半径的圆上， 设，，则， 则， 故在的投影范围，故C正确； 由和得， 所以， 令，则即， 则，故， 故最大值为，故D正确． 故选:ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程． 12. 设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【详解】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 13. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 14. 已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）， （2）平均数为，第80百分位数为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； 【小问2详解】 平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 16. 已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． （1）当时，求的值； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，用、作为基底表示出，，由得到即可求出； （2）由（1）可得，换元、利用基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 18. 如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，再结合以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分别取、的中点、，连接、、，推导出二面角的平面角为，证明出平面平面，可知二面角的正弦值等于，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出的取值范围，即为所求. 【小问1详解】 在直角梯形中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在直角梯形中，，则， 因为为的中点，，故，， 所以四边形为矩形，故， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角是二面角的余角， 因此二面角的正弦值等于， 因为， 因为，故，所以， 综上所述，二面角正弦值的取值范围是. 19. 圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． （1）若与的交点为，，求的值； （2）若，求的最大值； （3）若点满足，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合可知四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接圆的直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【小问1详解】 因，则，即， 则，，则， 又，，得， 则四边形为等腰梯形，则高为， 则， 又与的交点为，，所以. 【小问2详解】 由题意可知，，得， 在中利用余弦定理可得，， 则， 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得，， 又点是外接圆上的一个动点，所以的最大值为. 【小问3详解】 设，，则， 因为，则， ， ， 在中利用正弦定理得，， 则， 则， 且（因）， 即，即， 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，所以， 代入中得， 则，又，解得， 所以，， 则四边形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $