江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末综合练习4

**基本信息** 聚焦高一数学核心知识整合，以复数、立体几何、三角函数等模块为载体，通过综合题型考查知识逻辑链与数学思维能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与向量|6题|概念辨析与运算|从复数虚部、模到向量投影，体现代数运算与几何意义的结合| |立体几何|6题|翻折、球、线面关系证明|从直观图还原到空间垂直平行判定，构建空间观念与推理意识| |三角函数与解三角形|7题|图像变换、定理应用|从函数解析式求得到三角形面积最值，贯穿数形结合与模型观念|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习4 1、 单选题 1．已知，则的虚部为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 2．已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 3.如图，轴，轴，则下面直观图所表示的平面图形是（　　） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4.已知为的内角所对的边，若，且，则外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 5．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9.设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 10．在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（    ）    A．平面 B．当时，直线与所成的角 C．当二面角为时， D．直线上的点到直线的最短距离为 3、 填空题 12．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 13.在如图所示的半圆中，为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则_____________． 14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____. 4、 解答题 15．已知复数，，. (1)当时，求和； (2)设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 16.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证: (1)DF∥平面ABC; (2)AF⊥BD． 17．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求C； (2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. 18.已知函数部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值． (3)设函数在区间上有两个不同的零点，求． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习4 解析版 5、 单选题 1．已知，则的虚部为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题意得，，故的虚部为.故选：A 2．已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以.所以. 故选：B. 3.如图，轴，轴，则下面直观图所表示的平面图形是（　　） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】因为轴，轴，所以复原原图即平面图中轴，轴， 所以三角形是直角三角形，故选：D． 4.已知为的内角所对的边，若，且，则外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为，所以，即，所以．又因为，所以，由正弦定理可得，所以．故选：A. 5．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A，由，，则或，故A错误； 对于B，由，则，使得，由，则，即，故B正确； 对于C，由题意可得与的位置关系可能为相交、平行或在面内， 当与相交时，与的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误； 对于D，当且时，，，，故D错误.故选：B. 6．在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设，则， 因为在上的投影向量为，所以，又， 所以，所以，即， 因，，，则，解得，所以. 故选：C. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以， 所以.故选：D 8.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 因此将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为，再向右平移一个单位长度，所得函数的解析式为， 由，得显然对称中心的纵坐标为，AC错误； 可得函数图象的一个对称中心为，D正确；不存在整数k使得B成立，B错误. 故选：D 6、 多选题 9.设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】ACD 【详解】由题意，，可得， 所以，所以，，三点共线， 又，所以，所以点在线段上． 又点位置不确定，所以不能说明四点共线.故选：ACD 10．在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为， 所以①②， 所以，所以A正确；对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确；对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确.故选：ABD. 11．如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（    ）    A．平面 B．当时，直线与所成的角 C．当二面角为时， D．直线上的点到直线的最短距离为 【答案】ACD 【详解】对于A，在矩形中，因为为的三等分点，故， 同理，而，故四边形为平行四边形，故， 同理. 在直角三角形中，，故， 而为锐角，故，同理，故， 故，故，同理， 故在三棱锥中，有， 而平面，故平面，故A正确； 对于B，连接，因为， 故或其补角为异面直线所成的角， 当时，，又因为， 所以平面，而平面，所以, 故直线与所成的角是，故B错误； 对于C，当二面角为时，在平面中，过作， 垂足为，连接， 由A的分析可得,，故为二面角的平面角， 故，故，故， ，其中，， 故，故，所以， 故， 因为平面，而平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 因为平面，故，故， 故，故C正确；    对于D，由A的分析可得，， 故为与的公垂线， 故直线上的点到直线的最短距离为即为，故D正确； 故选：ACD. 7、 填空题 12．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【详解】由题意可得圆锥的母线长，底面半径为， 所以圆锥的侧面积为.故答案为：. 13.在如图所示的半圆中，为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则_____________． 【答案】1 【详解】连接，由，得，又，则．故答案为：1. 14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____. 【答案】 【详解】由题意，所以， 而，解得， 由余弦定理有， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为12，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 8、 解答题 15．已知复数，，. (1)当时，求和； (2)设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 【详解】（1）当时，，， 所以，，则. （2）由已知得，， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，即. 16.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证: (1)DF∥平面ABC; (2)AF⊥BD． 【详解】（1）取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG=AE. 因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC， 所以CD∥AE，且CD=AE， 所以FG∥CD，FG=CD，是平行四边形，所以DF∥CG. 又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC. （2）在Rt△ABE中，因为AE=AB，F为BE的中点， 所以AF⊥BE.因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB， 所以DF⊥AB.因为AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC， 所以AE⊥CG，所以AE⊥DF， 且AE∩AB=A，平面，所以DF⊥平面ABE， 因为AF⊂平面ABE，所以AF⊥DF. 因为BE∩DF=F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE， 所以AF⊥平面BDE，所以AF⊥BD. 17．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求C； (2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得. 所以即，所以. 又因为，所以. （2）因为，，由余弦定理得，即，所以，， 连接，，则，设为，，设为y， 在中，由余弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 18.已知函数部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值． (3)设函数在区间上有两个不同的零点，求． (1) 解：根据函数图象可得：，，可得，∴． 又图象过点，∴，解得，． 由，∴，∴． (2) 解：的图象关于y轴对称， ∴，∴，∴ ∵， ∴时最小值为． (3) 解：因为函数在区间上有两个不同的零点， 所以在区间上有两个不同的根，即在区间上有两个不同的根 ∵，∴， ∴，即，单调递增， ，即，单调递减， 因为， 所以，当时，在区间上有两个不同的根，且 所以， 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】（1）因为底面为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）取中点E，连接，， 因为底面是边长为2的菱形，且， 所以，，. 又因为，所以， 因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以，即为直角三角形， 所以，所以， 即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上.    （3）设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角. ①若点G在上，则就是与平面所成的角. 在中，由余弦定理得， 在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号. ②若点不在上，连接，，设，，，. 因为平面，平面，所以，. 在中，由，得，， 在中，， 所以在中，， 则， 当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到. 令，，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取等号. 所以. 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $