黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高二下学期6月阶段性检测考试数学试题

哈尔滨市第六中学2024级高二下学期6月阶段检测考试 数学试题 一、单选题单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合A={x1<2*<8},B={xx+1<3},则A∩B=() A.(0,3) B.（(-4,3) C.(-4,2) D.(0,2) 2.a:x-1<1,是B:x2-x<0的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知数列{a}是等差数列，其前n项和为Sn,若a+4,=-8,且S。=-15,则Sn取得 最小值时的n等于() A.2 B.3 C.4 D.5 4.函数/)-nx+-ax>0在号3 上有且仅有一个极值点，则实数α的取值范 围是() A. c39 D.29 5.已知函数f(x)是偶函数，f(x+1)为奇函数，并且当x∈[1,2]时，f(x)=1-x-2, 则下列选项正确的是() A.f(x)在(-3，-2)上为减函数，且f(x)>0B.f(x)在（仁3，-2）上为减函数，且f(x)<0 C.f(x)在(-3，-2)上为增函数，且f(x)>0D.f()在(-3，-2)上为增函数，且f(x)<0 6已知函数f倒=x生，g)=2+a,若e1 5∈[2,3]，使得f)≥g(), 则实数a的取值范围是() A.a≤1 B.a≥1 C.a<1 D.a>1 7.若曲线C:y=x2与曲线C,y=a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为() A.(0,1) B 14 第1页共4页 8.已知函数f()-x,若关于x的方程[/0+2训+2m-10恰有3个不同的 实数解，则实数m的取值范围是() .传e 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.) 9.若a>0,b>0,a+b=4,则() A.a-4≥0 B. 1121 b a b C.√a+√b≤2W2 D.12≤a2+3b2<48 10.设函数f(x),g(x)及其导函数f"(x),g(x)的定义域均为R,已知 f(2-x)+g(x)=4,f'(x+2)+g'(x-2)=2,且g(3x)=-g(-3x),则() A.8(x)是奇函数 B.f(2)=2 C.点(-1,1)为曲线y=g'(x)的对称中心D.f'(2025)=1 11.已知数列{a}满足4=1，aH=G+a,则下列结论正确的是() A.{a}是递增数列 B.当n>2时，a>n C.4026≤2025 D. 1+1++1 4+1a+1g,+1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.函数f(x)=√-2x2+3x的单调递减区间是 3已如数f)h-2+日若a、6eR,2+b=2026, 则f(b-2027)+f(a+1)= 14.已知数列{an}的前n项和为S,a1+(-1)a4=2n+1,则S24= 第2页共4页 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步 骤.) 15.已知不等式x-3≤0的解集为A,不等式'+心-6<0的解集为B. x+1 (1)若a=1,求A∩B: (2)若对任意实数x,不等式ax2+-6<0均成立，求实数a的取值范围， 16.己知函数g(x)=e-ax2(a∈R) (1)求g(x)在x=0处的切线方程： (2)讨论g(x)在(0，+o)上的零点个数： 17.已知等差数列{a}的前n项和为S,且S=4，S4=16:数列b}满足 2"b+2m-b+-+2bn=3”-1(neN) (1)求数列{an}和bn}的通项公式： 2记c,=26,-102a-2 ,求数列{c,}的前n项和工 anau 第3页共4页 18.已知数列{0，}满足4=1a41= 1og2g,n为奇数 242,为偶数 (1)证明：求a,a3的值，并证明数列{a2m-}为等比数列： (2)设b=凸a,求数列(6)的前项和： 2 19.己知函数f(x)=2sinr-ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在0，π上的值域： (2)若对任意xE 都有f(x)≥xCOSr,求实数a的取值范围： (3)证明： ，<tan 2n+4 3+tan- 第4页共4页 数学6月月考答案 一.单选 1-8 DBCA CADC 二、多选 9.BCD 10.ACD 11.ABD 三、填空 12.（3/4,3/2)13.214.324 四、解答题 15.已知不等式3s0的解集为A,不等式+m-6<0的解集为B. x+1 (1)若a=1,求A∩B; (2)若对任意实数x,不等式2+ax-6<0均成立，求实数a的取值范围. (1)A∩B={x-1<x<2} (2)(-24,0] 【分析】(1)解不等式分别求出集合A,B,可求得A∩B={x-1<x<}: (2)对参数α的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果. 【详解】1D易知不等式0等价 (x-3)(x+1)≤0 x+1≠0 可得A={x-1<x≤3}； 当a=1时，不等式2+ax-6<0即为x2+x-6=(x+3)(x-2)<0, 可得B={x-3<x<2}: 因此可得A∩B={x-1<x<2} (2)当a=0时，不等式为-6<0恒成立； a<0 当a≠0时，由恒成立可得{ =d2+24a<0' 解得-24<a<0: 综上可得实数a的取值范围为(-24,0]. l6.已知函数g(x)=xe-ax(a∈R): (1)求g(x)在x=0处的切线方程： (2)讨论g(x)在(0，+o)上的零点个数. (1)y=x (2)当a<e时，无零点；当a=e时，一个零点；当a>e时，两个零点. 试卷第1页，共5页 【分析】(1)求出切点坐标及切线斜率后即可求解 (2)分离参数将零点问题转化为直线与曲线交点个数问题，再利用导数研究函数单调性与最值求解即 可. 【详解】(1)g(0)=0,所以g(x)在x=0处的切点坐标为(0,0)， g'(x)=(x+1)e-2ax,则g'(0)=1, 故g(x)在x=0处的切线方程为y=x. (2)讨论函数g(x)=xe-ax2的零点个数，即方程xe-2=0的解. 当0+)时，e-m=0等价于：。=a=a,令)-0， 问题转化为直线y=a与h(x)的交点个数. r)=e-,(9=0得x=1,当0<1时，N(<0,)单调递减： x2 当x>1时，h(x)>0,h(x)单调递增；x=1是极小值点，h(I)=e. x→0t时，h(x)→+o,x→+o时，h(x)→+0. 结合a的取值讨论零点个数： 当a<e时，y=a与h(x)无交点，无零点； 当a=e时，y=e与h(x)有一个交点，一个零点； 当a>e时，y=a与h(x)有两个交点，两个零点. 综上：当a<e时，无零点：当a=e时，一个零点：当a>e时，两个零点. 17.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且S=4,S4=16;数列b}满足 2”b+2-1b,+…+2b,=(n+1)2m1-2,neN. (1)求数列{a}和b}的通项公式： 2)记c,-（2西-2a-2,求数列}的前n项和： am·a+H （1)设等差数列{a}的公差为d, 由得-6年：仔}=12-l 2”b+2m-b2+…+2b=(n+1)2+1-2, 试卷第2页，共5页 当2且wN时，4令号+→-2n, 222 是2+其，则6-公1 当n=1时，么=4-1=3，满足bn=2”+1: 综上所述：b.=2”+1(n∈N). (2)6=2边-12a-2)314n-4)33 a0H(21-1)(21+1)21+121-1’ 则x号号专+品 -1: 2n+12n-12n+1 1og2a,n为奇数 18.已知数列a,}满足a=la=2,为偶数 (1)证明：求a,4的值，并证明数列{am-i}为等比数列： (2)设b=凸，凸，求数列，}的前项和： 2 (1)4=0,4=4, 证明：当n=1时，可得4=log241=log21=0, 当n=2时，可得4=2+2=22=4， 因为a2n1=2mt2=28=22a=4am1,(n21)，4=1, 所以g型=4(n≥1)， 42-1 所以数列{4-}为首项为1，公比为4的等比数列. 2五=(9 19.已知函数f(x)=2sinx-ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在[0，]上的值域： 2)若对任意x[0引，青 都有f(x)≥xcOSx,求实数a的取值范围： 1 1 1 (3)证明：2n+4 机<tam,z十tam32十ta4计+ame 18(EN). (n+1)23π 试卷第3页，共5页 (2)(-m,] (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数判断f(x)在[0，上的单调性即可求解： (2)问题转化为2sinx-xCOSx-ax≥0在 上恒成立，令h(x)=2sinx-cosx-ax,利用二阶导数求h(x) 的最小值，对=阶导数的符号进行分类讨论，分a受，1<a<受，a≤1三种情况进行讨论： 《8)利用公)的结论可待m时4草进面利用放缩可得an可片1中与口N).然后 利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令p(x)=4x-tx,0<x<元，利用导数证明当0<x<时， 4 >m,再利用放缩可得<213meN,最后利用裂项相消求和可证明不等式 的右半部分. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=2sinx-x,x∈[0，]，则f(x)=2cosx-1, 令f20,则oax分即 令fk0,则ox<分即骨x<x 所以fw在(0兮上单调递增，在行上单调递减， 又o)=0g5g=, 所以4的值战为x5引 (2)由f(x)≥rCOSt,得2sinr-XCOSx-≥0， 设()=2sin-ccrm,e0引，则40)=0， h'(x)=2cosx-cosx+xsinr-a=cosx+xsinx-a, 设g(x)=cosx+xsinx-a,则g(x)=xCOSx, 所以当e0时，g≥0，所以（国在 上单调递增， 所以1-a=oss周月子a ①当a≥罗时，()s0,h在0上单调递减，则es0,不满足题意： ②当1<a<号时，0到，使得)-0， 当0<x<时，h(x)<0,h(x)在(0，x)上单调递减，则h(x)≤h(0)=0,不满足题意： 试卷第4页，共5页 ®当a≤1时，h(x)≥0，h(d)在a,上单调递增，则（≥hO)=0,满足题意. 综上可得a≤1，即实数a的取值范围是(-o,1]. (3)由(2)得，当a=1时，任意x∈0，，2sinx-cox-x>0恒成立， 2 即tan'=,sinr>x, 21+c0s>2' 1 1 所以tan 1=1-1eN), n0n+1>之0m+1y>(n+1)(m+2)n+1n+2 1 ，1.1 1 所以ta2空+ta3+ta年++tam( (nH)2 1111,11 > ++1111 n 23'34'45 n+1n+22n+22n+4· 令p是-am0a年则pe)-4e:, 兀 COS'x COS'x 存在6e0》使得p6)-0. 则当x∈(0.)时，p>0:当x∈军)时，p(0, 于是p在(0，)上单调递增，在（上单调递减，而po)-p)0, 所以p(y>0,即当0<x<时，4x>ta. 所以m14,1<811） 'n+)元u+y元+1+3(eN), 1 1 所以an2京+tan家+tan m治号船是 1 综上所述， gm安m宁✉+ma的低 1,1 试卷第5页，共5页