天津市2025-2026学年七年级下学期数学期末综合练习试卷01

**基本信息** 天津市七年级数学期末卷全面覆盖代数、几何、统计核心知识，以"抖空竹抽象几何""取暖器销售决策"等情境设计，体现数学眼光、思维与语言的素养融合，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/36分|立方根、不等式解集、统计图选择|第8题通过散点图分析阅读与看电视时间，考查数据意识| |填空题|6题/18分|角度计算、二元一次方程组应用|第16题缆车购票问题，结合实际生活考查模型观念| |解答题|6题/46分|方程组求解、统计分析、几何证明|第23题以取暖器销售为背景，综合方程与不等式，培养应用意识；第24题平面直角坐标系探究，发展空间观念|

天津市2025-2026学年七年级数学下学期期末综合练习卷 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 8的立方根是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下面统计调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解全市初中生的每周体育锻炼时间 C. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况 3. 腊八粥是由多种食材熬制而成的，为了直观的显示腊八粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 直方图 B. 趋势图 C. 扇形图 D. 折线图 4.关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5.一组数据的最大值与最小值之差是93，若取组距为10，则分成的组数比较合适的是（ ） A. 10组 B. 9组 C. 8组 D. 7组 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7.在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第二象限，则x的取值范围是（　　） A. 3＜x＜5 B. x＞5 C. x＜3 D. ﹣3＜x＜5 8. 如图显示了名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时），下列说法中错误的是（ ） A. 只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B. 只有两个同学的阅读时间是相同的 C. 所有同学的看电视时间都是不相同的 D. 阅读时间大于看电视时间的同学较多 9. 下面图1是某同学“抖空竹”时一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10.已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 1 11. 将一副三角板按如图放置，则以下结论：①；②如果则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①② D. ③④ 故选：B． 12. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.计算：=___________． 14.把方程写成用含x的式子表示y的形式_______． 15. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则______． 16. 七年级地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有________张往返票． 票种 票价/元 往返 80 单程 45 17.如图，，与相交于点C，平分，若，则的度数为______． 18. 在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为_______． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.解下列方程（组）： （1） （2） 20. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______． 21.某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了部分学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：），将得到的数据绘制了如图所示的不完整的统计图①和图②． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查活动采取了______调查方法（请填“全面”或“抽样”），样本容量是______； （2）在扇形统计图中，m的值是______，课外阅读时间的人数所对的圆心角是______； （3）根据以上信息，补全条形统计图； （4）根据样本数据，若该校有900名学生，请估计该校学生平均每天课外阅读时间不少于的人数约为多少？ 22. 如图，点C在线段上，点F在线段上，，． （1）求证：； （2）已知于点A． ①若，求的度数； ②若，则______（用表示）． 23.冬天来临，某超市以每台80元和70元价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 （1）分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． （2）该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 24.在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． （1）判断点A在第几象限，说明理由． （2）求点B的坐标． （3）有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 天津市2025-2026学年七年级数学下学期期末综合练习卷 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 8的立方根是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握若一个数的三次方等于即，则是的立方根成为解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是8的立方根． 故选D． 2. 下面统计调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解全市初中生的每周体育锻炼时间 C. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，掌握其概念及操作注意事项是解题的关键．选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A．了解某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，故A不符合题意； B．了解全市初中生的每周体育锻炼时间适合抽样调查，故B不符合题意； C．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准适合抽样调查，故C不符合题意； D．调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况适合全面调查，故D符合题意． 故选：D． 3. 腊八粥是由多种食材熬制而成的，为了直观的显示腊八粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 直方图 B. 趋势图 C. 扇形图 D. 折线图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计图的适用场景，扇形图：适用于显示各部分占总体的百分比，能直观反映各成分的比例关系；直方图：用于展示连续数据在不同区间内的分布情况，不适用于百分比的整体构成；趋势图：通常描述数据随时间或其他连续变量的变化趋势，与静态百分比无关；折线图：与趋势图类似，强调数据变化的连续性或趋势，而非静态比例．根据数据特点选择合适的统计图即可． 【详解】解：题目要求展示腊八粥各成分的百分比，扇形图能通过扇形面积直观呈现各成分占比， 故选C． 4.关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，不等式的解集为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为，故B正确． 故选：B． 5.一组数据的最大值与最小值之差是93，若取组距为10，则分成的组数比较合适的是（ ） A. 10组 B. 9组 C. 8组 D. 7组 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查频数分布表，解题关键是理解极差、组距和组数的意义及关系． 根据极差与组距的关系计算组数，需将极差除以组距后向上取整． 【详解】解：极差为93，组距为10，则组数为 ， ∵由于分组必须覆盖所有数据，即使余数为3（不足一个组距），仍需多分一组，因此组数为向上取整得到10组， 故选：A． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解： 选项A：原式，两边同时加3，不等号方向不变，应为，故A不成立； 选项B：原式，两边乘以负数，不等号方向改变，应为，故B不成立； 选项C：当时，成立；当时，；当时，，因此C不一定成立； 选项D：原式，两边乘以负数，得；再两边加1，不等号方向不变，即，等价于，故D一定成立．   故选：D ． 7.在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第二象限，则x的取值范围是（　　） A. 3＜x＜5 B. x＞5 C. x＜3 D. ﹣3＜x＜5 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组：，再解不等式组，找出公共解集即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＞5， 故选：B． 8. 如图显示了名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时），下列说法中错误的是（ ） A. 只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B. 只有两个同学的阅读时间是相同的 C. 所有同学的看电视时间都是不相同的 D. 阅读时间大于看电视时间的同学较多 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，准确理解点的横坐标、纵坐标表示的意义是解题的关键． 根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可解答． 【详解】解：由题意得：直线上的点表示每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间相同，直线左上方的点表示每周用于阅读课外书的时间大于用于看电视的时间，直线右下方的点表示每周用于阅读课外书的时间小于用于看电视的时间． A、只有一个同学的阅读和看电视的时间相同，此说法正确，故A不符合题意； B、只有两个同学的阅读时间是相同的，此说法正确，故B不符合题意； C、所有同学的看电视时间都是不相同的，此说法错误，故C符合题意； D、阅读时间大于看电视时间的同学较多，此说法正确，故D不符合题意． 故选：C． 9. 下面图1是某同学“抖空竹”时一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．延长交于点F，直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：A． 10.已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过消元法（此处为方程相减消元 ）求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的特点，利用消元法，将两个方程相减，直接求出的值 ． 【详解】解： 用式减去式： 化简左边： 右边为 ， 故选:D. 11. 将一副三角板按如图放置，则以下结论：①；②如果则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①② D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，利用平行线的判定与性质结合三角板中的角度逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 如果，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如果，则， ， 得不到平行关系，故③错误； ， 与互余， ，故④正确 所以正确的有①②④， 故选：B． 12. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴≥， 解得：a≥-， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ∴， 解得-2≤a＜1， ∴≤a＜1， ∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.计算：=___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14.把方程写成用含x的式子表示y的形式_______． 【答案】 【解析】 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】方程， 解得． 故答案为． 15. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，根据垂直的定义求出∠AOE=90°，即可求出∠COE的度数． 【详解】∵∠AOC =180°-∠AOD =180°-130°=50°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， ∴∠COE =∠AOE- ∠AOC =90°-50°=40°． 故答案为：40°． 16. 七年级地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有________张往返票． 票种 票价/元 往返 80 单程 45 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设购买了往返票x张，单程票y张，根据总张数为20张，总费用为1180元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设购买了往返票x张，单程票y张，根据题意得： ， 解得：， ∴购买了往返票8张，单程票12张． 故答案为：8． 17.如图，，与相交于点C，平分，若，则的度数为______． 【答案】43 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系，熟记平行线的性质． 根据对顶角相等，由平分，求得的度数，由平行线的性质求得的度数求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 故答案为：43 18. 在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出第一次操作后的两边分别为和，第二次操作后的两边长分别为和，再根据和的大小分两种情况，根据剩下的纸片恰为正方形，列出方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后的两边分别为和， 第二次操作后的两边长分别为和即和， 当，即时，第三次操作后一边长为，另一条边长为即， ， ， 当，即时，第三次操作后一边长为，另一条边长为即， ， ， 则的值为或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.解下列方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 整理得 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程的解为． 20. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______． 【答案】（1） （2） （3）见解析； （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示． （1）解不等式移项即可； （2）解不等式移项合并同类项，化系数为1， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得，即 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式②，得，即 ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 21.某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了部分学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：），将得到的数据绘制了如图所示的不完整的统计图①和图②． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查活动采取了______调查方法（请填“全面”或“抽样”），样本容量是______； （2）在扇形统计图中，m的值是______，课外阅读时间的人数所对的圆心角是______； （3）根据以上信息，补全条形统计图； （4）根据样本数据，若该校有900名学生，请估计该校学生平均每天课外阅读时间不少于的人数约为多少？ 【答案】（1）抽样，50 （2）， （3）见解析 （4）540人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体．根据条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）由题意可知本次调查活动采取抽样调查的方式，用A除以A所占百分比即可求出样本容量； （2）用样本容量减其它时间人数，得出平均每天的课外阅读时间为的人数，进而求出m，用乘课外阅读时间的人数所占比例即可求出圆心角度数； （3）根据（2）中所求补全统计图即可 （4）先求出样本中平均每天的课外阅读时间不少于的人数，即可求出其所占比例，再乘该校总人数即可． 小问1详解】 解：本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是， 故答案为：抽样，50； 【小问2详解】 解：∵平均每天的课外阅读时间为的人数为（人）， ， ， ∴课外阅读时间的人数所对的圆心角是； 【小问3详解】 补全条形图如图， 【小问4详解】 解：样本中平均每天的课外阅读时间不少于的人数为（名）， （名）． 答：估计该校有540名学生平均每天的课外阅读时间不小于． 22. 如图，点C在线段上，点F在线段上，，． （1）求证：； （2）已知于点A． ①若，求的度数； ②若，则______（用表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同旁内角互补得出，再由平行线的性质结合题意可得，即可得证； （2）①由平行的性质可得，再求出，最后由平角的定义计算即可得解；②由平行的性质可得，再求出，最后由平角的定义计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23.冬天来临，某超市以每台80元和70元价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 （1）分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． （2）该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元 （2）A型号的取暖器最多能采购22台 （3）能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得 解得 答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元． 【小问2详解】 解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台． 根据题意，得， 解得． 答：A型号的取暖器最多能采购22台． 【小问3详解】 解：由（2）可得， 解得， 因为且a为整数， 所以a可取21或22， 所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标． 购进方案： 方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台． 方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台． 24.在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． （1）判断点A在第几象限，说明理由． （2）求点B的坐标． （3）有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A在第二象限，理由见解析 （2） （3），或， 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，方程组，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握解不等式和解方程组的一般方法，求出 （1）先求出不等式的解集，然后根据a为不等式的最大整数解，得出，最后进行判断即可； （2）解关于b、c的不等式组，得出b、c的值，即可得出答案； （3）根据，点， 得出轴，，根据，，列出关于k、h的方程组，然后解方程组，得出答案即可． 【小问1详解】 解：点A在第二象限，理由如下： ∵， ∴， ∵a为不等式的最大整数解， ∴， ∴点， ∴点A在第二象限； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴点； 【小问3详解】 解：∵点，点， ∴轴，， ∵，， ∴， 解得或， ∴，或，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $