精品解析：上海市同济大学附属七一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

同济大学附属七一中学高一年级数学学科 2025学年度第二学期期中考试卷 一、填空题（本大题满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分. 1. 从凌晨点到点，时针转了______弧度． 【答案】 【解析】 【详解】因为是顺时针所以是负角， 所以时针从时走到时，三小时时针转动角度为弧度. 2. ，，则__________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】因，， 则 .  3. 在中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得. 4. 扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 【答案】## 【解析】 【详解】扇形的面积为． 5. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方结合二倍角的正弦公式可得答案.， 【详解】， ，则． 所以 故答案为：． 6. 化简得___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式. 7. 已知，则x所有取值的集合为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的余弦值以及任意角的概念可得结果． 【详解】在上，由，拓展到任意角知， 取值的集合为，或． 8. 已知函数，（，，）在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由函数最值确定振幅，再根据同一周期内最值点的横坐标差求周期进而得到，最后代入最值点坐标结合的取值范围求解，即可得到函数解析式. 【详解】因为函数最大值为，最小值为，且，因此. 又因为在同一周期内最大值点与最小值点的横坐标差为半个周期，即， 解得，由周期公式，得. 此时函数表达式为. 再将，代入函数得：，化简得， 因此，解得， 结合条件，取得. 综上，该函数的解析式为. 9. 已知，，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由， 两边平方得①， 由， 两边平方得②， 由①②两式相加得， 即，. 10. 某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得，海里，，从B处观测S为北偏东， 因此. 根据三角形内角和为，则. 在中，由正弦定理可得， 将，，代入得， 解得，即此时货轮到灯塔S的距离为海里. 11. 若中，、是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理得到与的和与积，从而可以计算出的值，将所求的式子看作分母为1的式子，化简为关于的式子即可计算结果． 【详解】因为、是方程的两个根， 由韦达定理可得，； 因为中，； 故， 故； ． 12. 已知函数，若，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角余弦公式化简为辅助角形式，结合的范围求出的正、余弦值，再通过两角和的正弦公式计算. 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 因此：， 已知，代入化简后得：， 由，得，该区间内余弦值为负， 因此：， . 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分. 13. 下面四个命题中，正确的是（ ） A. 锐角一定是第一象限角 B. 小于的角一定是锐角 C. 第二象限角是钝角 D. 第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【解析】 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 14. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 15. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 【答案】D 【解析】 【详解】∵，定义域为，又， ∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 16. 已知平面直角坐标系中，角的始边与正半轴重合，终边与单位圆交于点.若角在第一象限，且.将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再利用正弦和余弦两角和公式求解即可. 【详解】因为在第一象限，且，所以，， ， . 所以点的坐标为. 故选：C 二、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 设满足，请用下列两种方法证明： （1）运用任意角的三角比定义证明； （2）运用同角三角比关系证明． 【答案】（1）设与单位圆的交点为，由题意可知：，且， 左边右边； （2）左边右边. 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 18. 已知 （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由商数关系弦化切后可求得； （2）由韦达定理可用表示出，再求出后，只要再由求得，从而可得解． 【详解】（1）∵，∴，解得； （2）由题意，∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，掌握弦切互化是解题关键． 19. 某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界与的长度都是米，，. （1）若，求的长（结果精确到米）； （2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）. 【答案】（1）米；（2）米. 【解析】 【分析】（1）连接，可知是等边三角形，可得出，求出的值，利用正弦定理可求得的长； （2）设，利用正弦定理得出，，进而可得出围成该区域所需板材的长度关于的表达式，利用正弦函数的有界性可求得结果. 【详解】（1）连接，由题意是等边三角形，所以， 又因为，所以， 在中，，得（米）； （2）设，则，， 在中，， 所以，， 所需板材的长度为. 答：当时，所需板材最长为（米）. 【点睛】方法点睛：在解决三角形中的最值问题时，常用两种思路： （1）转化为边，利用基本不等式求解； （2）转化为角，利用三角函数的有界性来求解. 20. 设常数，，． （1）求此函数值域． （2）若是奇函数，求实数的值． （3）设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由，知，再对进行检验，即可； （3）结合题意，可推出，再由余弦定理求出的值，最后根据，即可得解． 【小问1详解】 由题意知 ，其中为辅助角，， 由于，故， 即的值域为; 【小问2详解】 由题意， 检验：， 对任意都有， 是奇函数， . 【小问3详解】 由于，所以， 则，整理得， A是三角形的内角，，所以， ， 由，，结合余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，， 当时，， 则的面积为，或. 21. 已知函数， （1）写出函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式和辅助角公式化简解析式，由此求得函数的最小正周期. （2）根据（1）中所求的解析式，结合三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递减区间. （3）求得在区间上的值域，根据在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，， 所以函数最小正周期为. 【小问2详解】 由，，解得， 故函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由得，则， 所以. 由得在上恒成立， 所以，解得，即m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学附属七一中学高一年级数学学科 2025学年度第二学期期中考试卷 一、填空题（本大题满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分. 1. 从凌晨点到点，时针转了______弧度． 2. ，，则__________． 3. 在中，，，，则__________． 4. 扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 5. 已知，则_________． 6. 化简得___________． 7. 已知，则x所有取值的集合为：___________． 8. 已知函数，（，，）在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式为___________． 9. 已知，，则__________. 10. 某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里． 11. 若中，、是方程的两个根，则___________． 12. 已知函数，若，且，则___________． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分. 13. 下面四个命题中，正确的是（ ） A. 锐角一定是第一象限角 B. 小于的角一定是锐角 C. 第二象限角是钝角 D. 第一象限的角一定不是负角 14. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 16. 已知平面直角坐标系中，角的始边与正半轴重合，终边与单位圆交于点.若角在第一象限，且.将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 设满足，请用下列两种方法证明： （1）运用任意角的三角比定义证明； （2）运用同角三角比关系证明． 18. 已知 （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 19. 某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界与的长度都是米，，. （1）若，求的长（结果精确到米）； （2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）. 20. 设常数，，． （1）求此函数值域． （2）若是奇函数，求实数的值． （3）设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积． 21. 已知函数， （1）写出函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $