精品解析：上海市新中高级中学2025-2026学年高一第二学期阶段检测数学试卷

新中高级中学2025学年第二学期高一阶段检测数学试题 出卷人：谢斌 一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 复数的虚部是______． 2. 函数的最小正周期是______． 3. 已知，，则__________． 4. 若数列的前项和为，则通项公式___________ 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知 ，则_____ 6. 已知为锐角，，，则__________ 7. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量的模为______． 8. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 9. 已知，、、是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是______. 10. 已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 二、选择题（本大题共3题，每题4分，共12分） 11. 下列函数中，周期为的奇函数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（ ） A. B. C. D. 13. O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 三、解答题（本大题共5题，共48分） 14. 设，已知复数，分别求下列条件下的的值 （1）为实数 （2）为纯虚数 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 设向量，，． （1）求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值； （2）在中，若满足，且边，求周长的最大值． 17. 京都议定书正式生效后，全球“碳交易”市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与“碳交易”，到2025年年底，该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%．为了兼顾速生林木的生长与市场效益，公司计划每年年底砍伐17万立方米林木制作筷子．设以2026年作为第一年，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，并写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问最早在哪一年年底，该公司速生林木保有量增加到400万立方米以上？要求写出必要的论证过程． 18. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式和前n项和； （2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新中高级中学2025学年第二学期高一阶段检测数学试题 出卷人：谢斌 一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 复数的虚部是______． 【答案】 【解析】 【详解】复数的虚部是 2. 函数的最小正周期是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简为，利用三角函数的周期性可得答案. 【详解】函数， 所以最小正周期为. 3. 已知，，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】设，. ，，即. . 4. 若数列的前项和为，则通项公式___________ 【答案】 【解析】 【详解】当，， 当时，，符合上式， 所以 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知 ，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得. 【详解】因为，且，， 故，则由余弦定理可得， 又，故. 6. 已知为锐角，，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的余弦函数公式化简计算，即得结果． 【详解】，都是锐角，， 又，，，， 则． 故答案为：. 7. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量的模为______． 【答案】## 【解析】 【详解】已知，，其中，的夹角为， 则在上的投影为：， 在上的投影向量的模为：． 8. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】整体法求得的取值范围，根据值域可得到右侧端点的范围，解不等式即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 又函数在上的值域为，， 结合正弦曲线可知，解得. 9. 已知，、、是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则， 又， 所以，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 10. 已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项（注意验证），再写出的表达式，根据严格递增数列的定义，通过对所有恒成立，转化为关于的不等式，分别验证和的情况，取交集得到的取值范围． 【详解】当时，， 当时， ①， ②， ①②得 化简得， 因为不满足， 所以， 所以， 由数列是严格增数列，得且， 由，得，解得， 由，得，整理得， 所以对所有恒成立， 因为的最小值为， 所以，即， 综上，t的取值范围是． 二、选择题（本大题共3题，每题4分，共12分） 11. 下列函数中，周期为的奇函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数周期性及奇偶性定义，逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：由为偶函数，故为偶函数，故B错误； 对C：，由为奇函数，故为奇函数，故C正确； 对D：令，则， 又该函数定义域为，故该函数为偶函数，故D错误. 12. 已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据向量的三角形法则：. 13. O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 三、解答题（本大题共5题，共48分） 14. 设，已知复数，分别求下列条件下的的值 （1）为实数 （2）为纯虚数 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据虚部为零可求答案； （2）根据实部为零，虚部不为零可求答案. 【小问1详解】 因为为实数，所以，即. 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以，解得. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因， 由（1）已得，代入可得. 16. 设向量，，． （1）求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值； （2）在中，若满足，且边，求周长的最大值． 【答案】（1）时，；时，． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积坐标公式结合三角恒等变换求出函数解析式，最后利用正弦函数的性质求解； （2）解法一：首先利用求出的值，再利用余弦定理和基本不等式求最值；解法二：首先利用求出的值，然后利用正弦定理表示三角形的边，根据两角和的正弦公式和辅助角公式将周长变形，再由角的范围结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， ∵，∴，∴， 则当，即时，； 当时，即时，． 【小问2详解】 解法一：由得，∴， ∵，∴，∴． 由余弦定理得， ∴，即，当且仅当时，等号成立．故周长最大值为． 解法二：由仿上同法求得． 由正弦定理，，∴，． 则周长为 ∴当，即当时，周长取得最大值为． 17. 京都议定书正式生效后，全球“碳交易”市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与“碳交易”，到2025年年底，该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%．为了兼顾速生林木的生长与市场效益，公司计划每年年底砍伐17万立方米林木制作筷子．设以2026年作为第一年，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，并写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问最早在哪一年年底，该公司速生林木保有量增加到400万立方米以上？要求写出必要的论证过程． 【答案】（1）， （2），且， ∴是以138为首项，1.2为公比的等比数列． ∴，即． （3）由题意知，即． 所以， ∵， ∴n的最小值为6． 另解： 当时，， 当时，． ∵， ∴为递增数列， ∴满足的最小n是6． ∴最早2031年年底，该公司速生林木保有量增加到400万立方米以上． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得以及递推关系； （2）利用等比数列的定义证明即可； （3）利用求解即可. 【小问1详解】 ， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式和前n项和； （2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合已知条件，求得的表达式，再利用等差数列前n项和公式求. （2）将（1）中求得的代入不等式，按n为奇数、n为偶数两种情况分类讨论，分别分离参数λ，得到λ与关于n的表达式的不等关系，再分别求解对应表达式的最值，最终确定λ的取值范围. 【小问1详解】 等差数列中，，则， 故， ∵，∴，． 【小问2详解】 ∵对任意，恒成立， ∴对任意，恒成立． 当n为奇数时，，∴对正奇数n恒成立． 设． ∵对正奇数n恒成立， ∴，∴，∴； 当n为偶数时，，∴对正偶数n恒成立． 设． ∵对正偶数n恒成立， ∴，∴，∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $