精品解析：上海海事大学附属北蔡高级中学2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

2025学年第二学期海大附中高二年级期末教学质量检测（数学） （满分100分 时间90分钟） 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 设全集，集合，，则______． 2. 函数的定义域为___________． 3. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 4. 甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 5. 记等差数列的前项和为，若，，则________ 6. 已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是__________. 7. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 8. 某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是______. 9. 总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66 67 70 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 10. 设，，且，则的最小值为___________. 11. 已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 12. 设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 设，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 从实现中华民族伟大复兴中国梦的宏伟目标来看，社会主义核心价值观是文化软实力的灵魂．构建具有强大的凝聚力、感召力的核心价值观至关重要．倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24，10，12，19；11，17，9，16；18，17，17，16．则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是（ ） A. 15，16，17 B. 15.5，16.5，17 C. 16.5，17，16 D. 17，16，16 15. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）. A. B. C. D. 16. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ② C. ②④ D. ③④ 三、解答题（8分+10分+10分+12分+12分，共52分） 17. 已知全集为，集合，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 18. 如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，为AC中点． （1）求证： （2）若，求二面角的大小． 19. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 20. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期海大附中高二年级期末教学质量检测（数学） （满分100分 时间90分钟） 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 设全集，集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义与公共元素的筛选即可解答. 【详解】因为，是由4个整数构成的集合； ，则满足“大于等于2且小于3”的实数构成的集合，其中整数只有 ， 所以：. 2. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次不等式，求解即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，需使， 解得或. 故函数的定义域为. 故答案为：. 3. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】需先写出二项式展开式的通项公式，令的指数为 0 求出的值，再代入通项公式计算常数项即可. 【详解】因为二项式 的通项为 ， 又因为，，， 所以 因为常数项要求 的指数为 0，所以，解得， 所以. 4. 甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率. 【详解】3人全排列，总的基本事件数为种， 若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列， 所以甲和乙不相邻的概率为：. 5. 记等差数列的前项和为，若，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，和等差数列各项之间的关系，求出前7项和. 【详解】已知，∴， 则， 由公式得， 故答案为：14. 6. 已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是__________. 【答案】58 【解析】 【详解】根据茎叶图，将7位同学的体重从小到大排列为：， 共个数据，则索引， 根据高中百分位数的计算规则，向上取整为， 即第个数据为所求，因此这组数据的第百分位数是. 7. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 8. 某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】恰好有一人通过的概率为， 故答案为： 9. 总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66 67 70 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 【答案】20 【解析】 【分析】根据随机数表读法分别读取有效的5个数字即可得出结论. 【详解】依题意从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取， 依次读取两个数字舍去大于50的数且重复的数字只取一次，可得数字为14,05,11,09,20; 所以选出来的第5个个体的编号为20. 故答案为：20 10. 设，，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再将化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11. 已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 【答案】2026 【解析】 【详解】定义域为R的函数满足恒成立， 则有， 又恒成立，则有， 且，所以有， 函数的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点， 则有，所以. 12. 设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 设，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 14. 从实现中华民族伟大复兴中国梦的宏伟目标来看，社会主义核心价值观是文化软实力的灵魂．构建具有强大的凝聚力、感召力的核心价值观至关重要．倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24，10，12，19；11，17，9，16；18，17，17，16．则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是（ ） A. 15，16，17 B. 15.5，16.5，17 C. 16.5，17，16 D. 17，16，16 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据排列，结合平均数、中位数和众数的概念依次计算即可求解. 【详解】把这12个数按照从小到大的顺序排列为9，10，11，12，16，16，17，17，17，18，19，24， 则这组数据的平均数是， 中位数是，众数是17． 故选：B 15. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 16. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ② C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 三、解答题（8分+10分+10分+12分+12分，共52分） 17. 已知全集为，集合，集合. （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，求出集合、，再求. （2）由得到，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由， 解得，即. 由或，解得或，即或. 所以或. 【小问2详解】 由（1）得或，则. 由，可得，又， 所以，解得. 即的取值范围是. 18. 如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，为AC中点． （1）求证： （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出平面POB，再根据线面垂直的性质定理求证； （2）取边中点H，求证为二面角的平面角，在中计算即可. 【小问1详解】 因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 因为平面，所以平面POB， 因平面，所以； 【小问2详解】 取边中点H， 因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 设，则， 因，则，所以， 所以，则为二面角的平面角， 因平面，则平面， 因平面，则， 又，则，则， 所以二面角的大小为. 19. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； 【小问2详解】 图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 20. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】（1） （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1）区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由见解析； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【小问1详解】 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” 【小问2详解】 记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $