上海市杨浦高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面α和平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则下列结论一定成立的是（　　） A. 若m∥n,则α∥β B. 若m与n为异面直线，则α∥β C. 若m⊥n,则α⊥β D. 若n⊥α，则m⊥n 2.已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（　　） A. B. C. D. 3.如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点P是△ABC的中心，过点P将木块锯开，并使得截面平行于AD和BC，则下列关于截面的说法正确的个数为（　　） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面ABD的交线平行于侧面ACD. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.若5π是函数的一个周期，则正整数n所有可能取值个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.已知i为虚数单位，复数z=（m-1）+mi是纯虚数，则实数m= ______. 6.已知向量，，若∥，则实数x= ______. 7.若，则cos2α= ______. 8.已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为______． 9.已知直线l与平面α相交，则它们所成角的范围为______.（角度单位用弧度） 10.若关于x的方程x2-x+m=0的一个虚根的模为2，则实数m的值为______. 11.若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为______. 12.已知复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=2，，则|z1+z2|的值为______. 13.已知△ABC中，AB=AC=4，，点D在线段BC上，且S△ACD=2S△ABD，则的值为______. 14.在四面体ABCD中，AD=BC，E，F分别为AB，CD的中点，若异面直线AD与BC所成的角为60°，则异面直线EF与BC所成的角为______. 15.某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A、B、C、D为该正方体的顶点，BB1、CC1、DD1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面α.若平面BCD与平面α平行，且点A到α的距离为2米，则直绳索BB1的长度约为______米.（结果精确到0.01米） 16.设平面向量满足：，，，，则的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题14分) 在长方体ABCD=A1B1C1D1中，证明直线BD平行于平面AB1D1. 18.(本小题14分) 设ω＞0，函数y=f（x）的表达式为. （1）若ω=1，求f（x）的单调增区间； （2）若ω=2，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,，且c2-a2-b2=4，求△ABC的面积. 19.(本小题14分) 如图，一块正方体形木料ABCD-A1B1C1D1的上底面有一点M. （1）问：经过点M在上底面面上能否画一条直线，使得与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由. （2）若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值. 20.(本小题16分) 如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，点G在线段AB上，满足，线段CG与线段AD交于点O. （1）用和表示； （2）若，求实数t； （3）如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，μ＞0），求λμ的最大值； 21.(本小题18分) 已知集合C={z|z=a+bi（其中i是虚数单位）a,b∈R}，定义：f（z）=|a-b|，g（z）=|a|+|b|. （1）计算f（1）+g（i）的值； （2）记z0=1+i,若z1、z2∈C，且满足g（z1-z0）=g（z2-z0）=2，求g（z1-z2）的最大值； （3）若z∈C，且满足Rez=ln（4x），Imz=-sin（πx），记φ（x）=f（z），求证：当x＞0时，函数y=φ（x）必存在唯一的零点x0，且当x=x0时，|z|≤1. 1.【答案】D  2.【答案】B  3.【答案】D  4.【答案】B  5.【答案】1  6.【答案】2  7.【答案】-  8.【答案】平行或异面  9.【答案】  10.【答案】4  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】8  14.【答案】60°或30°  15.【答案】3.15  16.【答案】[1，3]  17.【答案】证明见解答．  18.【答案】；  ．  19.【答案】解：（1）连接MC1，在上底面过M与C1M垂直即可，设为MP，即MP⊥C1M， 证明如下：在正方体中，因为CC1⊥面A1B1C1D1，MP⊂A1B1C1D1， 所以CC1⊥MP，而CC1∩MC1=C1， 所以MP⊥面MCC1，而MC⊂面MCC1， 可得MP⊥MC； （2）作AE⊥A1B交于E，由正方体可知，E为A1B的中点， 因为正方体的棱长为2，所以AE=BE=A1B=•2=， 由正方体可知BC⊥面AB1，AE⊂面AB1， 所以AE⊥BC，而BC∩A1B=B，所以AE⊥面A1BC， 则EF为AF在面A1BC内的投影，即∠AFE为AF与面A1BC所成的角， 在Rt△BEF中，F为BC的中点，则EF===， 所以tan∠AFE===．  20.【答案】；  ；  ．  21.【答案】2；   4；   由条件可知z=ln（4x）-i•sin（πx）， 所以φ（x）=|ln（4x）+sin（πx）|，设h（x）=ln（4x）+sin（πx）， 当时，y=ln（4x）和y=sin（πx）是单调递增函数， 则h（x）在上单调递增， 又，， 所以h（x）在上有唯一的零点，即y=φ（x）在上有唯一的零点， 当时，y=ln（4x）是单调递增函数， 得0＜ln（4x）≤ln4，y=sin（πx）先增后减，且0≤sin（πx）≤1， 因此h（x）＞0，即y=φ（x）在上没有零点， 当x∈（1，+∞）时，y=ln（4x）是单调递增函数， 则ln（4x）＞ln4＞1，而sin（πx）∈[-1，1]， 因此h（x）＞0，即y=φ（x）在（1，+∞）上没有零点， 综上，当x＞0时，y=φ（x）必存在唯一的零点x0， 当x=x0时，z=ln（4x0）-i•sin（πx0）， 且φ（x0）=0得ln（4x0）=-sin（πx0）， 所以，其中， 此时y=sin（πx）是单调递增函数，所以， 从而， 所以当x=x0时，|z|≤1．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$