精品解析：陕西省西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三强训(七)数学试题

交大附中2025~2026学年第二学期高2026届高三强训（七） 数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是单调函数 C. 的值域 D. 4. 若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 方程表示的圆锥曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 5 7. 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径(单位：mm)，并将所得果径数据分成以下几组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得数据如频率分布直方图所示(同组数据用该组区间的中点值作代表)，则（ ） A. a的值为0.030 B. 这100个脐橙果径的平均数为75 C. 这100个脐橙果径的第60百分位数为80 D. 这100个脐橙中果径不小于 80 mm的个数为40 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 11. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知、之间的一组数据如表： 1 3 6 7 8 1 2 3 4 5 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是____________.（填或） 13. 多项式的展开式中项的系数为______． 14. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求. 16. 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 17. 已知点为抛物线的焦点，点在上，且. （1）求的方程； （2）过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 18. 图1的几何体是首次出现于埃舍尔所作的《瀑布》中，后称“埃舍尔多面体”.埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，，将极点，，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如图2，埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图3我们构造了其中两个四棱锥与. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）若将“埃舍尔多面体”补全：求： ①该几何体的表面积； ②该几何体的体积. 19. 已知函数（，且）. （1）当时 （i）证明：曲线是中心对称曲线，并指出对称中心坐标. （ii）设函数，求证：. （2）当时，记；，设，是否存在正整数n对，以、、的值为边长能构成三角形，若存在求正整数n的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2025~2026学年第二学期高2026届高三强训（七） 数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 故， 又因为，故. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 3. 已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是单调函数 C. 的值域 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义、单调函数的定义、值域的定义进行判断即可. 【详解】A：当时，显然，此时恒有， 当时，显然此时是无理数，显然也是无理数，此时恒有， 所以是偶函数，因此本选项结论正确； B：因为，所以函数不是实数集上的单调函数，因此本选项结论不正确； C：由函数的解析式可知：的值域为，因此本选项结论不正确； D：，因此本选项结论不正确， 故选：A 4. 若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得该函数周期，即可得. 【详解】因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为， 所以的最小正周期，又，所以. 故选：C. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 6. 方程表示的圆锥曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，是焦点在轴上的椭圆. 故，，所以离心率为. 7. 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解. 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 在直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 8. 若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可. 【详解】由题意可知，不等式变形为. 设， 则 . 当时，即在上单调递减. 当时，即在上单调递增. 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点. 所以，即在上单调递增. 若使得对任意，恒有成立. 则需对任意，恒有成立. 即对任意，恒有成立，则在恒成立. 设则. 当时，，函数在上单调递增 当时，，函数在上单调递减 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点. 所以，即，则实数的最小值为. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径(单位：mm)，并将所得果径数据分成以下几组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得数据如频率分布直方图所示(同组数据用该组区间的中点值作代表)，则（ ） A. a的值为0.030 B. 这100个脐橙果径的平均数为75 C. 这100个脐橙果径的第60百分位数为80 D. 这100个脐橙中果径不小于 80 mm的个数为40 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据小矩形面积和为1得到关于的方程，根据频率分布直方图的性质即可求解平均数，百分位数等， 【详解】由，得，故A 正确； 由频率分布直方图知，每组的频率依次为0.10，0.15，0.35，0.30，0. 10， 故这 100个脐橙果径的平均数， 故B错误； 前三组的频率和为，因此这100个脐橙果径的第60百分位数为80，故C 正确； 果径不小于80mm的频率为， 故这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为，故 D 正确. 故选： ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量法可判断选项A，结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析可判断选项B；找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算可判断选项C；根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解可判断选项D. 【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 对于A，由，所以， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，过作垂足为点，因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又平面，故，又，， 平面，所以平面， 平面，故，， 根据二面角定义可知是二面角的平面角， 则，故B正确； 对于C，设的中点为，连接，因为都是直角三角形， 所以，即四面体外接球的球心为点， 所以，可得外接球半径为，所以体积，故C错误； 对于D，因为， ，， 所以，故， ， 因为，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 设， 得，由 得，故， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知、之间的一组数据如表： 1 3 6 7 8 1 2 3 4 5 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是____________.（填或） 【答案】 【解析】 【分析】求出用作为拟合直线时所得的实际值与的估计值的差的平方和，用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和，比较得到结果． 【详解】用作为拟合直线时， 当时，对应的， 所得的实际值与的估计值的差的平方和为： ； 用作为拟合直线时， 当时，对应的， 所得的实际值与的估计值的差的平方和为： ， ∵，故用直线，拟合程度更好. 13. 多项式的展开式中项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，分两步展开研究即可. 【详解】根据二项式定理可得： ， 由上可得含只能是这一项展开得到， 所以含项的系数为：， 即展开式中项的系数为. 故答案为： 14. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形证明四边形是平行四边形，推出，根据已知条件，结合相似比求出离心率． 【详解】已知，则，故点在上，， ； M是直线与的交点，且M在双曲线上，故M、Q是直线与双曲线的两个交点， 故M与Q关于原点对称，原点O是线段的中点； 设双曲线的左焦点为，连接，由双曲线的对称性， 是中点，故四边形是平行四边形， 则，且， 由可得，内错角相等则， 又， 故，故， ，故， 解得，故． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【小问1详解】 因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以 ． 16. 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，求出，进而利用条件概率公式计算求解； （2）分析的所有可能取值，求出相应概率，进而求出分布列和期望． 【小问1详解】 记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以． 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为，，，，则 ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 期望为：． 17. 已知点为抛物线的焦点，点在上，且. （1）求的方程； （2）过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； 【小问1详解】 因为点在上，且，由抛物线定义可得， 解得，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 由抛物线，可得，设点，可得， 所以切线方程为，整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 由可得，所以的方程为， 由可得，所以的方程为． 联立和的方程有，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，得，， 所以点或． 18. 图1的几何体是首次出现于埃舍尔所作的《瀑布》中，后称“埃舍尔多面体”.埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，，将极点，，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如图2，埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图3我们构造了其中两个四棱锥与. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）若将“埃舍尔多面体”补全：求： ①该几何体的表面积； ②该几何体的体积. 【答案】（1） （2）①；②4 【解析】 【小问1详解】 以为原点，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，． 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，设与平面所成角为，， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，，，， ，，所以， 所以四边形为平行四边形，又，所以， 所以四边形为菱形，又，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，又， 所以点到平面的距离， 所以四棱锥的体积， 四棱锥的体积， 所以该几何体的体积为； 因为，，， 所以到的距离为， 同理可得，到直线的距离， 所以四棱锥的侧面积， 所以该几何体的表面积为 综上，该几何体的表面积为，体积为4． 19. 已知函数（，且）. （1）当时 （i）证明：曲线是中心对称曲线，并指出对称中心坐标. （ii）设函数，求证：. （2）当时，记；，设，是否存在正整数n对，以、、的值为边长能构成三角形，若存在求正整数n的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（i）证明见详解；对称中心坐标为；（ii）证明见详解 （2）存在，正整数的值为4，5，6 【解析】 【分析】（1）（i）假设关于点对称，根据对称中心的定义分析求解即可，（ii）求导，利用导数分析的单调性和最值，结合零点代换分析证明； （2）设，由题意可得，构造函数，求导得其单调性，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 若，则， （i）因为的定义域为， 若关于点对称，则， 即， 整理可得， 则，解得， 即恒成立，所以曲线是中心对称曲线，对称中心坐标为； （ⅱ）因为，则， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 当趋近于0时，趋近于；且； 可知在内有且仅有1个零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 又因为，可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，但这是不成立的， 所以. 【小问2详解】 当时，则，， 存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形 由题意得： 不妨设，故三点均在第一象限内， 由可知，,故点恒在线段上， 则由， 即对任意的，恒成立 令，构造函数 则，由单调递增，又 存在使得 即当时，，故函数在区间上单调递减， 当时，，故函数在区间上单调递增； 故至多2个零点，又由，可知存在2个零点， 不妨设，且，. ①若，，此时或，则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，时，此时，则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得或5； 综上可知，正整数为4，5，6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $