陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三强训（三）数学试题

**基本信息** 交大附中高三强训数学试题，通过复数、数列、概率（机器人游戏情境）、圆锥曲线等知识，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，体现数学眼光观察现实世界、思维分析问题、语言表达规律的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数运算、集合交集、统计四分位数、圆方程、函数切线、三角恒等变换、数列积、双曲线离心率|基础巩固，覆盖高频考点| |多项选择|3/18|概率互斥对立、正方体异面直线与轨迹、解三角形外心性质|分层考查，部分选对得分| |填空|3/15|向量夹角、排列组合值班安排、方程实根最值|情境应用，如五一值班问题| |解答题|5/77|数列证明与求和、立体几何二面角、函数单调性与恒成立、概率分布列与卡特兰数、抛物线面积与中点范围|综合创新，如机器人游戏结合卡特兰数，圆锥曲线考查逻辑推理与运算|

保密 启用前 交大附中2025~2026学年第二学期 高2026届高三强训(三)数学试题 注意:本试题共4页,四道大题。 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3.某市连续8天的AQI(空气质量指数)分别为,则这组数据的上四分位数为( ) A.32 B.33 C.48 D.49 4.已知圆经过原点和点,并且圆心在直线上,则圆的方程为( ) A. B. C. D. 5.若函数的图象与直线相切于点,则实数( ) A. B.2 C. D.3 6.已知,则( ) A. B. C. D. 7.记为数列的前项之积,已知,则( ) A. B. C. D. 8.已知是双曲线在第一象限上的一点,点与点关于原点对称,过点作,与的另外一个交点为,连接,与轴交于点,若,则的离心率为( ) A. B. C. D.3 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分) 9.粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔,老师上课时随机使用了3支,下列结论中正确的是( ) A.事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B.事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C.白色与红色粉笔都用到的概率为 D.白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 10.在棱长为2的正方体中,,,,分别是棱,,,的中点,动点在正方体表面运动,则( ) A.PN与为异面直线 B.与MN所成的角为 C.平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D.,则点轨迹长度为 11.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则下列选项正确的是( ) A. B.若是边AC的中点,则线段BD的长的最小值为 C.的最大值为 D.若点是的外心,且,,则 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知单位向量满足,则向量夹角的弦值是_. 13.在五一小长假期间,要从6人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班),不出现同一人连续值班2天,则可能的安排方法有_种. 14.关于x的方程有实根,则的最小值为_. 四、解答题(本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(13分) 已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列; (2)设为数列的前n项和,若,,求. 16.(15分)如图,在四棱锥中,,平面平面是棱的中点. (1)求证:平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17.(15分)已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若函数,且在上恒成立,求实数的取值范围. 18.(17分)元旦小长假到来,多地迎来旅游高峰期,各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客,小明去成都某熊猫基地游玩时,发现了一个趣味游戏,游戏规则为:在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人,游客可以设定机器人总共行走的步数,机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走,且每一步的距离均相等,若机器人走完这些步数后,恰好回到初始位置,则视为胜利. (1)若小明设定机器人一共行走4步,记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步,求X的分布列; (2)记 为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率,求 ,并判断当i为何值时,游戏胜利的概率最大; (3)该基地临时修改了游戏规则,要求机器人走完设定的步数后,恰好第一次回到初始位置,才视为胜利.小明发现,利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大,于是求助正在读大学的姐姐,姐姐告诉他,“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑:将n个0和n个1排成一排,若对任意的 在前k个数中,0的个数都不少于1的个数,则满足条件的排列方式共有 种,其中, 的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率,证明:对(2) 中的,有 19.(17分)在平面直角坐标系中,抛物线E的方程为,为上一点,为的焦点,过点的直线交于另一点(不与重合).的最小值为4. (1)求的标准方程; (2)过点作直线交于两点(在上方),点坐标为,延长交于点,延长交于点,连接. ( )求面积的最小值; ( )当、均不与轴垂直时,设中点为,中点为,求的取值范围.