陕西省西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三强训(七)数学试题

交大附中2025~2026学年第二学期 高2026届高三强训（七）数学试题 注意：本试题共4页，四道大题。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合A=w=g(4-x),B=0yy=闭+，则AnB=() A.[3,4) B.[2V2,4) C.[3,+∞) D.[2V2,+∞) 2.已知随机变量XN(1,o2),且P(X>2)=0.2,则P(0<X≤1)=（) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 1,x∈Q 3.已知狄利克雷函数D(x)= 则下列结论正确的是() (0,x∈CRQ A.D(x)的值域[0,1] B.D(x)是单调函数 C.D(x)是偶函数 D.D(π)>D(3.14) 4.若函数fx)=am(ortp)(o>0)图象的相邻两个对称中心的距离为行则w=() A.1 B.2 C.4 D.8 5,已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为() A.8V2n 16V2π C.16v2n D. 8V2π B. 81 81 27 27 6.方程-42+y2 =表示的圆锥曲线的离心率e=( 125-4xl 5 A.5 B.4 c 7.如图，A,B,C为山脚D,E两侧共线的三点， 在山顶P处测得A,B,C处的俯角分别为60°， 45°，30°，并测得BC=150,AD=30, EB=20,则隧道DE的长度为() EB 159 第1页，共4页。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP A.100+100V3 B.150+100v3 C.150v2+150vV6 D.100W2+100V6 8.若对任意x>0,恒有a(er+1)≥2x+为x,则实数a的最小值为() A.e2 、2 B. c.3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分》 9.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，现从某基地采摘的所有脐橙中 随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径（单位：mm),并将所得果径数据分成以 下几组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，所得数据如频率分布直 方图所示（同组数据用该组区间的中点值作代表），则( 频率组距 0.035 A.a的值为0.030 a B.这100个脐橙果径的平均数为75 50.015 0.010 C.这100个脐橙果径的第60百分位数为80 D.这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为40 5060708090100果径/mm 10.已知函数f(x)=sinr+cosx+sinx-cosx,则() A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的图象关于点（π，0）对称 C.f(x)的最小值为-2 D.f(x)=V3在[0,2π上有四个不同的实数解 11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=2V3,点E为四边形ABCD 内部（不含边界）的一个动点，平面DDE⊥平面CD1E,则下列说法正确的是() A.异面直线BD1与D所成角的余法值为 D B,当DE=1时，二面角D1~CE-D的正切值为2√3 C.四面体D1-CDE的外接球体积为16π D.若DE=DA+DC(,u∈R),则+μ的取值范围是(O, 2+1 2 第2页，共4页。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap即 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知x、y之间的一组数据如表： x 3 6 7 6 y 2 4 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为山：y= +1与2：y=2x+2, 利用 最小二乘法判断拟合程度更好的直线是 (填1或2) 13.多项式(x-22-3)5的展开式中x2y4项的系数为 14.已知双曲线E:器-芳=1a>0,b>0)的右焦点为R,右顶点为4，过点F的直线与 双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象限，直 线AP与直线OQ(0为坐标原点)的交点在双曲线E上，若PQ=-3PF,则双曲线E 的离心率为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sm,且Sn=n2. (1)求{an}的通项公式： (2)若b=a·stm受，记数列{bm}的前n项和Tm,求1226. 16.(15分)一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个 白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回， 直至3个白球全部取出 (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率： (2)记抽取3次取出白球的数量为X,求随机变量X的分布列和期望 17.(15分)已知点F为抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点，点A(t,2)(t>0)在C上， 且AF=3. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线y=-2交于点Q,过2作PF的垂线，垂足 为H.当FPFH=5时，求点P的坐标. 第3页，共4页。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 18.（17分)图1的几何体是首次出现于埃舍尔所作的《瀑布》中，后称“埃舍尔多面体”.埃 舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形 AnBnCnDn,n=1,2,3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极 点”，记为P,Q,将极点P1,Q1,分别与正方形A2B2C2D2的顶点连线，取其中点记 为Em,Fm,m=1,2,3,4,如图2，埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这 些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便 于理解，图3我们构造了其中两个四棱锥A-P1EP2E2与A2~P2E1P3F1, B 图1 图2 图3 (1)求直线E1P3与平面P1Q2F2所成角的余弦值： (2)若将“埃舍尔多面体”补全：求 ①该几何体的表面积： ②该几何体的体积， 19.(17分)已知函数g(x)=c(c>0,且c≠1). (1)当c=e时， 2 ①证明：曲线M()=g十+x是中心对称曲线，并指出对称中心坐标。 ②设函数N(x)=g2(x)-2lx,求证：N(x)>4. (2)当c=2时，记an=10n-9;bn=g（n),设cm=λan+(1-1)bm,是否存在正整数 n对VE[0,1],以am、bm、cm的值为边长能构成三角形，若存在求正整数n的值，若不 存在，请说明理由。 第4页，共4页。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP数学强训七参考答案与试题解析 1-8:DBCCBDAD 9:ACD 10:AD 11:ABD 12:/ 13:-360. 14:多 15.【解答】解：(1)因为Sn=n2,所以当n=1时，a1=S1=1: 当22时，an=Sn-Sm-1=n2-(-1)2=21-1, 又因为a1=1=2×1-1,满足上式，所以{a}的通项公式为an=2n-1: 2n-1,1=4k+1 (2)由(1)知.b,=an°sim5= 0,n=4k+2 所以bak1+b4k2+b4k3+b4=-4, 2 1-21,n=4k+3 0,1=4k 所以T2026=（b1+b2+b+b4)+(b5+b6+b+bs)+…+(b2021+b2022+b202+b2024)+b202s+b2026 =(-4)×(506)+4049=2025. 16.【解答】解：(1)记事件A=“第2次取出的小球为黑球“，事件B=“第1次取出的小球为白球”， 则45ur产合所队w梁手品 (2)由题意，X的所有可能取值为0,1.2,3.则P心K=0×× Pr0Px*+x2x+x2*别 PX-2×2x2+号*+2×2×号品PX=3x号* 所以随机变量X的分布列为 X 0 2 3 P(X=k) 安 熟 品 ò 0-0x+1x器+2x品+3×5器 200 20200 17.【解答】解：(1)由抛物线C:2=2py,可得其焦点为F0,),准线方程为=- 因为点A(1,2)在C上，且M阿=3，可得2+号=3，解得p=2,所以抛物线C的方程为2=4y, (2)由抛物线=x2,可得=x, 设点P(2,m2),可得儿xo=,所以切线方程为y~m2=m(x-2m), 整理得y=m（x-2m)+m2=xm-2, 令y=-2,代入切线方程，可得m-台即2(-子，-2)， 又由F(0,1,.可得k一岩所以PP的方程为y安x+1,则ko一云 则2H的方程为y-n+2. =x+1 联立方程组 -m+》2 解得xr品 则IF1+P1,因为FPnr=5.可得FP=5, 由抛物线的定义，可得FP=m2+1,所以m2+1=5,解得m2=4,解得m=±2， 所以点P（~4,4)或P(4,4). 18.【解答】解：(1)以O为原点，分别以OP,OP,OP为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0.1),P0.1.0),P(1.0,0),1(0,1,1),h(1,1,0).2(-1,0.0).E分.E(-分 ,n(-3分 所以EP=-克，0F=分分2P=(1,0,). 设平面P0的法向量为-m,.则5：0.即经+宁0， m1·22P1=0x1tz=0 取=(1，-2，-1).设E1P与平面PF所成角为01,6，∈(0，)， 则sin1=leos<EB,i>Fl53=学2-25 15P9V63 所以cos0,√1-in26=子 故直线EP与平面P2F所成角的余弦值为 (2)由(1)得，PP2=01,-1),E1E=-1,0,0.P1E-(分，，- a PE,-(分-京.AP-0.-l,0,所以PE=-P 所以四边形P1EPE为平行四边形，又P1PE1E=0,所以PP2⊥EE2, 所以四边形P1E1P2E2为菱形，又IPP2=V2,E,E2卢1， 所以Sn6P6 P PaE al9 设平面P1EPE2的法向量为i4=(44,z.则 PP2-0.即 y4-24=0 P1E0即6+4-0 取n4=(0,1.1)又AP1=0,-1,0), 所以点M到平面PEPE的距离H补号 所以四按维~PEPB的体积xSn6n6号×9-号 4 四棱排P,~ABCD的体积：=×S,cD,×对hD2-时×4x1=子 所以该几何体的体积为2(4+2)=4： 因为AP=0,-l,0,P1E(分-PE=(分- 所以A到PE的距离为h= 同理可得，到直线PB,的距离a号 所以四棱锥A~PBPB的侧面积S-PKnx4=×兰×4=V2, 所以该几何体的表面积为12S,=12V2, 综上，该几何体的表面积为12V2,体积为4. 19.【解答】(1)证明：若c=e,则g(x)=e, ()因为M)名+ax的定义域为R, 若M(x)关于点(xo,%)对称，则M(x)+M(2x-x)=2yo, 即，品+art名ta2020:整理可得一%-a0, 2+2a+20 则子解0？ 即M(x)+M(-x)=2恒成立，所以曲线M(x)是中心对称曲线，对称中心坐标为(0,1)： (i)证明：因为N(x)=e2-2lnx,x>0,则N2(e2-), 又因为)=2，y-在(0，+o)内单调递增，可知M(x)在(0，+o)内单调递增， 当x趋近于0时，N(x)趋近于-o:且N(5)=2(e-2)>0: 可知N(x)在(0，+o)内有且仅有1个零点x∈(0，)， 当x>时，N(x)>0:当0<x<x时，N(x)<0: 可知N(x)在(0，)上单调递减，在(x,+o)上单调递增， 则N(x)2Wx)=e21-2Ix1 又因为Nx-2(2-0,可得e2=六-=2， 则M2M1片+4之日·4=4， 当且仅当=4，即x1时，等号成立，不符合， 所以N(x)>4. (2)解：当c=2时，则an=10n-9,b。=g()=2”, 存在正整数n的值为4,5,6时，满足a,b,cn的值均能构成三角形， 由题意得：an,bu,ca>O, 不妨设A(h,an),B（m,bn),C(n,ca),均在第一象限， 由c=a+(1-)bn可知，BC=BA,λ∈[0,1]，故点C恒在线段AB上， 则由min{an,bnlscaSmax{an,bn}<atbn, 即对任意的1∈[0,1]，c<an+bn恒成立， 令10r-9=2,构造函数∫（x)=2r-10x+9,x>0. 则（x)=2m2-10,由'(x)单调递增，又（3)<0，（4)>0， 存在xo∈(3,4)使得P（xo)=0, 即当0<x<xo时，(r)<0,∫(x)在(0，xo)上单调递减， 当x>xo时，∫（x)>0,∫(x)在(xo,+o)上单调递增： 故∫(x)至多2个零点，又由f(1)>0,∫(2)<0，f(5)<0,了(6)>0， 可知∫(x)存在2个零点， 不妨设x1,x?（x1≤x3),且x1∈（1,2)，2∈(5,6). ①若an≤bn,10n-9s2,此时n=1或n26, 则an≤cn≤bn,可知bn+cn>an成立， 要使an、bn、cn的值均能构成三角形，所以an+cn>bn恒成立，故bn<2an, (10m-9s2n 所以有2<210m-9y解得n=6: ②若a≥bn,10n-922"时，北时n=2,3,4,5,则am2cn2bn,可知atcm>bn成立， 根据三角形的性质，可得b+c>an恒成立，故an<2b, 10n-922" 所以有{0m9<21,解得n=4或5： 综上可知，正整数n为4,5,6.