精品解析：江苏南通市海安市十三校联考2025-2026学年下学期初二年级数学 质量检测 试卷

初二年级数学质量检测 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题纸相应位置上） 1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 4. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（ ） A. 113 B. 112 C. 106 D. 109 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 7. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片的边，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10. 如图，正方形的边长为3，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共有6小题，第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 13. 直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为__________． 14. 如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 15. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________． 16. 如图，为正方形对称中心，连接，平分，交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接．则__________；若，则的面积为__________． 三、解答题（本大题共有9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 18. 已知一次函数的图象过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 19. 如图，在中，点在对角线上，连接，使得．求证：． 20. 学校对所有学生的项目化学习成果进行了评分（满分为100分，得分用表示）．按照得分情况分为四个等级：A．；B．；C．；D．．为了解开展成效，王老师从九年级甲、乙两班各随机选取20名学生，并对评分数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： （1）甲班20名学生的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． （2）乙班20名学生的得分在B等级中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． （3）乙班20名学生各得分等级人数扇形统计图如下： （4）甲、乙两个班级学生得分统计表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 87 91 111 乙班 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级的项目化学习成效更好？请说明理由； （3）该校九年级共有700名学生，请估计九年级学生中项目化学习等级达到A．的共有多少人？ 21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形． 在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容． 步骤一：结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形； 如图所示： （1）步骤二：结合步骤一中的示意图，请完善已知和求证； 已知：如图，四边形是平行四边形，________， 求证：________． （2）步骤三：写出证明过程． 22. 如图，在中，，，，点D为内一点，且，． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分（四边形）的面积． 23. 某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． （1）求关于的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 24. 如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为5，求点的坐标； ②连接，如图2，若，直接写出点的坐标__________． 25. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学质量检测 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题纸相应位置上） 1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 2. 将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移3个单位所得函数的解析式为，即2． 故选：B． 3. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得， 因此这个多边形是八边形． 4. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（ ） A. 113 B. 112 C. 106 D. 109 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查上四分位数的概念，是数据排序后上半部分的中位数． 首先将数据排序，找到中位数，然后取上半部分数据计算中位数即可． 【详解】∵ 数据排序后为：96, 98, 100, 102, 104, 106, 112, 113， ∴ 上半部分数据为：104, 106, 112, 113， ∴ 上四分位数为， 故上四分位数为109． 故选：D． 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 6. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． 7. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：A． 8. 如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 9. 如图，矩形纸片的边，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据折叠性质可知，用表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 10. 如图，正方形的边长为3，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点E作于点H，过点D作于点M，根据正方形的性质，得到四边形是矩形，，可求出的面积，再证明四边形是矩形，根据矩形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点H，过点D作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ． 二、填空题（本大题共有6小题，第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将点的横坐标代入已知直线解析式，求出交点的坐标，再根据两直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 14. 如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，推导出是的垂直平分线，得到，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接，如图 ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，根据垂线段最短可知当时最短，即最小，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，连接，  ，，，  ，  四边形是矩形，  ． 当时，有最小值，此时有最小值， 在中，， ∴．  ，  ． 即的最小值为． 16. 如图，为正方形对称中心，连接，平分，交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接．则__________；若，则的面积为__________． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】证明，得出，结合正方形性质和角平分线，证明是等腰三角形且，利用三线合一得出是中点，结合是中点，利用三角形中位线定理得出，由此可解；设，则，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴点G为中点， ∵点为正方形对称中心，即点为的中点， ∴为的中位线， ∴，即； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积． 三、解答题（本大题共有9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得，． 18. 已知一次函数的图象过点与． （1）求这个一次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在该函数图象上，理由如下： 将代入， 得： ， ∵， ∴点不在该函数图象上． 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解，先设出一次函数解析式，将已知两点坐标代入得到方程组，解方程组得到和的值，即可得到函数解析式； （2）将点的横坐标代入已求得的解析式，计算出对应的纵坐标，将计算结果与点的纵坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【小问1详解】 解：设这个一次函数的解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，点在对角线上，连接，使得．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 20. 学校对所有学生的项目化学习成果进行了评分（满分为100分，得分用表示）．按照得分情况分为四个等级：A．；B．；C．；D．．为了解开展成效，王老师从九年级甲、乙两班各随机选取20名学生，并对评分数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： （1）甲班20名学生的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． （2）乙班20名学生的得分在B等级中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． （3）乙班20名学生各得分等级人数扇形统计图如下： （4）甲、乙两个班级学生得分统计表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 87 91 111 乙班 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级的项目化学习成效更好？请说明理由； （3）该校九年级共有700名学生，请估计九年级学生中项目化学习等级达到A．的共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）甲班级的项目化学习成效更好，理由见解析 （3）350 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义可求，先计算出乙班得分B等级的占比，再用1减去A，B，D的比例即可求； （2）根据众数、中位数及方差判断即可； （3）利用样本估计总体数量即可． 【小问1详解】 解：甲班20名学生的得分中100出现次数最多， ； 乙班A组有(人)，组有7人， 乙班中位数落在组， 又乙班等级B的学生测评成绩为：82，83，84，85，87，88，88， 中位数； 乙班20名学生的得分在B等级的有7人，占， ， ； 【小问2详解】 解：甲班级的项目化学习成效更好. 理由：甲、乙两班学生的得分的平均数相同，从众数，中位数来看， 甲班学生的得分比乙班学生得分高， 从方差来看，甲班学生的得分比乙班学生得分更稳定， 甲班级的项目化学习成效更好； 【小问3详解】 解：(人)， 答：估计九年级学生中项目化学习等级达到()的共有350人． 21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形． 在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容． 步骤一：结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形； 如图所示： （1）步骤二：结合步骤一中的示意图，请完善已知和求证； 已知：如图，四边形是平行四边形，________， 求证：________． （2）步骤三：写出证明过程． 【答案】（1）；四边形是矩形 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质得出是解题关键． （1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”添加即可得答案； （2）根据平行四边形的性质得出，，根据得出，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得出，即可得结论． 【小问1详解】 解：已知：如图，在平行四边形中，， 求证∶四边形是矩形． 故答案为：；四边形是矩形． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 22. 如图，在中，，，，点D为内一点，且，． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分（四边形）的面积． 【答案】（1）5 （2）24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其 逆定理是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理逆定理可证为直角三角形，且，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 23. 某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． （1）求关于的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元 【解析】 【分析】（1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴． ∴综上所述，y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意可知，设利润为w元，购进乙种产品x千克，则购进甲种产品千克，乙种产品进价为 (元/千克)， ①当时， ， ②当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为 (元)， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 24. 如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为5，求点的坐标； ②连接，如图2，若，直接写出点的坐标__________． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，则，，求出，再由，求出m的值后取负值即可求M点坐标； ②由题意，且，则可得，即，再设，则，在利用勾股定理，再解方程即可． 【小问1详解】 解：对于， 由得：， ． 由得：，解得， ， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①设， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； ②点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ，解得， ． 25. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 【答案】（1）证明见解析（2）猜想；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：，，进而证得，结合旋转的性质即可证得结论；选择图2，同理可证得结论； （2）猜想，选择图1，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2，同理可证得结论； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：选择图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． 选择图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． （2）解：猜想．理由如下： 选择图1，过点作交于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 若选择图2，过点作交的延长线于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3，取的中点，连接， ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图3， ， 的周长． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $