精品解析：江苏省南通市海安市城南中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

城南实验中学2024—2025学年度第二学期学习过程调研 初二年级数学 （答题时间：120分钟 满分：150分） 命题人：朱月凤 审核人：陈爱军 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ） A ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 3，4，5 D. 6，7，8 2. 在△ABC中，三边长a,b,c满足，则互余的一对角是( ) A. ∠A与∠B B. ∠C与∠A C. ∠B与∠C D. 以上都不正确 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 4. 如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 25米 D. 30米 5. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直且相等 6. 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如图，点，，，分别为四边形四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（ ） A. 一定不是平行四边形 B. 一定是菱形 C. 可能是轴对称图形 D. 当时，它为矩形 8. 如图，的对角线与相交于点，，，，则为（ ） A B. C. 3 D. 9. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A B. C. D. 10. 矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 3.6 D. 二、填空题（本题共有8小题，11-12每小题3分，13-18每题小题4分，共30分） 11. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 12. 在中，若，则______． 13. 如图，四边形是菱形，于点，则的长为___________． 14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求_________度． 16. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为________． 17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______． 18. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则的最小值为______． 三、解答题（本题共有8小题，共90分） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，求CD的长． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． 23. 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和 24. 如图，在矩形中，对角线，交于点，过点，分别作，，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 25. 如图，在矩形中，，为边上一点，点在线段上，且满足，延长交边于点． （1）若点为的中点，线段的长为________（用含的代数式表示）； （2）连接，若，求证； （3）当，时，求的最小值． 26. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城南实验中学2024—2025学年度第二学期学习过程调研 初二年级数学 （答题时间：120分钟 满分：150分） 命题人：朱月凤 审核人：陈爱军 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 3，4，5 D. 6，7，8 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：A、，故，，不是勾股数，本选项不符合题意； B、0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，本选项不符合题意； C、，故3，4，5勾股数，本选项符合题意； D、，故6，7，8不是勾股数，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 2. 在△ABC中，三边长a,b,c满足，则互余的一对角是( ) A. ∠A与∠B B. ∠C与∠A C. ∠B与∠C D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可得出∠B=90°，再利用直角三角形两锐角互余得出∠A+∠C=90°． 【详解】解：∵△ABC的三边长满足b2-a2=c2， ∴b2=a2+c2， ∴△ABC是直角三角形且∠B=90°， ∴∠A+∠C=90°． 故选B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 4. 如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 25米 D. 30米 【答案】B 【解析】 【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°， ∴AB=2AC， 而CA=5米， ∴AB=10米， ∴AB+AC=15米． 所以这棵大树在折断前的高度为15米． 故选B． 【点睛】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题． 5. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件． 根据矩形的判定即可得到结论． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 6. 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，若a,b是直角边，c是斜边，那么a2+b2=c2，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积. 【详解】根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积. 即：SA+SB+SC+SD=SE=2+5+1+2=10 故选B 【点睛】勾股定理在面积中的运用. 7. 如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（ ） A. 一定不是平行四边形 B. 一定是菱形 C. 可能是轴对称图形 D. 当时，它为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定解答即可． 本题考查的是中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A错误； 当时， ∴四边形是菱形， ∴B，D都是错误的， 当四边形是菱形时，可以是轴对称图形， ∴C正确； 故选：C． 8. 如图，的对角线与相交于点，，，，则为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得，， 根据题意，得，得到，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，， ∴，， 根据题意，得， ∴， 根据勾股定理，得． 故选：B． 9. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得． 【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5 ∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0 ∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0， ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0， ∴b＝1，c＝2． 又∵a2＝b2+c2﹣bc， ∴a2＝1+4﹣2＝3， ∴或（舍） ∵， ∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形， ∴△ABC的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等． 10. 矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 3.6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到，设， 则，，，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故选：D． 二、填空题（本题共有8小题，11-12每小题3分，13-18每题小题4分，共30分） 11. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用以及分类讨论思想，解题的关键是分情况讨论已知的两边是直角边还是其中一边为斜边，再利用勾股定理计算第三边的长度． 分两种情况计算：当6和8为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为；当8为斜边、6为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得第三边长为． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 故第三边的长为10或． 故答案为：10或． 12. 在中，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出． 【详解】解：在中有：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键． 13. 如图，四边形是菱形，于点，则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质．根据菱形对角线互相垂直且平分可求出菱形的边长，再根据菱形面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 设和交于O， ∵四边形是菱形， ∴且， ∴， ∴由得． 故答案为：． 14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求_________度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定．根据菱形的性质求出，再根据垂直平分线的性质得出，从而证明，计算出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交对角线于点， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故答案为：． 17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______． 【答案】## 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线， ∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=， 又∵∠BAE=22.5°， ∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°， ∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE， ∴DE=AD=4， ∴BE=， ∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF=． 故答案为． 18. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，则是等边三角形，利用证明，有，则四边形是平行四边形，那么，为的中点，设的中点分别为，则，当点在上运动时，在上运动，当点与重合时，即，则三点共线，取得最小值，此时，则，可求得，即可求得和则有其最小值． 【详解】解：如图所示，延长交于点Q， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示， 设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的性质和找到最小值的位置． 三、解答题（本题共有8小题，共90分） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）为直角三角形，见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状； （2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可. 【小问1详解】 解：为直角三角形． 理由如下：由题意， ， ， ， ∴， ∴，为直角三角形． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键. 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，求CD的长． 【答案】1.4. 【解析】 【分析】设出AC、CD的长，由勾股定理列方程求出CD的长． 【详解】设CD＝x，则AD2－CD2＝AB2－BC2， 即52－x2＝82－(5＋x)2， ∴25－x2＝64－25－10x－x2， 即10x＝14， x＝1.4, ∴CD的长为1.4m. 【点睛】此题主要考查了勾股定理和二元二次方程组的解法，难度适中． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形BFDE是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF． （2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD， 在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC． ∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF． ∴四边形BFDE是平行四边形． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． 【答案】40° 【解析】 【分析】先证四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质求出∠DAB，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=,OD= 又∵OA=OD ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=40° 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定与性质，能根据矩形的性质求出∠DAB的度数是解此题的关键． 23. 证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．作于点，交延长线于，再根据四边形是平行四边形，求证，得出，，由勾股定理得， 【详解】已知：如图，在平行四边形中，，是其两条对角线， 求证：． 证明：作于点，交的延长线于， 则． 四边形是平行四边形 ，， ， ， ，． 在和中，由勾股定理，得 ， ， ． 又， 即：． ，， 【点睛】本题是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．此题主要考查学生对勾股定理，平行四边形的性质的理解和掌握，灵活运用勾股定理表示线段之间的平方关系并进行代换变形是解题的关键． 24. 如图，在矩形中，对角线，交于点，过点，分别作，，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由菱形的性质和矩形的性质求出的长，证明是等边三角形，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形． 小问2详解】 解：∵且四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 25. 如图，在矩形中，，为边上一点，点在线段上，且满足，延长交边于点． （1）若点为的中点，线段的长为________（用含的代数式表示）； （2）连接，若，求证； （3）当，时，求的最小值． 【答案】（1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、矩形的性质、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求解即可； （2）延长、交于点F，根据等腰三角形的性质可得，利用等量代换可得，由等腰三角形的判定可得，再根据矩形的性质和平行线的性质可得，，由对顶角相等得，从而证得，即可得证； （3）取的中点H，连接、，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再根据三角形三边关系可得，从而可得当B、P、H三点共线时，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点E为的中点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，延长、交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点H，连接、， ∵， ∴， 在中，， 又∵，当B、P、H三点共线时，的值最小， ∴． 26. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 【答案】（1）答案见详解； （2）答案见详解． 【解析】 【分析】（1）由得AM=EM，，由已知得EM=MN，得，进一步得，又，得，从而得证； （2）首先推出是等腰直角三角形，得，证，得三点共线，证，得, ，得，又，证，得，从而得证． 【小问1详解】 证明：如图②，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图③，延长到点E，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，作适当的辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $