精品解析：内蒙古自治区 锡林郭勒盟三县多校 2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 八年级数学第三次月考 考试范围：第十九--二十三章第一节；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t，的面积为S（当点P与点A或B重合时，记），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（ ）（n为正整数）． A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 5 5. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 17 C. 13 D. 10 6. 甲车和乙车分别从A，B两站同时出发，相向而行．甲车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，乙车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图像．结合图像信息，下列说法： ①乙车的速度为80千米/小时； ②甲车的速度为120千米/小时； ③A，B两地相距1200千米； ④出发5小时，两车相距200千米； 其中一定正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接CG，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 8. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 若，则的值为__________． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为________． 11. 如图，在矩形中，，，，分别是和上的任意一点，且，线段交于点，交于点，且是线段的垂直平分线．设，，则关于的函数解析式为___________________． 12. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是________． 三、解答题（共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和线段，点、、、的都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为． （2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为． （3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 15. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：）与充电时间t（单位：）之间的关系如表格所示． 充电时间t（单位：） 0 10 20 30 40 50 … 手机电量E（单位：） 20 28 36 44 52 60 … （1）请求出E与t之间的关系式； （2）若电量充到，请求出充电时间； （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时，其“充电耗电充电”的时间恰好是5小时，求t的值． 16. 北起昆明、终抵老挝万象的中老铁路是中老共建“一带一路”标杆项目，这条“钢铁丝路”让两国“双向奔赴”．一趟跨境列车匀速通过该铁路的某段隧道，过程中，列车在隧道内的长度y（米）与行驶时间x（秒）之间的关系如图所示． （1）该跨境列车的长度为________米，t的值为________； （2）求该跨境列车的速度与隧道的长度． 17. 在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”． （1）如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）； （2）在等腰中，， ①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________； （3）如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”． 18. 解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． （1）如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； （2）如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 八年级数学第三次月考 考试范围：第十九--二十三章第一节；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质解答即可． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形、四边形均为平行四边形， 由条件可知， 又∵，， ∴，， ∴． 2. 已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t，的面积为S（当点P与点A或B重合时，记），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：题干中函数特点：的面积随时间的变化分为三个阶段：S逐渐增大，S保持不变，S逐渐减小到0： 对于选项A：A、B是底边端点，动点P从A顺时针运动到B仅经过2条边，面积变化只有增大和减小两个阶段，没有面积不变的阶段，故该选项不符合； 选项B：A、B是下底两个相邻端点，P从A顺时针运动到B经过3条边，变化如下： 第一阶段：P从A到左上顶点，P到的距离逐渐增大，故面积逐渐增大，对应函数上升段； 第二阶段：P从左上到右上顶点，顶边平行于，P到的距离不变，因此面积不变，对应函数水平段； 第三阶段：P从右上顶点到B，P到的距离逐渐减小到0，所以面积逐渐减小到0，对应函数下降段，故该选项符合； 选项C：P从A顺时针到B会经过4条边，P到的距离不会出现一段保持不变的过程，故该选项不符合； 选项D：A、B是相邻顶点，P从A顺时针到B的过程中，P到的距离不会出现一段保持不变的过程，故该选项不符合； 故选：B． 3. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（ ）（n为正整数）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 5. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 17 C. 13 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， 四边形为平行四边形， ，， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， 四边形为平行四边形， ， 阴影部分的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 6. 甲车和乙车分别从A，B两站同时出发，相向而行．甲车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，乙车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图像．结合图像信息，下列说法： ①乙车的速度为80千米/小时； ②甲车的速度为120千米/小时； ③A，B两地相距1200千米； ④出发5小时，两车相距200千米； 其中一定正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查从函数图像获取信息. 通过图象信息可以得出6小时时两车相遇，10小时甲车到达B站，可以得出乙车速度即可判断①；而乙车6小时走的路甲车4小时就走完，可以求出甲车的速度即可判断②；从而可以求出两地之间的距离即可判断③；从两车在相遇之前相距200千米时求出其解即可判断④. 【详解】解：从图上可以看出来10小时时，甲车到达B地，随后的1个小时，甲车在休息，只有乙车在走，它1小时走的路程是， 乙车的速度是：小时，故①正确； 甲车的速度是：小时，故②正确； 两地之间的距离是：，故③正确； 在相遇前两车相距200km的时间是：小时，故④正确； ∴其中一定正确的个数是4个. 故选：D. 7. 如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接CG，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，再由角平分线的定义得到，由正方形的性质可得，，则可导角证明，据此可判断①；过点B作于P，可证明，得到，，则可证明，则，据此可判断②；过点B作交于T，则，可证明是等腰直角三角形，，则，再证明，得到，则，据此可判断③；连接，由勾股定理得，利用等面积法得到，则，可得；由勾股定理得，由勾股定理得，据此可判断④． 【详解】解：根据翻折可知，点A和点F关于对称， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点B作于P， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点B作交于T，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接， ∵正方形的边长为2，E为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴点C到直线的距离为，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 若，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，先推导出，，结合可知，，继而求出x和y的值，根据配方法和绝对值的意义推导，是解题的关键． 【详解】解：， 又∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为12， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，，，，分别是和上的任意一点，且，线段交于点，交于点，且是线段的垂直平分线．设，，则关于的函数解析式为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握求函数解析式的方法是解题的关键； 首先作辅助线连接PF、QF，根据垂直平分线的性质、矩形的性质可得到线段相等，根据边与边的数量关系即可得到y关于x的函数解析式． 【详解】解：如图，连接，． 是线段的垂直平分线， ， ． 在矩形中，，， ． ，，， ，，． 在中，． 在中，． ， ， 整理，得； 故答案为：． 12. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，连接交于点，证明四边形是平行四边形，得到，由正方形的性质得到，得到，即与重合时，的值最小，最小值为的长，求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形，正方形的边长为， ，， ， ，， ， 如图，取的中点，连接，连接交于点， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 垂直平分， ， ，即与重合时，的值最小，最小值为的长， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三、解答题（共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先算除法再算减法； （2）先利用平方差公式及完全平方公式将原式展开，然后去括号再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，考查了二次根式的除法法则，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式．正确化简二次根式是解题的关键． 14. 如图，每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和线段，点、、、的都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为． （2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为． （3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求； （2） 如图，等腰三角形即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确应用菱形的性质． （1）直角利用菱形的性质结合勾股定理即可得出符合题意的图形； （2）结合等腰三角形的性质以及三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理即可的出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 如图，． 15. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：）与充电时间t（单位：）之间的关系如表格所示． 充电时间t（单位：） 0 10 20 30 40 50 … 手机电量E（单位：） 20 28 36 44 52 60 … （1）请求出E与t之间的关系式； （2）若电量充到，请求出充电时间； （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时，其“充电耗电充电”的时间恰好是5小时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查用表格表示两个变量之间的关系、用关系式法表示两个变量之间的关系，理解题意，从表格数据中找到因变量与自变量的关系是解答的关键． （1）从表格数据可得到：用快速充电器给该手机充电，每充电，其电量E增加，进而可列出关系式； （2）求出当时的t值即可； （3）根据题意，先求得用快速充电器将其充满电的时间，再由“充电耗电充电”的时间恰好是5小时求得普通充电器将其充满电的时间，然后根据“普通充电器充电量等于正常使用的耗电量”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由表格数据知，用快速充电器给该手机充电，每充电，其电量E增加，即每充电，其电量E增加， ∴E与t之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，由得， 答：充电时间为； 【小问3详解】 解：当时，由得， ∴用快速充电器将其充满电所需时间为， 根据题意，得， 解得． 答：t的值为2． 16. 北起昆明、终抵老挝万象的中老铁路是中老共建“一带一路”标杆项目，这条“钢铁丝路”让两国“双向奔赴”．一趟跨境列车匀速通过该铁路的某段隧道，过程中，列车在隧道内的长度y（米）与行驶时间x（秒）之间的关系如图所示． （1）该跨境列车的长度为________米，t的值为________； （2）求该跨境列车的速度与隧道的长度． 【答案】（1）240；8 （2）列车的速度为30米/秒，隧道的长度为1020米 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，有理数混合运算的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键． （1）由图像可知，列车的长度为240米，； （2）在段，所用的时间是8秒，路程是米，即可求出速度，用列车总过得路程减去列车长度即可得出隧道长． 【小问1详解】 解：由图像可知，列车的长度为240米， 列车匀速通过， ， 故答案为：240；8； 【小问2详解】 解：在段，所用的时间是8秒，路程是米， 则速度是米/秒， 隧道长是：米， 答：列车的速度为30米/秒，隧道的长度为1260米． 17. 在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”． （1）如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）； （2）在等腰中，， ①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________； （3）如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”． 【答案】（1） 如图，点P即是 （2）①；② （3） 解：将沿翻折，得， 则， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为等腰的“双合点”． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，以点C为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点P，P即为所求作 （2）①根据已知得，，，根据，，得，即得②根据已知得，，，根据，得，得，即得； （3）将沿翻折，得，得四边形是正方形，根据，得，得，得，得，可得是等边三角形，证明，得，即得点为等腰的“双合点”． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，∴， ②∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查发新定义——等腰三角形的“双合点”．熟练掌握新定义，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，正方形判定和性质，等边三角形判定和性质，是解题的关键． 18. 解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． （1）如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； （2）如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3）当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【解析】 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 即； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． 【点睛】本题核心是利用直角三角形斜边中线、全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合几何最值思想，将代数费用问题转化为几何线段和的最小值问题求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $