精品解析：内蒙古自治区 锡林郭勒盟三县联考 2024-2025学年八年级下学期6月（第三次）月考数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考八年级数学第三次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一次函数图象经过点，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，积的乘方，二次根式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是； ②直线和直线的距离是； ③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是． ④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键． ①利用点到直线的距离公式求出即可；②从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为两条平行线的距离；③利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断；④求得直线与抛物线有一个交点时的m的值，即可求得直线的解析式，从直线上找一个点，求出该点到的距离，即为点P到直线距离的最小值； ④利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断． 【详解】解：①直线， ∴点到直线的距离是，故①正确； ②∵直线和的k值相等，都等于 ∴直线与直线平行， 根据 “平行线间距离相等”找出直线上的一点， ∴点到直线的距离，故②正确； ③设直线向上平移m个单位与抛物线有一个交点，则平移后的直线为， 令，则， ∴，即， 解得， ∴平移后的直线为， 找出直线上一点， ∴点到直线的距离， ∴若点P是抛物线上的点，则点P到直线距离的最小值是，故③正确； ④设点是抛物线的点，到直线的距离是， 则， ∴， ∴，即， 当时，此方程无解； 当时，解得，或 ∴抛物线上存在两个点到直线的距离是； 故④正确； 所以正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 4. 如图，中，，分别在上，四边形为菱形，若，则长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 如图：过F作，连接交于O，先说明四边形是矩形可得；再根据等腰三角形的性质及勾股定理可得，进而得到，即即可解答． 【详解】解：如图：过F作，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ , ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴, ∴． 故选A． 5. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，得，根据菱形的性质得，在，得，继而得到，根据勾股定理得，即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∵在菱形中，，， ∴，，， 在，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即轴， ∴点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质等知识．掌握点坐标确定的方法是解题的关键． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 若a＝b，则＝ B. 菱形的对角线互相平分 C. 若a＝0，则ab＝0 D. 三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，则此三角形为直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先逐个的写出原命题的逆命题，再利用算术平方根的性质可判断A的逆命题，利用平行四边形的判定可判断B的逆命题，由两数之积为0则至少有一个为0，可判断C的逆命题，由勾股定理的含义可判断D的逆命题，从而可得答案． 【详解】解：若a＝b，则＝的逆命题是：若 则 而若 则所以逆命题是假命题，故A不符合题意； 菱形的对角线互相平分的逆命题是：对角线互相平分的四边形是菱形， 而对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以逆命题是假命题，故B不符合题意； 若a＝0，则ab＝0的逆命题是：若 则 而若 则或 所以逆命题为假命题，故C不符合题意； 三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，则此三角形为直角三角形的逆命题是： 直角三角形的三边分别为a，b，c（c为斜边），则 逆命题为真命题， 故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是逆命题的含义，真假命题的判断，同时考查了算术平方根的含义，菱形的性质，勾股定理及逆定理的含义，两数之积为0则至少有一个为0，掌握以上基础知识是解本题的关键． 7. 设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用为自然数）进行计算的方法．先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为，；然后计算，再分别计算，，最后把它们相加即可． 【详解】解：令，则；令，则；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为，，． 所以，为自然数）， 当，； 当，； ； 当，； 则． 故选：C． 8. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，，则（　　） A. α B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质证明 ，得到，，证得是等腰直角三角形，过作，交于，然后证明，得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 过作，交于， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 如图，在矩形中，O是的中点，E为边上一点，且，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据矩形的性质可得，结合得出，由求出，进而证得是等边三角形，得出的长，从而求出、的长，于是得出的长，利用含30度角的直角三角形求出，然后再证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 是的中点， 必过点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质，正确作出辅助线． 10. 如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质可得，通过角的计算即可得到，根据两直角三角形中斜边和其中一条直角边相等，即可由勾股定理得出另一条直角边也相等，从而得到，故①正确；再根据各角的计算可得出，故②正确；过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，从而推出，故③正确；由条件可推理得四边形是矩形，，再由全等性质可得，故，则④正确． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ，， ，故②正确， 平分，，， ， ，， ， ， ，故③正确， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，灵活应用相关知识并采用等量代换的方法是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，若点A、B的坐标分别为(0，2)和(n，n＋4)，则线段AB长的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A、B的坐标分别为(0，2)和(n，n＋4)，利用勾股定理可以表示出AB的长，然后化简，即可得到AB的最小值． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为(0，2)和(n，n＋4)， ∴AB= ， ∵≥0， ∴当n=-1时，AB的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握勾股定理，两点的距离公式是解题的关键． 12. 如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点 P表示的实数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． 观察图形可知∶ ，然后由勾股定理求出，从而求出，最后根据数轴上两点间的距离公式求出答案即可 【详解】解：如图所示， 由图形可知∶，， 由勾股定理得∶ ， ∴ ∵点B表示的数为2， 点P表示的数为∶ ， 故答案为∶ 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，经过点A的直线轴，点P是直线l上第一象限内的一个动点.若是等腰三角形，则点P的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，先计算勾股定理计算出，再分、、三种情况，画出示意图，分别求出的长度即可． 【详解】解：点A，B的坐标分别是，， ，， ． 当是等腰三角形时，分三种情况： 当时，如图，作于点H， ， 点P的坐标为； 当时，如图： ， 点P的坐标为； 当时，如图，作于点H， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 点P的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 14. 如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得， ∴， 又同理可得， ∴， 故答案为：． 15. 在一节数学拓展中，老师给出：“如图，在中，，为斜边的中点，”，要求结合本学期所学的一元二次方程和三角形的中位线定理，把题目补充完整．小明补充如下：“于点，为中点，连接．当，时，的值是 __；当时，的 __．”请填写上面空格． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】设，，则，证为的中位线得，在中由勾股定理得①，在中由勾股定理得②，由①②解方程组得，，由此可得的值；设，，，，则，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，由此可得③，过点作于，过点作于，证和全等得，再证，在中由勾股定理得：，再由三角形的面积公式得，则，即④，由③④得：，据此可得，将代入③得，则，从而得，则，进而可求出的值． 【详解】解：设，， ， ， 点是斜边上的中点， ， 点为的中点， 为的中位线，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ①， 在中，由勾股定理得：， ，整理得：②， 将②代入①得：，整理得：， ， ， ， （舍去负值）， ， ； 设，，，， 为斜边的中点， ， 为的中位线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ③， 过点作于，过点作于，如图所示： 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又点为的中点， 为的中位线， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ，即， ，即④， 由③，④得， （舍去负值）， ， 将代入③得， ， （舍去负值），即， ； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程（组进行计算是解决问题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，，．连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点P在点的左侧）在线段上运动，，连、，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点G,连接，则，，取的中点M，连接，设与的交点为F，故点G，M关于直线对称；连接，过点N作于点T，连接，连，则,故，当B，P，M三点共线时，取得最小值，最小值为，计算即可，本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式求最值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式求最值是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴,， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，取的中点G,连接， 则，， ∴，， 取的中点M，连接，设与的交点为F， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故点G，M关于直线对称； 连接， ∴， 过点N作于点T，连接， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连， 则, 故， 当B，P，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 过点M作于点H， 则, ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共49分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，立方根，二次根式性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简立方根以及利用二次根式性质进行化简，再运算加减，即可作答． （2）先运用二次根式的乘法，再运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 疫情期间某工厂生产防护服，现有60名工人进行生产（每人生产的效率相同），2天后抽出10名工人做其他工作，其余工人继续生产；2天后从生产的工人中再抽出10名进行包装（每人每天包装的量相同）．每人每天包装的量是生产量的5倍，下图是产品库存量（件）与生产时间（天）之间的函数关系图象． （1）解释点的实际意义； （2）求每人每天的生产量和包装量； （3）求段所在的直线的函数表达式，并求出多少天后剩余库存量低于生产前的库存量． 【答案】（1）点的实际意义是60名工人2天生产的防护服数量与未生产之前的库存量之和是50000件 （2）生产量是100件，包装量是500件 （3），26天 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到点的实际意义； （2）设每人每天的生产量是件，则每人每天的包装量是件，根据函数图象的数据列出方程，解方程即可得到答案； （3）根据（2）中的答案可以求得点的坐标，从而可求得段所在的直线的函数表达式，由（2）中的答案可以求得原来的库存量，从而可以求得多少天后剩余库存量低于生产前的库存量． 【小问1详解】 解：由图象可得： 点的实际意义是60名工人2天生产的防护服数量与未生产之前的库存量之和是50000件； 【小问2详解】 解：设每人每天的生产量是件，则每人每天的包装量是件， ， 解得：， ， 每人每天的生产量是100件，包装量是500件； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 点的纵坐标的值是：， 即点的坐标为， 又点， 设段所在的直线的函数表达式为， ， 解得， 即段所在的直线的函数表达式是， 由题意可得，原来的库存量为：， 则， 解得，， 26天后剩余库存量低于生产前的库存量． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，函数与图象，读懂函数图象，正确列出一元一次方程，求出一次函数解析式，是解题的关键． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上，直线与网格线重合． （1）若和关于直线对称，画出； （2）将向右平移9个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； （3）连接，利用两个网格点画出线段的垂直平分线． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图：即为所求； （3）如图，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、作图—平移变换，勾股定理，线段垂直平分线的判定，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． （1）利用网格作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用平移的性质作出图形即可； （3）取格点，则由勾股定理可得，那么经过点的直线即为直线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c； （2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴． 【小问2详解】 将，，代入得：， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，化为最简二次根式，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键． 21. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， （1）求直线的函数表达式． （2）点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． （3）点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得：，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 22. 已知，如图，在平面直角坐标系中，点，且，的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接、． （1）直接写出A、B、C三点的坐标； （2）设点P运动的时间为t秒，D为上的动点（不与A，C两点重合），问：当t为何值时，与垂直相等？并直接写出此时点D的坐标； （3）若点P在y轴上运动，如图以为边作等边，连接，当取得最小值时，求的度数． 【答案】（1），， （2）秒时，与垂直相等，此时点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质可得，，即，，从而求得，，再利用三角形面积公式列方程求解即可； （2）证明四边形是矩形，可得，，，从而证明，可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，设，可得，求得，再由，求得t的值； （3）当点P在点C上时，以为边作等边三角形，当P沿y轴向下移动时，以为边作等边三角形，则，证明，可得，即，从而可得的最小值为的值，此时点P在点C上，证明，可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（舍）， ∴，，； 【小问2详解】 解：过点D作于点M，于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， 即秒时，与垂直相等，此时点； 【小问3详解】 解：当点P在点C上时，以为边作等边三角形，当P沿y轴向下移动时，以为边作等边三角形，则， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点P从C点出发沿y轴负方向移动， ∴点Q沿射线移动， ∴的最小值为的值，此时点P在点C上， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即取最小值时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、矩形的判定与性质、用待定系数法求一次函数解析式、全等三角性质与判定、三角形内角和定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：延长，交的延长线于点M， ∵在中，， ∴，， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作，根据题中条件可求，利用角平分线的性质和平行四边形的性质可求，即可求解； （2）延长，交的延长线于点M，可证，得到；由可得，由，可得，由平分与，可得，又，得到，根据“等角对等边”得到，从而证明，因此，进而，，由得到，再由中，，从而得证； （3）取的中点K，连接，，则，即的最小值为．由，得到是等边三角形，从而，，又，证得，因此，由得到，又，因此，，，．设，过点G作于点P，在中，解直角三角形得，，在中，解直角三角形得，又，即，解得．过点G作于点Q，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得，因此，由旋转可得，由中位线定理得．过点C作于点H，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得．因此的最小值为． 【小问1详解】 解：作，如图所示， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点K，连接，，则，即的最小值为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，过点G作于点P，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 即， 过点G作于点Q，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴由旋转可得， ∵点O是的中点，点K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，，， 过点C作于点H，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵点K是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，中位线，直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，三角形的三边关系等，本题难度较高，计算量大，正确作出辅助线，综合运用各个知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考八年级数学第三次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一次函数图象经过点，则的值是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： ①点到直线的距离是； ②直线和直线的距离是； ③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是． ④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，分别在上，四边形为菱形，若，则长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 若a＝b，则＝ B. 菱形的对角线互相平分 C. 若a＝0，则ab＝0 D. 三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，则此三角形为直角三角形 7. 设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，，则（　　） A. α B. C. D. 9. 如图，在矩形中，O是的中点，E为边上一点，且，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，若点A、B的坐标分别为(0，2)和(n，n＋4)，则线段AB长的最小值为_______． 12. 如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点 P表示的实数为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，经过点A的直线轴，点P是直线l上第一象限内的一个动点.若是等腰三角形，则点P的坐标为______． 14. 如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则______． 15. 在一节数学拓展中，老师给出：“如图，在中，，为斜边的中点，”，要求结合本学期所学的一元二次方程和三角形的中位线定理，把题目补充完整．小明补充如下：“于点，为中点，连接．当，时，的值是 __；当时，的 __．”请填写上面空格． 16. 如图，在平行四边形中，，．连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点P在点的左侧）在线段上运动，，连、，则的最小值为__________． 三、解答题（共49分） 17. 计算： （1） （2） 18. 疫情期间某工厂生产防护服，现有60名工人进行生产（每人生产的效率相同），2天后抽出10名工人做其他工作，其余工人继续生产；2天后从生产的工人中再抽出10名进行包装（每人每天包装的量相同）．每人每天包装的量是生产量的5倍，下图是产品库存量（件）与生产时间（天）之间的函数关系图象． （1）解释点的实际意义； （2）求每人每天的生产量和包装量； （3）求段所在的直线的函数表达式，并求出多少天后剩余库存量低于生产前的库存量． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上，直线与网格线重合． （1）若和关于直线对称，画出； （2）将向右平移9个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； （3）连接，利用两个网格点画出线段的垂直平分线． 20. 已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， （1）求直线的函数表达式． （2）点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． （3）点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 22. 已知，如图，在平面直角坐标系中，点，且，的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接、． （1）直接写出A、B、C三点的坐标； （2）设点P运动的时间为t秒，D为上的动点（不与A，C两点重合），问：当t为何值时，与垂直相等？并直接写出此时点D的坐标； （3）若点P在y轴上运动，如图以为边作等边，连接，当取得最小值时，求的度数． 23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $