5.3 复数的三角表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的三角表示，涵盖三角表示式、乘除法法则及几何意义，通过问题思考回顾复数与复平面向量的对应关系、三角函数定义等旧知，搭建从代数形式到三角形式的学习支架。 其亮点是以问题驱动和探究活动为主线，结合数学眼光（如向量与三角知识的联系）、数学思维（乘除法法则的逻辑推导）、数学语言（规范表达三角形式）。例如例1的代数与三角形式互化、例3的除法运算，通过“反思感悟”总结方法，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

第五章　复数 *§3　复数的三角表示 自主预习·新知导学 一、复数的三角表示式 【问题思考】 1.(1)复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点和向量是如何一一对应的? (2)若角θ的顶点在坐标原点O,始边在x轴非负半轴上,已知角θ终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数? (3)终边相同的角有什么关系? 提示:(1)根据复平面的建立原则,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的, (3)终边相同的角相差2π的整数倍. (2)当z=r(cos θ+isin θ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍.为确定起见,将满足条件 0≤θ<2π 的辐角值,称为辐角的主值,记作arg z,即 0≤arg z<2π .  (3)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 3.复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角的主值是(　　). A.80° B.100° C.190° D.260° 解析:z=-sin 100°+icos 100° =-cos 10°-isin 10° =cos 190°+isin 190°, ∴arg z=190°. 答案:C 二、复数三角形式的乘法法则与几何意义 【问题思考】 1.若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗? 提示:能.z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2) =r1r2(cos θ1+isin θ1)·(cos θ2+isin θ2) =r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)] =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 2.(1)已知z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2), 则z1z2= r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] . 这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和. (2)复数乘法的几何意义 3.复数z=(cos 25°+isin 25°)(cos 50°+isin 50°)的三角形式是(　　) A.cos(-25°)+isin(-25°) B.sin 75°+icos 75° C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75° 解析:z=cos(25°+50°)+isin(25°+50°) =cos 75°+isin 75°. 答案:D 三、复数三角形式的除法法则 【问题思考】 1.由复数乘法的运算法则,求r2(cos θ2+isin θ2)· [cos(θ1-θ2) +isin(θ1-θ2)]. 提示:原式=r2· ·{cos[θ2+(θ1-θ2)]+isin[θ2+(θ1-θ2)]} =r1(cos θ1+isin θ1). 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 2.设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0, 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 复数的三角形式与代数形式的互化 【例1】 下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式.(辐角取主值) (1)z1=cos 60°+isin 30°; (3)不是三角形式. 反思感悟 1.复数三角形式的判断依据和变形步骤 (1)判断依据: 三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连. (2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”. 2.复数的代数形式化三角形式的步骤 (1)求复数的模; (2)决定辐角的终边所在的象限; (3)根据象限求出辐角(常取它的主值); (4)写出复数的三角形式. 探究二 复数三角形式的乘法运算 【例2】 计算下列各式: (2)3(cos 20°+isin 20°)[2(cos 50°+isin 50°)][10(cos 80° +isin 80°)]; (2)原式=6(cos 70°+isin 70°)[10(cos 80°+isin 80°)] =60(cos 150°+isin 150°) 反思感悟 复数三角形式的乘法运算 (1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加. (2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘. 探究三 复数三角形式的除法运算 反思感悟 进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数的辐角减去除数的辐角当作商的辐角,即可得两个复数的除法结果. 思 想 方 法 用数形结合思想求复数的模及辐角范围 【典例】 若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大值、最小值和arg z的范围. 分析:结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解. 解:如图5-3-1,由|z-2|≤1,知复数z在复平面内对应点的轨迹为以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1≤|z|≤3,所以|z|max=3,|z|min=1, 另设圆的两条切线分别为 OA,OB,A,B为切点, 图5-3-1 谢 谢 $