2025-2026学年青岛版八年级下学期数学综合测评（二）

**基本信息** 青岛版八年级下册期末数学试卷，以神舟二十一号、方胜图案等真实情境为载体，融合几何图形性质、函数应用与数据分析，注重数学眼光观察现实世界和数学思维解决问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、矩形性质、一次函数性质|第1题结合航天情境考查图形对称性，体现时代性| |填空题|6/18|旋转坐标、方差、最短路径|第15题正方形中DF+EF最小值，考查转化思想| |解答题|8/72|统计分析、图形平移、综合实践|21题“板凳中的数学”建立函数模型，22题折纸探究推理能力，23题菱形动态综合考查空间观念|

2025-2026学年度青岛版八年级第二学期初中数学 期末综合测评（二） 考试时间：120分钟； 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（    ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（   ） A．24 B．20 C．18 D．12 3．若一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某中学评选先进班级，主要从班级精神面貌、学习风气、遵守纪律、清洁卫生四个方面考核评分，各项满分均为100分，占比例如下表： 项目 精神面貌 学习风气 遵守纪律 清洁卫生 所占比例 25% 30% 25% 20% 八年（5）班这四项得分依次为80分、80分、90分、70分，则该班四项综合得分是（   ） A．75分 B．80分 C．80.5分 D．85分 5．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（   ） A． B． C．2cm D． 6．如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（    ） A．反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B．混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C．0至20s时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D．混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 9．一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．如图， 在中， ， 以点为中心逆时针旋转得到， 点， 的对应点分别是点， ， 且平分， 交于点， 则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2026次得到的点的坐标是____． 12．在某次七年级期末测试中，甲、乙两个班的数学平均成绩都是89．5分，且方差分别为，，则成绩比较稳定的是_________班． 13．如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为________． 14．如图，平面直角坐标系中，直线经过点且与交于点，交点坐标可以看成是相应的二元一次方程组的解，则该方程组中的方程为______． 15．如图，点E为正方形ABCD的边DC上一点，且EC=3DE，F为AC上的一动点，连接FD和FE，若AB=8，则DF＋EF的最小值是____．    16．如图，在中，连接，点P是上的动点（不与端点重合），连接，点M是的中点，过点P作于点Q，连接，则的最小值是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． (1)请用无刻度的直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）． 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． (2)根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：___________，___________， 四边形是平行四边形．（___________）（填推理的依据） 四边形是矩形．（___________）（填推理的依据） (3)若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式． 19．（9分）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 20．（8分）如图1，将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，，将图1中的纸片以每秒的速度沿方向平移，连结，（如图2），当点F与点C重合时，停止平移． (1)纸片运动的过程中，四边形一定是平行四边形吗？请说明理由； (2)当四边形为矩形时，求纸片运动的时间． 21．（10分）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 22．（12分分）综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 23．（12分）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 第7页 共8页 ◎ 第8页 共8页 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度青岛版第二学期初中数学》详解版 1．C 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，正确掌握相关知识是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了加权平均数， 用四项得分分别乘以各自的权，并相加，再除以，可得答案． 【详解】解：该班四项综合得分为（分）． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：B． 6．B 【解析】略 7．C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 8．D 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A．由图可知，反应开始前，稀盐酸溶液的温度为，原说法正确； B．由图可知，混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降，原说法正确； C．由图可知，至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同，原说法正确； D．由图可知，混合溶液的温度不低于时，持续的时间，原说法错误． 9．B 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确； C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象． 10．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质；根据旋转的性质得出，根据角平分线的定义可得，设，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵以点为中心逆时针旋转得到， 点， 的对应点分别是点， ， ∴， ∵平分， ∴ 设 ∴ ∵， ∴ ∴    ，故C正确 已知条件中不能得出，， 故选：C． 11． 【分析】如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于H，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标；由，则菱形每旋转6次会回到原来的位置，，则点的坐标与点的坐标相同． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于H，连接交于，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵B的坐标是， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标是； ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置，， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 12．甲 【详解】∵S甲2＜S乙2，∴成绩相对稳定的是甲． 故答案为：甲． 13．1 【分析】由图可得到点的纵坐标是如何变化的，让的纵坐标也做相应变化即可得到的值；看点的横坐标是如何变化的，让的横坐标也做相应变化即可得到的值，相加即可得到所求． 【详解】解：由题意可知：；； ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，求解析式，由直线经过点且与交于点，设解析式为，然后代入求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过点且与交于点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 则该方程组中的方程为， 故答案为：． 15．10 【分析】在BC上取点E’，使，连接，根据正方形的性质和线段的比例关系得和，即可证明，可得，可得当三点共线时，有最小值，最小值为，根据勾股定理求得的值即可． 【详解】在BC上取点E’，使，连接 ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴当三点共线时，有最小值，最小值为 由勾股定理得 即DF＋EF的最小值是10 故答案为：10．    【点睛】本题考查了四边形动点的最值问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 16． 【分析】根据平行四边形的性质可求出，，，延长，使得，连接，过点B作，结合等腰三角形三线合一的性质证明，即说明点在定直线上．再根据三角形中位线定理可知，即说明当最小时，有最小值．最后根据垂线段最短，结合含 30 度角的直角三角形的性质，求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ，， 延长，使得，连接，过点B作，如图， ， ， 平分， ， ，， 点在定直线上， 中点为， ∴是中位线， ， ∴当最小时，有最小值． ∵当时，即点与点重合时，最小，此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键． 17．【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．(1)见解析 (2)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角为直角的平行四边形是矩形 (3)矩形的面积为8，直线的表达式为 【分析】（1）根据要求依次作出线段即可作出图形； （2）先根据作图得到对边相等，再根据矩形的判定即可得到答案； （3）先根据解析式得到矩形的四边的长，即可求出矩形的面积和点的坐标，根据待定系数法即可求出直线的表达式，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵ ∴四边形是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） （3）解：∵直线的表达式为， 令，则，解得：， ∴， 令，则， ∴， ∴矩形的面积为； ∴点， 又∵点， 设直线的表达式为， 即， ∴， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图作线段，矩形的判定和性质，待定系数法求一次函数和一次函数图象的性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出图形． 19．(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 20．(1)四边形一定是平行四边形，理由见解析 (2)4.5秒 【分析】（1）由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论； （2）连接交于点，设，则，，可得，由勾股定理列出方程，进而求解． 【详解】（1）解：四边形一定是平行四边形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图2，连结交于点， ∵四边形为矩形， ∴， 设，则 ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴（秒）， ∴当四边形为矩形时，纸片运动的时间为4.5秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 22．（1）①；②（2）不发生变化，理由见解析（3） 【分析】（1）根据推论过程结合等量代换补充完整即可得到①，由方法一思路证明可得到②，即可解题； （2）类似于初步探究的证明过程，即可证明和的位置关系及和的数量关系不发生变化； （3）由，可得，即，因为四边形菱形，可得，由，可得，进而得到，设，则，，根据在含角的直角三角形中的性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由等量代换可知：①， 由折叠的性质，可知，，，，，． 四边形为平行四边形， ． ， ． 又， ， ， ，， ， ， ， ． 可猜想其关系为：②， 故答案为：①；②． （2）解：不发生变化，理由如下： 由折叠的性质，可知，． 四边形为矩形， ， ∴． ∴， ∴． 四边形为矩形， ，， 由折叠的性质，可知，，，，，， 又， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：如图， ， ∴， 三点共线， 即， ，， ， 由（2）知，，即， 四边形为平行四边形，即四边形菱形， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 23．（1）；（2）成立，证明见解析；（3）①；②6或 【分析】（1）由菱形的性质可得出，，再结合已知条件，即可证明，由全等的性质即可得出． （2）由(1)得∶，，再结合已知条件，即可得出，即可证明，由全等的性质即可得出． （3）①过点E作于点H，则，由已知条件得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由已知条件得出进一步即可得出，求出即可得出答案． ②连接，过点B作于点M，则，利用菱形的性质以及含直角三角形的性质得出，再结合①得出，然后分两种情况，当点G在线段上时， 当点G在射线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由(1)得∶，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况∶ 当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，的长为6或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键． 答案第4页，共18页 答案第3页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $