精品解析：广东深圳市龙华区行知外国语学校2025-2026学年第二学期九年级冲刺模拟数学试卷

九年级数学冲刺模拟1 一、选择题（每题3分，共8题，满分24分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 《2026人形机器人行业白皮书》指出，2026年中国人形机器人市场规模将达到亿元．“104.7亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年4月27日0时，昆明市公安局交通管理支队正式启用警用无人机进行交通违法取证．如图，高速公路上，交警操控无人机在点处悬停警戒，正下方处为故障车辆位置．若测得处到处的距离米，从处测得处的俯角为，则，之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（每题3分，共5题，满分15分） 9. 已知正比例函数,其中的值随的值增大而减小,则可以是______（填一个合适的值）． 10. 如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号） 11. 某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），，分别切于点，．若，则的度数为_______度． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 13. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若，则线段MN的长为________． 三、解答题 14. 计算：． 15. 在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 16. 第十九届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3日．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（　　）B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（　　） C．对新能源汽车，有一些体验经历（　　）D．非常了解，我是新能源汽车车主（　　） 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）统计表中 ， ，本次抽样调查的总人数是 人； （2）若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； （3）请写出一条关于你对新能源汽车的了解． 17. 如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，，垂足为点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的半径长． （3）在（2）的条件下，尺规作图，在上作点，使的长度最短，并写出的值________． 18. 2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 19. 定义：如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为，且图象过点（点与点不重合）． （1）判断二次函数是否为“双正二次函数”，填空________（填“是”或“否”）； （2）求二次函数的解析式； （3）点在二次函数的图象上，过点作轴交二次函数的图象于点（点与点不重合），直线交直线于点，设点的横坐标为． ①求证：点是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． 20. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： （1）如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： （2）“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： （3）在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学冲刺模拟1 一、选择题（每题3分，共8题，满分24分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴，轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合．根据轴对称图形的定义判定即可． 【详解】解：根据轴对称图形定义，选项A、C、D都不是轴对称图形，只有选项B是轴对称图形． 故选：B． 2. 《2026人形机器人行业白皮书》指出，2026年中国人形机器人市场规模将达到亿元．“104.7亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值较大的数的形式为，要求，为整数．解题时先将亿转换为普通数字形式，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：． 3. 如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从物体的正面观察，确定看到的平面图形，再与选项进行比对． 【详解】解：由图可得仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是，与选项A 所示图形一致． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，积的乘方法则逐一计算选项即可判断结果． 【详解】解：选项A：，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项正确，符合题意； 5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先结合两直线平行，同位角相等得，结合平分，故，因为则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：B 6. 2026年4月27日0时，昆明市公安局交通管理支队正式启用警用无人机进行交通违法取证．如图，高速公路上，交警操控无人机在点处悬停警戒，正下方处为故障车辆位置．若测得处到处的距离米，从处测得处的俯角为，则，之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】直接解，即可得出结果. 【详解】解：由题意，可知米， ∴（米）. 7. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 8. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，从而得到，，利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理构建方程求出，最后在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图过程可知：直线是线段的垂直平分线， 点，在直线上， ，． ，， ，， ． ， ． 在中，． 设， 则． ， 在中，， 解得， ． 在中，． 二、填空题（每题3分，共5题，满分15分） 9. 已知正比例函数,其中的值随的值增大而减小,则可以是______（填一个合适的值）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图像与系数的关系．根据题意的值随的值增大而减小可知,继而得出答案． 【详解】解:∵正比例函数,其中的值随的值增大而减小, ∴, ∴, 故填写一个小于3的数即可． 10. 如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由折线统计图可知，试验频率的稳定值约为， ①对于单项选择题，共有4个等可能选项，其中1个为正确答案，3个为错误答案，因此，选到错误答案的概率为，与频率稳定值0.5不符 ②掷一枚质地均匀的硬币，共有2个等可能结果，其中正面朝上的结果有1种，因此概率为，与统计图中频率的稳定值一致； ∴符合该折线统计图的事件可能是②． 11. 某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），，分别切于点，．若，则的度数为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质．连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 13. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若，则线段MN的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形全等、等腰直角三角形及三角函数的应用，掌握通过证明三角形全等确定等腰直角三角形，利用中位线和三角函数求解线段长度是解题的关键． 先通过证明三角形全等得出且，确定为等腰直角三角形，再利用中点性质和三角函数求解的长度． 【详解】如解图，过点M作于点H． ∵四边形是矩形， ∴，， 为的中点，，， ，，． ∴，， 在和中： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 为AF的中点，， 是的中位线，， ． ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，立方根，负整数指数幂，再进行加减计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂，立方根，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 15. 在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【解析】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，再检验即可． 【详解】解：小明的解答过程不正确，正确解答如下： ， 两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 16. 第十九届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3日．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（　　）B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（　　） C．对新能源汽车，有一些体验经历（　　）D．非常了解，我是新能源汽车车主（　　） 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）统计表中 ， ，本次抽样调查的总人数是 人； （2）若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； （3）请写出一条关于你对新能源汽车的了解． 【答案】（1）40，70，1000 （2）有1000人是新能源汽车车主 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用B组总共的人数减去少年、中年、老年的人数即可得出a，用D组总共的人数减去少年、青年、老年的人数即可得出b，将各组的人数相加即可得出总人数； （2）用1500乘以青年人中新能源汽车车主所占的比例即可得出结果； （3）结合环保、节能、技术发展等写出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 解：，， 本次抽样调查的总人数是（人）， 故答案为：40；70；1000； 【小问2详解】 解： （人）， 答：估计该小区青年人中有1000人是新能源汽车车主； 【小问3详解】 解：新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染．（答案不唯一，言之有理即可） 17. 如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，，垂足为点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的半径长． （3）在（2）的条件下，尺规作图，在上作点，使的长度最短，并写出的值________． 【答案】（1）与相切，理由如下： 如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2） （3）如图 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）过点作于点，进而根据正弦的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为． 【小问3详解】 解：图略 ∵， ∴ ∵， ∴． 18. 2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可； （2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 19. 定义：如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为，且图象过点（点与点不重合）． （1）判断二次函数是否为“双正二次函数”，填空________（填“是”或“否”）； （2）求二次函数的解析式； （3）点在二次函数的图象上，过点作轴交二次函数的图象于点（点与点不重合），直线交直线于点，设点的横坐标为． ①求证：点是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． 【答案】（1）是 （2） （3）①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∴，即点Q是线段的中点； ②5 【解析】 【分析】（1）求出二次函数的顶点的坐标，再判断点是否在直线上，即可求解； （2）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）①用表示出点，，的坐标，可得到的长，即可解答； ②用表示出的长度，再结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为， 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”； 【小问2详解】 解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点， ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴， 解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 ①略 ②解： 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5． 20. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： （1）如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： （2）“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： （3）在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分两种情况讨论：①当点在边上时；可求，证明，求出，．在中，解直角三角形求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解； ②当点在的延长线上时，过点作于点，同理①可求，进而可得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出根据勾股定理求出，根据等面积法求出即可． 【小问1详解】 解：， 理由：四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（2），知， 又， ， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点，如解图3， 同理①，易得， ， ， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $