2026年江苏省苏州市相城区中考数学考前预测卷

**基本信息** 立足中考核心素养，融合生活情境与创新题型，覆盖代数几何统计三大模块，梯度设计适配考前模拟 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|数轴绝对值、整式计算、几何（自行车车架）、数形结合（面积推导）、统计（防疫竞赛）、圆、新定义函数、正方形综合|以华罗庚名言引入数形结合，新定义“瞬时变化率”考查函数本质| |填空题|8/24|二次根式、科学记数法、因式分解、一元二次方程、旋转、位似、反比例函数、几何综合|结合头发直径测量考查科学记数法，反比例函数与面积比综合应用| |解答题|11/82|概率（扑克牌游戏）、统计图表（体育社团）、四边形证明、反比例函数平移、解直角三角形（投影仪）、圆切线、相似综合、二次函数动态几何|投影仪情景解直角三角形，二次函数与矩形面积动态探究，体现模型意识与推理能力|

2026年中考考前预测卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：130分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是() C -2-1012 A.A B.B C.C D.D 2.下列计算正确的是() A.a3.a2=a5 B.a5÷a3=a2 C.(a2)3=a5 D.3a2-2a=a 3.自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识如图，自行车的车把手AB与地面平行.后轮支撑结构为△EFG,∠ EFG=60°，EG=FG,前轮支撑结构BD,EF互相平行.己知∠CDE=60°，则LDEG的度数为() A-B D A.60° B.120° C.135° D.150 4.著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”利用“数形结合”的数学思想，对 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式比如在学习“整式的乘法”时，由图1 可得等式(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.图2是一个长为4b,宽为a的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方 形将其中2块小长方形置于一个边长为a的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的 面积可得到的等式为() 第1页，共10页 4b a 图1 图2 图3 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)(a-b)=a2-b2 5.为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其 中有两个数据被遮盖.下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是() 成绩/分868890929495969899100 人数 ■1 4 5 6 6 107 A.中位数和众数 B.中位数和平均数C.众数和方差 D.众数和平均数 6.如图，AB是⊙O的弦，OC1AB交⊙0于点C,点D是优弧AB上一点，若∠A0C=37°，则∠CDB=() D B A.18.5° B.37° C.53 D.74 7.定义：若函数y=f(x)的图象上存在一点P(xo,yo),且该点处的“瞬时变化率”k满足k=xo·yo,则称该 函数为“2函数”规定：对于一次函数y=kx+b(化≠0)，其图象上任意一点的“瞬时变化率”均为k;对 于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其顶点处的“瞬时变化率”为0.下列结论正确的是() ①一次函数y=2x+1是2函数： ②若一次函数是2函数，则函数值一定随自变量的增大而增大： ③二次函数y=x2-4x+5是2函数； ④二次函数y=ar2+bx+5是n函数，则一定有a=是 A.①③ B.②③ c.①④ D.① 第2页，共10页 8.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,AD上（不与端点重合），且AE=AF,连结BF,过点A作AG 1BF于点G,连结EG,CG.若要求出△AEG与△BCG的面积的和，只需知道下列哪条线段的长() G A.BE B.DF C.BC D.BF 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.当x=时，二次根式√5一x有意义（写出一个合理的值即可） 10.据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为0.000073 m,将数据0.000073用科学记数法表示应为一· 11.分解因式：3m2n-27n=. 12.若关于x的一元二次方程x2+3x一k-1=0有实数根，则k的取值范围为· 13.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转42得到△A'B'C',若AC1A'B,则∠BAC等于一· 8 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C位似，位似中心是原点0，己知BC:B'C=1:2, 则B(2,0)的对应点B的坐标是· y B 15.如图，反比例函数y=经过A、C两点，过点A作AB1y轴于点B,过点C作CD1x轴于点D,连接0A、 OC、AC.若S△AC0=8,CD:OB=1:3,则k的值是· 第3页，共10页 B 0 16.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=8,点D在BC延长线上，点E在AD上，BE交AC于点F,若tanZAEB= 3,AD=2BF,则FC的长为· A B D C 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题5分)计算：(-1)2012-6c0s30°+W27-1+Q-2. 18.(本小题5分) 2x+3≥x+1 解下列不等式组，并将它们的解集在数轴上表示出来 2x+5-1<3-x 3 19.(本小题6分) 先化简，再求值：G13会昌：生其x满足221x1=0 第4页，共10页 20.(本小题6分) 中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，56个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔泰、南岛、南亚、印 欧这五大语系.明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们做了如下游戏方案进行选择：从一副 普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后，明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀， 亮亮再随机抽取一张若两人抽取的牌面数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌 面数字为一奇一偶，则以亮亮的选择为准 (1)明明抽取的牌面数字为奇数的概率为 (2)请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率. 21.(本小题6分) 为深入落实“健康第一”教育理念，以健康学校建设为引领，强化五育并举，某中学积极响应号召，计划 组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、篮球、排球、羽毛球四项球类体育社团，倡导学生全员参与. 为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取α名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问 卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本 数据绘制了如下两幅不完整的统计图. 人数 20 羽 毛 14 足球 12 24% 12 排球 m% 4 篮球 0 足球 篮球排球 羽毛球运动项目 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：Q=」 ,m=; (2)补全条形统计图； 第5页，共10页 (3)扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为度： (4)若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少名？ 22.(本小题8分) 如图，在四边形ABCD中，AD/BC,∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于 点E,连接OE (1)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若AB=2,∠BDE=15°，求矩形ABCD的面积. y D 0 E C 23.(本小题8分) 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数y=c>0)的图象交于点A和点C,与x轴交于点B和D,点 A、B的刻度分别为5cm和2cm,直尺的宽度为2cm,0B=2cm. (注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm) (①)求反比例函数-化>0)的解析式，并直接写出点C的坐标： (2)沿x轴正方向平移直尺，当CD的中点恰好落在反比例函数图象上时，求平移的距离. A B D 第6页，共10页 24.(本小题8分) 家用投影仪逐步被大众所喜爱.图①是投影仪投屏情景图，图②是其侧面示意图，已知支撑杆AD与地面FC 垂直，且AD的长为12cm,脚杆CD的长为50cm,AD距墙面EF的水平距离为240cm,投影仪光源散发器与 支撑杆的夹角∠DAE=120°，脚杆CD与地面的夹角∠BCD=40°.（参考数据：sin40°≈0.64，os40°≈0.76， tan40°≈0.84) (1)求AB的长度；（结果保留整数） (2)求光源投屏最高点与地面间的距离EF.(结果保留根号) E 图① 图② 25.(本小题10分) 如图，AB为⊙O的直径，点D,E为⊙O上的两个点，延长AD至C,使LCBD=LBED,BE与AD相交于点 F (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为4，点E为弧AD的中点，∠BED=30°，求DF的长. 第7页，共10页 E D F A B 26.(本小题10分) 如图(1)，在△CDE中，CD=ED,点B,F分别在DC,CD的延长线上，△BAC∽△DFE,连接AF. (1)提出问题：当CB=CD时. ①如图(2)，若A,E,F共线，求证：∠ACE=∠AEC: ②如图3)，若CE的延长线交AF于点0，求证：OA=OF (2)问题拓展：如图(4)，∠ABC=90°，tanzBCA=m,CD=nCB,m<n,AF分别与CE,DE交于O,T, 请直接写出的值（用含m,nm的式子表示）. y A E E B C D D (1) 2 (3 E 0 T D (4) 第8页，共10页 27.(本小题10分) 如图，开口向下的抛物线y=ax2+c经过点A(-1,1),顶点为C,和直线y=一x交于另一点B,动点P从点C 出发，沿着抛物线向点B运动，到达点B后立即停止.过点P作y轴的垂线，与线段AB或者AB上方的抛物线交 于另一点N,过P作x轴垂线交AB于E,以PW和PE为边作矩形PNFE,该矩形被AB分成上、下两部分，其面 积分别记为S1和S2,设点P的横坐标是t,己知当点P运动时，S2由0逐渐增大到n后又逐渐减小到0. (1)填空：LAEP=; (2)当n=2时，求a的范围； (3)若n=,点P在运动过程中能否使得S1:52=19:8,若能，请求出此时点P的坐标：若不能，请说明 理由. y A ℃ B 第9页，共10页 第10页，共10页 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由数轴得点离原点最远，其绝对值最大， 故选：． 根据数轴上的点离原点越远，其绝对值越大判断即可． 本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意． 故选：． 根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算． 本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 3.自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识如图，自行车的车把手与地面平行后轮支撑结构为，，，前轮支撑结构，互相平行已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故选：． 根据平行线的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，进而解答即可． 此题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的判定与性质得出解答． 4.著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式比如在学习“整式的乘法”时，由图可得等式图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：图中“空白部分”是保持为的正方形，因此面积为，图中“空白部分”的面积也可以看作大正方形与阴影部分面积差，即， 所以有， 故选：． 用两种方法分别用代数式表示图中“空白部分”的面积即可． 本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 5.为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是(    ) 成绩分 人数 A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 【答案】A  【解析】解：某班组织全班名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖．如图所示的数据可得： 总人数，已知数据的人数为， 分和分人数之和， 分人数为，为最多， 众数为，不受影响； 成绩排序后，不高于分为人，分有人， 第至名均为分， 第和名均为分，中位数为，不受影响； 平均数和方差依赖于分和分人数，因此受影响． 不受影响的是中位数和众数． 故选：． 此题考查了中位数，众数，平均数和方差，根据中位数，众数，平均数和方差的概念逐项判断即可． 本题考查统计量的选择，正确进行计算是解题关键． 6.如图，是的弦，交于点，点是优弧上一点，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 此题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解决此题的关键． 根据垂径定理可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【解答】 解：连接． 是的弦，， ， ， ， ． 故选A． 7.定义：若函数的图象上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”满足，则称该函数为“函数”规定：对于一次函数，其图象上任意一点的“瞬时变化率”均为；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为下列结论正确的是(    ) 一次函数是函数； 若一次函数是函数，则函数值一定随自变量的增大而增大； 二次函数是函数； 二次函数是函数，则一定有． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：若函数的图象上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”满足，则称该函数为“函数”， 一次函数，由规定得任意点瞬时变化率， 若为函数，需满足，其中，代入得：， 整理得， ，方程有实根， 该函数是函数，正确； 一次函数是函数，则满足， 整理得， ， ， ，方程总有实根，可以为负数，例如，时方程有实根， 该函数是函数，但函数值随自变量增大而减小，故错误； 二次函数，由规定得顶点处瞬时变化率， 配方得，顶点坐标为， ，不满足函数定义，故错误； 二次函数，顶点横坐标，顶点纵坐标， 顶点处“瞬时变化率”，即， 若，则，此时， 而， 因此只要就满足条件，不一定，故错误． 综上只有正确． 故选：． 根据题目给出的“函数”定义，以及一次函数、二次函数瞬时变化率的规定，逐一判断每个结论，即可得到正确选项． 本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 8.如图，在正方形中，点，分别在边，上不与端点重合，且，连结，过点作于点，连结，若要求出与的面积的和，只需知道下列哪条线段的长(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设正方形的边长为即， 已知． 正方形的面积：， 在中，面积， 由勾股定理得斜边． ， 是斜边上的高， 根据三角形面积公式的两种表达方式相等， 可得： ， 和有公共顶点，底边在同一直线上． 在中，， 且， ． ， ， 在中，， ， ． ， 是到的距离． 到的距离． 直线：过且垂直于， ， ， 在：底，高为， ， 点坐标因为，是，在上． 点坐标． 底边长度为． 高为点到轴的距离， 即，， ， ． 结论：两个三角形面积之和恒等于正方形面积的一半， 即因为是正方形的边长，也就是线段的长度， 只要知道的长，就能求出面积和． 故选：． 建立坐标系或利用相似比，分别表示出和的面积．通过代数运算会发现，含变量即的长的项在求和过程中会被消去，最终结果仅与正方形边长有关，即面积和恒等于正方形面积的一半．因此，只需知道边长即可求解． 这道题考查了正方形性质、相似三角形或解析几何以及面积计算的综合运用．解题的关键在于相关知识的灵活运用． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.当        时，二次根式有意义写出一个合理的值即可． 【答案】答案不唯一  【解析】解：二次根式有意义， ， 解得：， 因此，可取任意不大于的实数，例如：． 故答案为：答案不唯一． 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零列式求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 10.据统计，人的头发直径约微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为        ． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 11.分解因式：        ． 【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 12.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为        ． 【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 13.如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于        ． 【答案】  【解析】解：绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 先根据旋转的性质得到，，再根据垂直的定义和互余关系计算出，从而得到的度数． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 14.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，已知：：，则的对应点的坐标是        ． 【答案】  【解析】解：与位似，位似中心是原点，：：， 位似比为：， ， ，即． 故答案为：． 根据位似变换的性质解答即可． 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 15.如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、若，：：，则的值是        ． 【答案】  【解析】解：延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， 由条件可知，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， 由得：， ， 故答案为：． 延长，交于点，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，，，得到，根据，建立方程求解即可． 本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握值几何意义是关键． 16.如图，在中，，点在延长线上，点在上，交于点，若，，则的长为            ． 【答案】  【解析】解：如图，过点作的垂线，为垂足，过向作垂线，为垂足，过点向作垂线，垂足为    设，根据题意易得为等腰直角三角形，则：，，  ，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，，    同理可得：  ，  ，  ，即：或  把代入得：或  无解，    解得：，    故答案为：． 通过辅助线构造等腰直角及的两条高线，然后设，由及，推出关于的表达式，再分别求出和关于的表达式，最后通过建立方程，解方程求出即可得到的长度． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数在直角三角形中的应用，勾股定理等，根据题意利用辅助线构建直角三角形是解答本题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算：． 【答案】  【解析】解：原式 ． 利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.本小题分 解下列不等式组，并将它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，．  【解析】解：， 由解得：， 由解得：， 把两解集画在数轴上，如图所示： 则原不等式的解集为：． 分别解两个不等式，取两个不等式解集的交集，并在数轴上表示出来即可． 本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 19.本小题分 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】解： ， ， ， 原式．   【解析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 20.本小题分 中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔泰、南岛、南亚、印欧这五大语系明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们做了如下游戏方案进行选择：从一副普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后，明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀，亮亮再随机抽取一张若两人抽取的牌面数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌面数字为一奇一偶，则以亮亮的选择为准． 明明抽取的牌面数字为奇数的概率为______； 请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 【答案】   【解析】明明抽取的牌面数字为奇数的概率为； 故答案为：； 根据题意，画树状图如图： 共有种等可能的结果，两人抽取的牌面数字为一奇一偶的结果有种， 两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 利用概率公式解答即可； 根据题意，画树状图解答即可． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 21.本小题分 为深入落实“健康第一”教育理念，以健康学校建设为引领，强化五育并举，某中学积极响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、篮球、排球、羽毛球四项球类体育社团，倡导学生全员参与为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项，将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______； 补全条形统计图； 扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； 若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少名？ 【答案】     名  【解析】解：随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项， 由条形统计图可知：选择足球的人数为名，由扇形统计图可知：选择足球的人数占总人数的百分比为， 名， ， 选择排球的人数为名， ， ； 故答案为：，； 选择篮球的人数为名， 由统计图可知：选择羽毛球的人数为名， “羽毛球”对应扇形的圆心角为； 故答案为：； 由可知：选择篮球的人数为名， 名， 估计该校最喜爱篮球运动的学生有名． 由条形统计图可知：选择足球的人数为名，由扇形统计图可知：选择足球的人数占总人数的百分比为，用除以它所对应的百分比即可求出总人数；根据选择排球的人数为名即可求出它所占的百分比； 利用调查的总人数减去选择足球、排球、羽毛球的人数得到选择篮球的人数，补全条形统计图； 根据选择羽毛球的人数和调查的总人数求出选择羽毛球的人占的百分比，根据百分比求出对应的扇形的圆心角度数； 根据调查的人数中选择篮球的百分比估计全校喜欢篮球的人数． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 22.本小题分 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分交于点，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，求矩形的面积． 【答案】， ， ， ， ， 四边形是矩形    【解析】证明：， ， ， ， ， 四边形是矩形； 解：四边形是矩形，平分， ，即， 又， ， 又矩形的对角线互相平分且相等， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 矩形的面积． 由平行线的性质易证，得出，即可得出结论； 由矩形和角平分线的性质得出，则，再推出，证明是等边三角形，求出，求出的长即可求解． 本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点及运用数形结合思想是解题的关键． 23.本小题分 如图，平行于轴的直尺一部分与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点和，点、的刻度分别为和，直尺的宽度为，． 注：平面直角坐标系内一个单位长度为 求反比例函数的解析式，并直接写出点的坐标； 沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在反比例函数图象上时，求平移的距离． 【答案】反比例函数的解析式为，  平移的距离为  【解析】解：点、的刻度分别为和， ， ， ， 把代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 直尺的宽度为， ， ， 在中，令得， ； 设平移的距离为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 平移后中点坐标为， 把代入得：， 解得， 经检验，是方程的解， 平移的距离为． 求出，可得反比例函数的解析式为，令得，即得； 设平移的距离为，可得平移后中点坐标为，代入得：，即可解得答案． 本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的平移，解题的关键是读懂题意，求出相关点的坐标． 24.本小题分 家用投影仪逐步被大众所喜爱图是投影仪投屏情景图，图是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角参考数据：，， 求的长度；结果保留整数 求光源投屏最高点与地面间的距离结果保留根号 【答案】的长度约为  光源投屏最高点与地面间的距离为  【解析】解：在中，，， ， ， ， 的长度约为； 过点作，垂足为， 由题意得：四边形是矩形， ，，， ， ， 在中，， ， 光源投屏最高点与地面间的距离为． 在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答； 过点作，垂足为，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得，，，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25.本小题分 如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，与相交于点． 求证：是的切线； 若的半径为，点为弧的中点，，求的长． 【答案】为的直径，点，为上的两个点，延长至，使， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ，即， 是的切线   【解析】证明：为的直径，点，为上的两个点，延长至，使， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ，即， 是的切线； 解：的半径为， ， 由可知，，， ， 在中，， 点为弧的中点， ， ， 在中，． 由圆周角定理可得，由直径所对的圆周角为直角可得，从而得到，命题得证； 根据题意可得，由可知，，，使用三角函数计算得，根据圆周角定理可得，再使用三角函数计算出即可． 本题考查相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 26.本小题分 如图，在中，，点，分别在，的延长线上，∽，连接． 提出问题：当时． 如图，若，，共线，求证：； 如图，若的延长线交于点，求证：． 问题拓展：如图，，，，，分别与，交于，，请直接写出的值用含，的式子表示． 【答案】， ， ∽， ，， ， ， ，， ； 在上截取一点，使得，如图所示： ，， ，， ∽，且， ≌， ，， ，， ， ≌， ，， ， ， ；    【解析】证明：， ， ∽， ，， ， ， ，， ； 在上截取一点，使得，如图所示： ，， ，， ∽，且， ≌， ，， ，， ， ≌， ，， ， ， ； 解：过点作，交的延长线于点，如图所示： 由，可设，， ，， ，即， ∽， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，∽， ， ， ，， ∽， ， ， ， ． 由题意易得，，，则有，然后问题可求解； 在上截取一点，使得，由题意易得≌，则有，，然后可得≌，进而可得，最后问题可求证； 过点作，交的延长线于点，由，可设，，由题意易得，，，，然后可得，则有，，进而问题可求解． 本题考查了全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键． 27.本小题分 如图，开口向下的抛物线经过点，顶点为，和直线交于另一点，动点从点出发，沿着抛物线向点运动，到达点后立即停止过点作轴的垂线，与线段或者上方的抛物线交于另一点，过作轴垂线交于，以和为边作矩形，该矩形被分成上、下两部分，其面积分别记为和，设点的横坐标是，已知当点运动时，由逐渐增大到后又逐渐减小到． 填空：______； 当时，求的范围； 若，点在运动过程中能否使得：：，若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】    能，  【解析】设的横坐标为，则，，如图， 则，， 轴， ， ， ，即， 故答案为：． 抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为：， 将代入抛物线，可得：， ， 当在抛物线上时，如图，设交于， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 和在直线上， ， ，， ，， 当与重合时，面积最大， ，， 当在线段上时，如图： ， 为等腰直角三角形， ， ，在时恒成立， 在时恒成立， 时，， ， ； 能； ， 由可知，此时，在线段， 最大值为， 的最大值为， 当时，， 解得：或， ， 舍去， ， 在上时，：：， 当：：时，在抛物线上， ， 整理得： 解得：或在轴左侧，舍去， 根据直线斜率和其与轴夹角之间的关系进行求解即可； 根据所在位置不同分类讨论，然后根据两种情况下，最大值是，求的取值范围； 由可知，此时所在的位置，然后根据最大值是求出的值，再根据对应情况的两个图形面积比求出的值，即得的坐标． 本题主要考查了二次函数综合题，题目较为负责，注意需要根据的位置进行分段讨论． 第22页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9. 答案不唯一  10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18. ，．  19. 解： ， ， ， 原式．   20.    21.      名  22. ， ， ， ， ， 四边形是矩形    23. 反比例函数的解析式为，  平移的距离为  24. 的长度约为  光源投屏最高点与地面间的距离为  25. 为的直径，点，为上的两个点，延长至，使， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ，即， 是的切线   26. ， ， ∽， ，， ， ， ，， ； 在上截取一点，使得，如图所示： ，， ，， ∽，且， ≌， ，， ，， ， ≌， ，， ， ， ；    27.     能，  【解析】 1. 解：由数轴得点离原点最远，其绝对值最大， 故选：． 根据数轴上的点离原点越远，其绝对值越大判断即可． 本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 2. 解：、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意． 故选：． 根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算． 本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 3. 解：， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故选：． 根据平行线的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，进而解答即可． 此题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的判定与性质得出解答． 4. 解：图中“空白部分”是保持为的正方形，因此面积为，图中“空白部分”的面积也可以看作大正方形与阴影部分面积差，即， 所以有， 故选：． 用两种方法分别用代数式表示图中“空白部分”的面积即可． 本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 5. 解：某班组织全班名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖．如图所示的数据可得： 总人数，已知数据的人数为， 分和分人数之和， 分人数为，为最多， 众数为，不受影响； 成绩排序后，不高于分为人，分有人， 第至名均为分， 第和名均为分，中位数为，不受影响； 平均数和方差依赖于分和分人数，因此受影响． 不受影响的是中位数和众数． 故选：． 此题考查了中位数，众数，平均数和方差，根据中位数，众数，平均数和方差的概念逐项判断即可． 本题考查统计量的选择，正确进行计算是解题关键． 6. 【分析】 此题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解决此题的关键． 根据垂径定理可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【解答】 解：连接． 是的弦，， ， ， ， ． 故选A． 7. 解：若函数的图象上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”满足，则称该函数为“函数”， 一次函数，由规定得任意点瞬时变化率， 若为函数，需满足，其中，代入得：， 整理得， ，方程有实根， 该函数是函数，正确； 一次函数是函数，则满足， 整理得， ， ， ，方程总有实根，可以为负数，例如，时方程有实根， 该函数是函数，但函数值随自变量增大而减小，故错误； 二次函数，由规定得顶点处瞬时变化率， 配方得，顶点坐标为， ，不满足函数定义，故错误； 二次函数，顶点横坐标，顶点纵坐标， 顶点处“瞬时变化率”，即， 若，则，此时， 而， 因此只要就满足条件，不一定，故错误． 综上只有正确． 故选：． 根据题目给出的“函数”定义，以及一次函数、二次函数瞬时变化率的规定，逐一判断每个结论，即可得到正确选项． 本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 8. 解：设正方形的边长为即， 已知． 正方形的面积：， 在中，面积， 由勾股定理得斜边． ， 是斜边上的高， 根据三角形面积公式的两种表达方式相等， 可得： ， 和有公共顶点，底边在同一直线上． 在中，， 且， ． ， ， 在中，， ， ． ， 是到的距离． 到的距离． 直线：过且垂直于， ， ， 在：底，高为， ， 点坐标因为，是，在上． 点坐标． 底边长度为． 高为点到轴的距离， 即，， ， ． 结论：两个三角形面积之和恒等于正方形面积的一半， 即因为是正方形的边长，也就是线段的长度， 只要知道的长，就能求出面积和． 故选：． 建立坐标系或利用相似比，分别表示出和的面积．通过代数运算会发现，含变量即的长的项在求和过程中会被消去，最终结果仅与正方形边长有关，即面积和恒等于正方形面积的一半．因此，只需知道边长即可求解． 这道题考查了正方形性质、相似三角形或解析几何以及面积计算的综合运用．解题的关键在于相关知识的灵活运用． 9. 解：二次根式有意义， ， 解得：， 因此，可取任意不大于的实数，例如：． 故答案为：答案不唯一． 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零列式求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 10. 解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 11. 解：， 故答案为：． 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 12. 解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 13. 解：绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 先根据旋转的性质得到，，再根据垂直的定义和互余关系计算出，从而得到的度数． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 14. 解：与位似，位似中心是原点，：：， 位似比为：， ， ，即． 故答案为：． 根据位似变换的性质解答即可． 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 15. 解：延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， 由条件可知，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， 由得：， ， 故答案为：． 延长，交于点，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，，，得到，根据，建立方程求解即可． 本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握值几何意义是关键． 16. 解：如图，过点作的垂线，为垂足，过向作垂线，为垂足，过点向作垂线，垂足为    设，根据题意易得为等腰直角三角形，则：，，  ，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，，    同理可得：  ，  ，  ，即：或  把代入得：或  无解，    解得：，    故答案为：． 通过辅助线构造等腰直角及的两条高线，然后设，由及，推出关于的表达式，再分别求出和关于的表达式，最后通过建立方程，解方程求出即可得到的长度． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数在直角三角形中的应用，勾股定理等，根据题意利用辅助线构建直角三角形是解答本题的关键． 17. 解：原式 ． 利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 解：， 由解得：， 由解得：， 把两解集画在数轴上，如图所示： 则原不等式的解集为：． 分别解两个不等式，取两个不等式解集的交集，并在数轴上表示出来即可． 本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 19. 先化简，再利用整体代入法求值即可． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 20. 明明抽取的牌面数字为奇数的概率为； 故答案为：； 根据题意，画树状图如图： 共有种等可能的结果，两人抽取的牌面数字为一奇一偶的结果有种， 两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 利用概率公式解答即可； 根据题意，画树状图解答即可． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 21. 解：随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项， 由条形统计图可知：选择足球的人数为名，由扇形统计图可知：选择足球的人数占总人数的百分比为， 名， ， 选择排球的人数为名， ， ； 故答案为：，； 选择篮球的人数为名， 由统计图可知：选择羽毛球的人数为名， “羽毛球”对应扇形的圆心角为； 故答案为：； 由可知：选择篮球的人数为名， 名， 估计该校最喜爱篮球运动的学生有名． 由条形统计图可知：选择足球的人数为名，由扇形统计图可知：选择足球的人数占总人数的百分比为，用除以它所对应的百分比即可求出总人数；根据选择排球的人数为名即可求出它所占的百分比； 利用调查的总人数减去选择足球、排球、羽毛球的人数得到选择篮球的人数，补全条形统计图； 根据选择羽毛球的人数和调查的总人数求出选择羽毛球的人占的百分比，根据百分比求出对应的扇形的圆心角度数； 根据调查的人数中选择篮球的百分比估计全校喜欢篮球的人数． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 22. 证明：， ， ， ， ， 四边形是矩形； 解：四边形是矩形，平分， ，即， 又， ， 又矩形的对角线互相平分且相等， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 矩形的面积． 由平行线的性质易证，得出，即可得出结论； 由矩形和角平分线的性质得出，则，再推出，证明是等边三角形，求出，求出的长即可求解． 本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点及运用数形结合思想是解题的关键． 23. 解：点、的刻度分别为和， ， ， ， 把代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 直尺的宽度为， ， ， 在中，令得， ； 设平移的距离为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 平移后中点坐标为， 把代入得：， 解得， 经检验，是方程的解， 平移的距离为． 求出，可得反比例函数的解析式为，令得，即得； 设平移的距离为，可得平移后中点坐标为，代入得：，即可解得答案． 本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的平移，解题的关键是读懂题意，求出相关点的坐标． 24. 解：在中，，， ， ， ， 的长度约为； 过点作，垂足为， 由题意得：四边形是矩形， ，，， ， ， 在中，， ， 光源投屏最高点与地面间的距离为． 在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答； 过点作，垂足为，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得，，，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 证明：为的直径，点，为上的两个点，延长至，使， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ，即， 是的切线； 解：的半径为， ， 由可知，，， ， 在中，， 点为弧的中点， ， ， 在中，． 由圆周角定理可得，由直径所对的圆周角为直角可得，从而得到，命题得证； 根据题意可得，由可知，，，使用三角函数计算得，根据圆周角定理可得，再使用三角函数计算出即可． 本题考查相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 26. 证明：， ， ∽， ，， ， ， ，， ； 在上截取一点，使得，如图所示： ，， ，， ∽，且， ≌， ，， ，， ， ≌， ，， ， ， ； 解：过点作，交的延长线于点，如图所示： 由，可设，， ，， ，即， ∽， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，∽， ， ， ，， ∽， ， ， ， ． 由题意易得，，，则有，然后问题可求解； 在上截取一点，使得，由题意易得≌，则有，，然后可得≌，进而可得，最后问题可求证； 过点作，交的延长线于点，由，可设，，由题意易得，，，，然后可得，则有，，进而问题可求解． 本题考查了全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键． 27. 设的横坐标为，则，，如图， 则，， 轴， ， ， ，即， 故答案为：． 抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为：， 将代入抛物线，可得：， ， 当在抛物线上时，如图，设交于， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 和在直线上， ， ，， ，， 当与重合时，面积最大， ，， 当在线段上时，如图： ， 为等腰直角三角形， ， ，在时恒成立， 在时恒成立， 时，， ， ； 能； ， 由可知，此时，在线段， 最大值为， 的最大值为， 当时，， 解得：或， ， 舍去， ， 在上时，：：， 当：：时，在抛物线上， ， 整理得： 解得：或在轴左侧，舍去， 根据直线斜率和其与轴夹角之间的关系进行求解即可； 根据所在位置不同分类讨论，然后根据两种情况下，最大值是，求的取值范围； 由可知，此时所在的位置，然后根据最大值是求出的值，再根据对应情况的两个图形面积比求出的值，即得的坐标． 本题主要考查了二次函数综合题，题目较为负责，注意需要根据的位置进行分段讨论． 第2页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识如图，自行车的车把手与地面平行后轮支撑结构为，，，前轮支撑结构，互相平行已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式比如在学习“整式的乘法”时，由图可得等式图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为(    ) A. B. C. D. 5.为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是(    ) 成绩分 人数 A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 6.如图，是的弦，交于点，点是优弧上一点，若，则(    ) A. B. C. D. 7.定义：若函数的图象上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”满足，则称该函数为“函数”规定：对于一次函数，其图象上任意一点的“瞬时变化率”均为；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为下列结论正确的是(    ) 一次函数是函数； 若一次函数是函数，则函数值一定随自变量的增大而增大； 二次函数是函数； 二次函数是函数，则一定有． A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，点，分别在边，上不与端点重合，且，连结，过点作于点，连结，若要求出与的面积的和，只需知道下列哪条线段的长(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.当        时，二次根式有意义写出一个合理的值即可． 10.据统计，人的头发直径约微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为        ． 11.分解因式：        ． 12.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为        ． 13.如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于        ． 14.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，已知：：，则的对应点的坐标是        ． 15.如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、若，：：，则的值是        ． 16.如图，在中，，点在延长线上，点在上，交于点，若，，则的长为            ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算：． 18.本小题分 解下列不等式组，并将它们的解集在数轴上表示出来． 19.本小题分 先化简，再求值：，其中满足． 20.本小题分 中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔泰、南岛、南亚、印欧这五大语系明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们做了如下游戏方案进行选择：从一副普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后，明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀，亮亮再随机抽取一张若两人抽取的牌面数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌面数字为一奇一偶，则以亮亮的选择为准． 明明抽取的牌面数字为奇数的概率为______； 请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 21.本小题分 为深入落实“健康第一”教育理念，以健康学校建设为引领，强化五育并举，某中学积极响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、篮球、排球、羽毛球四项球类体育社团，倡导学生全员参与为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项，将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______； 补全条形统计图； 扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； 若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少名？ 22.本小题分 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分交于点，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，求矩形的面积． 23.本小题分 如图，平行于轴的直尺一部分与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点和，点、的刻度分别为和，直尺的宽度为，． 注：平面直角坐标系内一个单位长度为 求反比例函数的解析式，并直接写出点的坐标； 沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在反比例函数图象上时，求平移的距离． 24.本小题分 家用投影仪逐步被大众所喜爱图是投影仪投屏情景图，图是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角参考数据：，， 求的长度；结果保留整数 求光源投屏最高点与地面间的距离结果保留根号 25.本小题分 如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，与相交于点． 求证：是的切线； 若的半径为，点为弧的中点，，求的长． 26.本小题分 如图，在中，，点，分别在，的延长线上，∽，连接． 提出问题：当时． 如图，若，，共线，求证：； 如图，若的延长线交于点，求证：． 问题拓展：如图，，，，，分别与，交于，，请直接写出的值用含，的式子表示． 27.本小题分 如图，开口向下的抛物线经过点，顶点为，和直线交于另一点，动点从点出发，沿着抛物线向点运动，到达点后立即停止过点作轴的垂线，与线段或者上方的抛物线交于另一点，过作轴垂线交于，以和为边作矩形，该矩形被分成上、下两部分，其面积分别记为和，设点的横坐标是，已知当点运动时，由逐渐增大到后又逐渐减小到． 填空：______； 当时，求的范围； 若，点在运动过程中能否使得：：，若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $