精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026年度阶段作业检查 七年级•数学

湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026年度6月作业检查 七年级·数学 时量：120分钟总分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在下列实数中，无理数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B. 为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C. 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D. 为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是线段 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 锐角三角形的三条高不一定交于一点 D. 三角形的高和中线一定在三角形的内部 6. 如图，是的一个外角，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（ ） A. 15 B. 10 C. 7.5 D. 5 8. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是________． 13. 是关于，的二元一次方程，则_____． 14. 若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为______． 15. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 16. 若关于的一元一次方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 三、解答题（17-19每题6分，20-21每题8分，22-23每题9分，24-25每题10分，共72分） 17. 解不等式及不等式组： （1）； （2），并把解集在数轴上表示出来． 18. 已知的立方根是，的算术平方根是1． （1）求a，b的值． （2）若，且c是整数，求的平方根． 19. 读懂下面的推理过程，并填空理由或数学式 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，，求证：． 证明：如图2，延长交于点， （已知）， （_____）， 又（已知）， ______等量代换） （______） ______（两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （______） （______） 20. 4月23日，为迎接第29个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛，现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：，B组：，C组：，D组：，x表示成绩，成绩为整数）． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽取学生人数为______人，______，扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数为______°． （2）补全频数分布直方图； （3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有多少人． 21. 如图所示，三角形ABC中三个顶点的坐标分别为，三角形中任意一点平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． （1）画出三角形，直接写出点坐标； （2）求三角形ABC的面积； （3）已知点P在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，求P点坐标． 22. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 23. 某超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A，B两种型号的电器的销售单价； （2）若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器后利润高于1800元．请求出相应的采购方案． 24. 对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． （1）直接写出：______，______； （2）若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； （3）若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 25. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）若a、b满足，求点A、点B的坐标； （2）若点为直线上一动点（点Q异于点A、B），在（1）的条件下，，求Q点横坐标m的取值范围； （3）若a、b、c符合，且满足，，t是代数式的最大值，C点的坐标是，是第一象限内线段上方的动点，连交直线于E点，当，且代数式取最大值时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026年度6月作业检查 七年级·数学 时量：120分钟总分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在下列实数中，无理数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，然后根据无限不循环小数是无理数求解． 【详解】解：A选项，是整数，属于有理数，不符合要求； B选项，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； C选项，是分数，属于有理数，不符合要求； D选项，，是整数，属于有理数，不符合要求． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在第二象限的符号特征是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有， 故选：C． 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，，不符合题意； 选项B：，，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，，符合题意； 故选：D． 4. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B. 为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C. 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D. 为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，根据抽样调查和全面调查的特点即可判断求解，掌握抽样调查和全面调查的特点是解题的关键． 【详解】解：为了解某小区居民天然气安全情况，应选择全面调查，故选项符合题意； 为了解全国初中生每周做家务的时间，应选择抽样调查，故选项不符合题意； 为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，应选择全面调查，故选项不符合题意； 为了解一批节能灯的使用寿命，应选择抽样调查，故选项不符合题意； 故选：． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是线段 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 锐角三角形的三条高不一定交于一点 D. 三角形的高和中线一定在三角形的内部 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．三角形的角平分线是三角形一个角的顶点和它对边交点之间的线段，说法正确，本选项符合题意； B．应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法缺少条件，错误，故本选项不符合题意； C．锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，原说法错误，故本选项不符合题意； D．三角形的中线一定在三角形内部，但三角形的高不一定在三角形内部，例如钝角三角形的两条高在三角形外部，原说法错误，故本选项不符合题意． 6. 如图，是的一个外角，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 7. 如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（ ） A. 15 B. 10 C. 7.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 8. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：把代入得到， ∴， 故选：D 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 10. 如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到，再变形即可判断④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵平分， ∴，即 ∵， ∴，故③正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 又， 代入得 ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是________． 【答案】200 【解析】 【分析】此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位． 根据样本容量的定义解答即可． 【详解】解：4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是200． 故答案为：200． 13. 是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 14. 若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ②若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标为正数，纵坐标为负数， 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，且点到轴和轴的距离分别是、， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为. 16. 若关于的一元一次方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先解一元一次方程得到，则由题意可得是正整数，据此可求出或或，再分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组有解求出a的取值范围，进而确定a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴，即，且是正整数， ∴或或， ∴或或， 解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组有解， ∴， 解得， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 三、解答题（17-19每题6分，20-21每题8分，22-23每题9分，24-25每题10分，共72分） 17. 解不等式及不等式组： （1）； （2），并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴见详解 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再合同同类项，系数化1 ，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，得出，根据要求用数轴表示不等式组的解集，即可作答． 【小问1详解】 解： 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 【小问2详解】 解： 由，得出 由，得出 ∴不等式组的解集为 数轴如图所示： 18. 已知的立方根是，的算术平方根是1． （1）求a，b的值． （2）若，且c是整数，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于a、b的方程组，求解方程组得到a、b的值； （2）先估算的范围确定c的值，再将a、b、c的值代入求出结果，最后求其平方根． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得． 【小问2详解】 解：∵，且c是整数，， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴的平方根是． 19. 读懂下面的推理过程，并填空理由或数学式 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，，求证：． 证明：如图2，延长交于点， （已知）， （_____）， 又（已知）， ______等量代换） （______） ______（两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （______） （______） 【答案】故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 20. 4月23日，为迎接第29个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛，现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：，B组：，C组：，D组：，x表示成绩，成绩为整数）． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽取学生人数为______人，______，扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数为______°． （2）补全频数分布直方图； （3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有多少人． 【答案】（1）60，60，36 （2）图见解析 （3）估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有2240人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据D组人数和所占百分比即可求出本次抽取学生人数；C组人数除以总人数化成百分比即可求出m；求出A组所占百分比，再乘以即可得到扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数； （2）先求出B组人数，再补全频数分布直方图即可； （3）将学生答题成绩处于C组和D组所占百分比的和乘以3200即可作出估计． 【小问1详解】 解：∵D组6人，占， ∴本次抽取学生人数为：（人）； ∵C组36人， ∴， ∴； A组所对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：60，60，36； 【小问2详解】 解：B组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有：（人）， 答：估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有2240人． 21. 如图所示，三角形ABC中三个顶点的坐标分别为，三角形中任意一点平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． （1）画出三角形，直接写出点坐标； （2）求三角形ABC的面积； （3）已知点P在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，求P点坐标． 【答案】（1）见解析， （2） （3）点P坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移和作图，以及利用网格求三角形面积，解题的关键是能够根据点平移前后的坐标判断出平移方式，并熟练掌握平移的性质． （1）根据题意确定平移方式，然后作图即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积； （）设点P坐标为，利用三角形面积公式得，然后解方程，从而得到点坐标． 【小问1详解】 解：∵三角形中任意一点平移后对应点为， ∴平移方法为先向左平移3个单位长度，然后向上平移2个单位长度， 如图，三角形为所求．； 【小问2详解】 【小问3详解】 点P在y轴上 ∴设点P坐标为 ，且 或 点P坐标为或 22. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 某超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A，B两种型号的电器的销售单价； （2）若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器后利润高于1800元．请求出相应的采购方案． 【答案】（1）A， B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元 （2）有以下两种采购方案： 方案1：采购A型号的电器21台，B型号的电器19台； 方案2：采购A型号的电器22台，B型号的电器18台 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式组的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设A， B两种型号电器的销售单价分别为元，元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设采购型号电器台，则采购型号电器台，由此列不等式组求解得到或，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：设A， B两种型号电器的销售单价分别为元，元， 依题意得， 解得， 答：A， B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元． 【小问2详解】 解：设采购型号电器台，则采购型号电器台， 依题意得 ， 解得， 为整数， 或，则，， 有以下两种采购方案： 方案1：采购A型号的电器21台，B型号的电器19台； 方案2：采购A型号的电器22台，B型号的电器18台． 24. 对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． （1）直接写出：______，______； （2）若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； （3）若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件列二元一次方程组求出a、b的值，得到新运算的表达式； （2）问先化简方程组得到t的范围，再根据不等式组的解集确定t的范围，最后化简所求不等式得到解集； （3）化简不等式组得到解集，结合整数解个数和已知条件求出m的范围． 【小问1详解】 解：∵，，． ∴ ，解得 ， 【小问2详解】 解：由（1）可得：，，则， ∵关于x，y的方程组， ∴， 可得：，即， ∵ ∴，解得：， ∵关于p的不等式组， ∴，解得：， ∵关于p的不等式组的解集为， ∴，即， ∴， ∵关于s的不等式， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， 关于x的不等式组可化为：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：，即 ∵关于x的不等式组有4个整数解， ∴， ∵有四个整数解， ∴设最小的整数解为k，最大的整数解为，则 ，整理得：， ∵方程组有解， ∴，解得：， 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 综上，m的取值范围为． 25. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）若a、b满足，求点A、点B的坐标； （2）若点为直线上一动点（点Q异于点A、B），在（1）的条件下，，求Q点横坐标m的取值范围； （3）若a、b、c符合，且满足，，t是代数式的最大值，C点的坐标是，是第一象限内线段上方的动点，连交直线于E点，当，且代数式取最大值时，求． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，则，表示出，，再结合，得出，分情况计算即可得出结果； （3）先求出，，结合，求出，表示出，当时，有最大值，即，此时，，，，求出，得到，由，得出，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线上一动点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 解得， ∴， 当时，，此时， 解得，与矛盾，故无解； 当时，，此时， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴两式相加可得， ∴， 将代入得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵ ， ∴当时，有最大值为，即，此时， ∴，， ∴， ∵C点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $