福建省厦门双十中学2025-2026学年高一第二学期第二次月考数学试题

厦门双十中学2025-2026学年第二学期第二次月考 高一数学试题参考解答 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】BD 10．【答案】BCD 11．【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，解得．（2分） （2）平均数为（4分） 设中位数为； 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为，所以，（6分） 则，解得，故中位数为75．（8分） （3）由题意得，成绩在有 人，成绩在有 人， 则这两组成绩的总平均数为，（10分） 总方差为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）梯形中，，，， ，． 取的中点，连接，易知四边形为正方形， ，可知． ，（3分） 又翻折前，翻折后， 平面平面，平面平面，平面，平面，（5分） 平面，，（6分） 又，，直线平面（7分） （2）设点到平面的距离为， 【法一：等体积法】由（1）可知直线平面，所以点到平面的距离为， 因为翻折后，所以，（9分） 因为直线平面，所以，所以， 由（1）可知平面，所以，所以， 由，解得，（11分） 【法二：直接法】在中过作，垂足为，下证平面． 由（1）可知平面，平面，所以， 又，，平面（9分） 由（1）可知直线平面，所以， 在中，，，（11分） 设点到平面的距离为，则由解得，（13分） 又，所以， 设直线与平面所成角为，则，（14分） 直线与平面所成角的正弦值为（15分） 17．（15分） 【详解】（1）如图， 作，因，，则， 又，，则，所以矩形，（2分） 又，，则（3分） 设，则，所以在，中，，，（5分） 又，所以，（7分） 解得，所以；（8分） 法二：如图， 作，设，则． 因，，则， 又，则，．（2分） 又，，则（3分） 又，则（4分） 由正弦定理：，（5分） 得：（6分） ，则；（8分） （2）设，其中．则，，，（9分） ，（11分） 令，则，．（13分） ，当且仅时取等号（14分） 则此时最小，从而最大（15分） 18.（17分） 【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件，由已知，， 事件包含两种情况：第一种数字接收正确数字错误，概率为：， 第二种数字接收错误数字正确，概率为：，所以；（4分） （2）（i）由发送的数据为“011”可知，事件表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，②数字0错误，数字1都错误，（5分） 所以，（6分） 事件表示接收到的数据中含三个0，只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，（7分） 所以，（8分) 由得：，（9分） 化简得， 又，，上式可化为：或（舍去）；（11分） （ii）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为，（12分） ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为，（13分） ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 （14分） ，（15分） ，，又且，， 令，则，（16分） ，记，，由二次函数的性质可知，在单调递减， 得最大值为，即的最大值为（17分） 19.（17分） 【详解】（1）由题，四边形在球的一个截面的圆周上，故，（1分） 又，故，故，由平面，平面，得，(3分) 又，平面，平面，故平面，(4分) 又平面，故平面⊥平面（5分） （2）过点在平面内作，垂足为点， 由平面平面，平面平面，平面， 可得平面，记四棱锥的体积为，（6分） 则， 因为，所以， 由平面，平面，得，故， 于是，当且仅当时取等号， 由，得，（8分） ，由，得， 故，当且仅当时取等号，于是，（9分） 故，故四棱锥体积的最大值为（10分） （3）取线段的中点，连接、， 因为，为的中点，故， 因为，，，由等面积法可得， 由，设，则，所以， 整理得，解得，即， 因为，，所以，故， 在中，，，由余弦定理可得， 当时，， 此时，此时； 当时，， 此时，此时。综上所述，，（14分） 所以，当且仅当、、三点共线时，等号成立，即最大值为， 设与平面所成角为，当取最大值时，最小，此时取最小值， 所以，此时， 即，故当时，直线与平面所成角的余弦值的最大值为（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2025-2026学年第二学期第二次月考 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是 A．图（1）：平均数中位数众数 B．图（2）：众数平均数 C．图（3）：众数中位数平均数 D．图（3）：众数平均数中位数 3．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D．或 4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，从中不放回随机抽取2个球，则取出的2个球中至少有1个白球的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正三棱柱中，，设和所成角为，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且．记该棋手连胜两盘的概率为，则（ ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 10．已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则在上的投影向量为 B．若，，两两的夹角相等，且，，，则 C．若，且，则为等边三角形 D．若，且，则的面积是面积的 11．如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（ ） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体的棱长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一组数据19、5、4、13、、、1、2、16、3的第分位数为9（其中），则最小值为             13．已知中，角，，的对边分别为，，，且，点在线段上，且，，则的值为            ． 14．如图，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，将沿翻折至，翻折过程中四棱锥外接球半径的最小值为            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 16．（15分） 如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面． （1）证明：直线平面； （2）设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 如图，线段，都垂直于线段，，，， （1）求线段的长度； （2）点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 18．（17分） 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为． 假设每次数字的传输相互独立，且            ． （1）若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； （2）用表示收到的数字串，将中数字0的个数记为，如，则，对应的概率记为． （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值． 19．（17分） 如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当时，求直线与平面所成角的余弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $