精品解析：辽宁大连市第八中学2025-2026学年度下学期高二年级4月份阶段测试数学试题

2025—2026学年度下学期高二年级4月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 8 B. 18 C. 20 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别令和求得，，再求和即可. 【详解】因为数列满足对任意的，都有，， 所以，当时，，解得； 当时，，解得； 所以 2. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 3. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】根据题意知，符合5的倍数的牌有两张，分别是5和10，则, 事件有两种情况，第一次抽5且第二次抽的比第一次小，和第一次抽10且第二次抽的比第一次小，则. 根据条件概率公式可知. 故选：C. 4. 一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干可列出，，结合全概率公式列出等式即可求解. 【详解】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件， 根据题意，，，. 根据全概率公式，，代入已知， 得：，解得. 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，，结合作差法可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且数列为单调递减数列， 所以对任意的，，即， 可得对任意的恒成立，所以， 解得，故实数的取值范围是. 6. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 7. 已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案. 【详解】由得：，，，……，， 不等式左右两边分别相加，得， 消去两边相同的项得，， 所以； 取数列满足，，，且对且有. 满足，，但.不满足. 即“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为，设，可得出的表达式，根据与的关系求出，求出数列的公差，可得出关于的等式，求出的值，可得出数列的通项公式，进而可得出的值. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为， 设，则， 当时，， 当时， ， 也满足，即，故， 所以， 因为数列的公差为， 所以，解得或， 若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去； 若，则，对任意的，，符合题意， 故， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两点分布中，时，方差最大 B. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断与独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：两点分布的方差公式为（其中为成功概率）， 将其视为关于的二次函数，开口向下，顶点在处， 此时方差最大值为，故A正确； 对于B：设查得次品数为，则服从超几何分布， 其中（产品总数），（次品数），（抽取的产品数）， 根据超几何分布的均值公式，可得，故B正确； 对于C：根据独立性检验的统计量的计算公式为（其中为样本量），若所有数据扩大10倍， 则新数据为， 代入公式得：， 所以统计量的值变为原来的10倍，结论会改变，故C错误； 对于D：已知，，因为， 所以依据的独立性检验，可判断与独立，故D正确. 10. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 【答案】30 【解析】 【分析】由题意，可得正态分布的均值，根据正态分布曲线的对称性，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以均值， 由，根据正态分布曲线的对称性可得， 所以， 所以学生数学成绩在130分以上的总人数为. 故答案为：30 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知， ， ， ． 14. 设，数列满足下列条件：，，，且对任意的，，都存在使得，其中互不相等，则数列前13项和为______． 【答案】39 【解析】 【分析】分析得到前13项中各元素的个数，再求和即可. 【详解】由，数列满足下列条件：， 可得数列不是递减数列，且必会出现， 设数列前13项中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列前13项中的1，由于前13项中必有2，不妨设，对于， 则存在，使得，不妨设， 而对于，，则必有，即，故； 对于数列前13项中的5，同理，由于，同理可得； 对于数列前13项中的2，由于，可得； 对于数列前13项中的4，由于，可得； 对于数列前13项中的3， 由于，，，，，故， 所以，，， 所以前13项和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或事先源、 15. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）记为的前n项和，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造等差数列递推来证明即可； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 因为，当时，根据，则，所以， 则由题意可得：， 即．所以是公差为2的等差数列． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 由于， 所以． 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】（1），具有很强的正相关性 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； 【小问2详解】 由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 已知数列各项均不为零，，，. （1）当时，求的前50项和； （2）若，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可； （2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； 【小问2详解】 由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1），若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的数学期望； （2）时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】（1） （2），，， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二项分布概率公式计算相应概率，再代入离散型随机变量公式计算求解； （2）用分类讨论方法求条件概率； （3）利用全概率公式求出递推关系，结合概率单调性证明结论． 【小问1详解】 的可能取值为1，3，5，， ，， ． 【小问2详解】 当时，， 故乙最终获胜，则， 当时，，， 故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故， 当时，，， 最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故， 当时，， 故甲最终获胜，故． 【小问3详解】 证明：结合（2），由全概率公式得： ， ， 当时，， 又 ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期高二年级4月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 8 B. 18 C. 20 D. 27 2. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两点分布中，时，方差最大 B. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断与独立 10. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 14. 设，数列满足下列条件：，，，且对任意的，，都存在使得，其中互不相等，则数列前13项和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或事先源、 15. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）记为的前n项和，求数列的前n项和． 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 17. 已知数列各项均不为零，，，. （1）当时，求的前50项和； （2）若，求正整数的最小值. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1），若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的数学期望； （2）时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $