精品解析：广西南宁市第三中学2026年毕业班适应性测试 数学

2026届毕业班适应性测试 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选错、多选或未选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图为一个积木示意图，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵主视图为从几何体的正面看到的形状图， ∴该几何体的主视图为． 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，把点向上平移个单位长度后得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把点向上平移个单位长度后得到的点的坐标为，即． 6. 一次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知点坐标代入解析式，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入得：， 移项得：， 解得：． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ，∴ A选项正确； ∵ ，∴ B选项错误； ∵ ，∴ C选项错误； ∵ ，∴ D选项错误． 8. 如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求解即可． 【详解】解∶ 该正八边形的内角和的度数为∶． 9. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 10. 如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（ ）米． A. B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据题意可得三角形是直角三角形，然后利用30度角的正切求解即可. 【详解】解：∵与河岸垂直，，米， ∴（米）； 故选：A. 11. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得： 锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种， 则P（一次打开锁）． 故选：B. 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 12. 定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新运算定义得到b与a的关系，代入方程后整理，根据方程对任意a都成立的性质，得到关于x，y的二元一次方程组，求解即可得到公共解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， 将代入方程，得，， 整理得：， ∵取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意恒成立， ∴， 解得， ∴公共解为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 单项式的系数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数， ∴单项式的系数为． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法进行因式分解即可求解． 【详解】解：． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m． 【答案】4 【解析】 【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是△ABC的中位线，进而得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此即可求出． 【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键． 16. 如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 【详解】解：过点A作于M， 是等边三角形，边长为6， ， ， ， ， ， 在中，， 当点E在DA延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据含有乘方的有理数混合运算法则计算即可； （2）根据解方程的基本步骤求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ， ， 经检验，时，， 故是原方程的根． 18. 如图，射线在外，． （1）在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：； 【答案】（1）图见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确画出图形是解题关键． （1）根据题意，在射线上截取，连接即可； （2）利用全等三角形的判定方法结合得出答案． 【小问1详解】 解：作图如图， 【小问2详解】 证明：在和中 19. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句的背诵情况，并根据调查结果绘制成如下统计表． 数量 3条 4条 5条 6条 7条 8条 人数 10 m 15 40 25 20 请根据调查的信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图． （2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为_______，表格中m的值为________． （3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数． （4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动的效果． 【答案】(1)画图见解析；(2)4.5，10；(3)450；(4)分析见解析，活动效果好． 【解析】 【分析】(1)根据题意可知背诵5条的学生占扇形统计图圆心角，结合条形统计图信息计算出抽查总人数，总人数减去其他已知人数就是背诵4条安全警句的人数；画出条形统计图即可． (2)根据上一小题可知抽查总人数为120人，活动启动之初第60名同学背诵4条，第61名同学背诵5条，中位数为，表格中m的值为抽查总人数减去其他条数背诵人数，计算得出答案即可． (3)用全校总人数乘活动后抽查背诵出安全警句至少7条的人数占抽查人数的比例，计算得出答案即可． (4)可以从中位数、众数的角度计算、分析，从而得出结论． 【详解】解：(1)∵背诵5条安全警句的有20人，在扇形统计图中圆心角为， ∴抽查总人数为（人）， ∴背诵4条安全警句的人数为：（人）． 补全条形统计图，如图． (2)根据上一小题可知抽查总人数为120人，活动之初按背诵条数由少到多排列，第60名同学背诵4条，第61名同学背诵5条， ∴活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为； 表格中m的值为：． (3) 抽查学生背诵出安全警句至少7条的人数为：（人）， 估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数， （人）． (4)大赛活动启动之初中位数为，众数为4条； 大赛活动启动之后中位数为6条，众数为6条． 从大赛活动前后抽查的中位数、众数来看，学生安全警句的背诵情况明显提高，活动效果好． 【点睛】本题考查了画条形统计图，求中位数、众数，由样本频数估计总体频数，从条形统计图和扇形统计图中关联数据信息，根据所学知识进行数据获取、分析并计算是解题关键． 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）连接，交于点，若，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径的性质得出，得出，再由，得出，等量代换得到，即可得出结论； （2）由勾股定理即可求的长． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 （1）请根据以上信息，求k的值（单位：）． （2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? （3）某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 【答案】（1） （2）旋转半径r至少为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合表格信息代入计算即可； （2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：当时，， 因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小， 所以当时，， 即旋转半径r至少为． 【小问3详解】 解：当时，，即， 如图，过点B作于点E，作于点F， 因为， 所以， 因为四边形为矩形， 所以， 所以． 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数解析式和顶点坐标； （2）若函数图象经过点，，求证：； （3）已知函数图象经过点，，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1）函数解析式为，顶点坐标为 （2）证明：∵函数图象经过点，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）根据二次函数解析式可得函数图象开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴越远，其纵坐标越大，根据得到点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，据此列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，其纵坐标越大， ∵函数图象经过点，，都有成立， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，即， ∴或， ∴或． 23. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． （1）【图特殊化】如图，在正方形中，，交于点，则与的数量关系是 ； （2）【探究证明】如图，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点； 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） （3）【结论应用】如图，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，，求折痕的长； （4）【拓展运用】如图，在四边形中，，，．点、分别在线段、上，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点， ， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形、均为平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 乙方案：如图，过点作交于点，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴,,, ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∵，， ∴,, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，可得，，证明，即可证得结论； （2）甲方案：由平行四边形的判定和性质，证明，可得，即可证得结论；乙方案：由矩形的判定和性质，证明，可得，即可证得结论； （3）根据勾股定理，可得，利用（2）结论即可求出结果； （4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，证明，证明，可得，由勾股定理可得，，可得，证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由矩形的性质可得，，， 在中，，，由勾股定理得， 由折叠可得垂直平分， 由（2）可知，， 即， 解得． 【小问4详解】 解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 根据勾股定理，， ∴ ∴，， 当时，（不合题意舍去）, ∴， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届毕业班适应性测试 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选错、多选或未选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为一个积木示意图，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，把点向上平移个单位长度后得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（ ）米． A. B. 24 C. D. 11. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（ 　 ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 单项式的系数是________． 14. 因式分解：______． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是_______m． 16. 如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 如图，射线在外，． （1）在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：； 19. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句的背诵情况，并根据调查结果绘制成如下统计表． 数量 3条 4条 5条 6条 7条 8条 人数 10 m 15 40 25 20 请根据调查的信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图． （2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为_______，表格中m的值为________． （3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数． （4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动的效果． 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）连接，交于点，若，的半径为，求的长． 21. 为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 （1）请根据以上信息，求k的值（单位：）． （2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? （3）某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 22. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数解析式和顶点坐标； （2）若函数图象经过点，，求证：； （3）已知函数图象经过点，，都有成立，求的取值范围． 23. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． （1）【图特殊化】如图，在正方形中，，交于点，则与的数量关系是 ； （2）【探究证明】如图，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点； 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） （3）【结论应用】如图，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，，求折痕的长； （4）【拓展运用】如图，在四边形中，，，．点、分别在线段、上，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $