第04讲 用因式分解法求解一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第04讲用因式分解法求解一元二次方程 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 题型2用十字相乘法求解一元二次方程 题型3用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 题型4用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 题型5新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 题型6换元法解一元二次方程 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解因式分解法的原理（若AB=0,则A=0或B=0)，体会降次思想。 因式分解法、降2.能根据方程特点，选择提取公因式法、平方差公式或完全平方公式分解因 次、积为零、提取式。 公因式、公式法。 3.熟练运用因式分解法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。 4.对比四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方 程特征灵活选择简便方法。 学习重点：运用因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解一元二次方程。 学习难点：根据方程特征灵活选择合适的因式分解方法，以及对含括号或需要变形的方程正确分解。 02 教材全解 ◇ 知1识1框1架 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一边归零 分解因式 解题口诀 各为零根 因式分解法概念 定义 移项时符号错误 依据若ab=0则a=0或b=0 分解因式错误 提公因式法 高频易错点 常用因式分解方法 平方差公式 忽略因式为0条件 公式法 完全平方公式 漏根 用因式分解法求解 元二次方程 十字相乘法x2+(p+q)×+pq型 因式分解计算 解法选择判断 高频考点 移项右边化为0 分解因式 左边分解为因式乘积 解的个数确定 因式分解法解题步骤 转化令每个因式为0 解一元二次方程 因式分解法应用 求解解一元一次方程 方程右边为0 选择依据 左边易于分解 写出两根 知1识1精I讲 知识点01用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0： (2)将方程左边分解为两个一次式的积： (3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程： (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【易错提醒】 必须先化为一般形式并移项使右边为0，再分解因式。注意：不能两边同时除以含未知数的式子，否则会 失根。 即时即练1.用因式分解法解方程 (1)(3x-4)}=9x-12 (2)3(x+2)2=x2-4 2.用十字相乘法解方程 (1)x2-x-90=0 (2)2x2+x-10=0 知识点02常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等 要点：(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积： 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于 0: (3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0：②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式. 【易错提醒】 提公因式时注意符号与漏项；平方差公式看清谁减谁；完全平方公式勿忘中间项；十字相乘要验证交叉 和。分解务必彻底。 即时即练1.用恰当的方法解下列方程 (1)x2+4x-1=0 (2)3x(x-1)=2(x-1) 2.用适当的方法解下列一元二次方程 (1)6x2+2=7x (2)(2x-1)2=(3-x)2 03 题型突破 题型1用因式分解法（除十字相乘法）】 解一元二次方程 【例1】解方程： 2x(x-2)-x+2=0 【例2】解方程：x(x+3)-4(x+3)=0 【技巧归纳】 1.移项整理：方程一边化为0。 2.分解因式：提公因式、平方差、完全平方公式分解。 3.令各因式为零：得两个一元一次方程求解，注意不能两边同除以含未知数的项。 【变式1-1】解方程：2x(x-3)=3(x-3)」 【变式1-2】解方程：3x(x-2)=2(2-x) 3/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4】用因式分解法解方程：x2-7x=2(x-7) 题型2用十字相乘法求解一元二次方程 【例3】用十字相乘法解方程： (1)x2-3x+2=0: (2)x2+5x-6=0; (3)3x2+5x-12=0. 【例4)阅读材料：由多项式乘法得（c+ax+b)=r+(a+b)r+ab,将该式从右到左使用，即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a(x+b). 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1)尝试：分解因式x2+6x+8=(x+x+一)： (2)应用：请用上述方法解方程x2-3x-4=0. (3)拓展：用因式分解法解方程x-a-16=0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为 【技巧归纳】 1.拆首尾：将二次项、常数项分解因数，交叉相乘再相加得一次项系数。 2.横写因式：写成c+p)+0=0形式。 3.快速检验：p叶b,pqc。注意符号调整。 【变式2-1】阅读材料：解方程x+2x-35=0,我们可以按下面的方法解答： (1)分解因式x2+2x-35 ①竖分二次项与常数项： (2)根据乘法原理，若ab=0,则a=0或 x2=xx,35=(-5)x(+7) b=0,则方程x2+2x-35可以这样求解： ②交叉相乘，验中项： 方程左边因式分解得(x-5)(x+7)=0 -5 7x-5x=2x ∴.x-5=0或x+7=0 、+7 x=5,x2=-7 ③横向写出两因式： x2+2x-35=(x-5)(x+7) 试用上述这种十字相乘法解下列方程 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2+5x+4=0: (2)x2-6x+8=0; (3)x2+3x-10=0: 4)x2-6x-7=0. 【变式2-2】阅读与理解： (1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：2x2=2xx,-2=(-2)×1 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(2x+1)(x-2) 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 2x(-2)+x1=-3x (2)例：解方程x2-3x+2=0. 解：(x-2)(x-1)=0, x-2=0或x-1=0, x=2,3=1: 请用上述方法解答下列问题. (3)①因式分解：x2-4x+3=一： ②解方程：2024x2+2019x-5=0: m ③已知m2-6mn+8m2=0(n≠0），求n的值. 题型3用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【例5】下面是小刚同学和小颍同学解一元二次方程5x(3x-2)=2(2-3x)的过程，请仔细阅读并完成相应 的任务. 小刚同学： 小颖同学： 解：5x(3x-2)=2(2-3x).第一步 解：5x(3x-2)=2(2-3x).第一步 5x=-2.第二步 5x(3x-2)-2(2-3x)=0.第二步 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5x-2)3x-2)=0.第三步 解得x=一 5·第三步 5x-2=0或3x-2=0.第四步 2 2 解得rs 或x=3第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第 步开始出现错误.错误的原因是 ②小颖同学的解答过程中，从第。 步开始出现错误.错误的原因是」 任务二：写出该方程的正确求解过程. 【例6】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：4(2y-5)2=9(3y-1) 解：4(2y-5)-93y-1)=0,…第一步 [(4y-10)+(9y-3)][(4y-10)-(9y-3]=0,…第二步 (13y-13)5y-7)=0,…第三步 13y-13=0或5y-7=0,…第四步 7 解得：片=1，为=5…第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据 一一来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解 法”或“直接开平方法”). ②第一步开始出现错误，错误的原因是 任务二：请正确地解该方程， 【技巧归纳】 1.找错误点：检查移项是否漏变号，因式分解是否彻底，有无两边同除含未知因式导致丢根。 2.逆向还原：从错误结果倒推过程，对比正解定位步骤。 3.验证根：代入原方程确认遗漏或增根。 【变式3-1】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务. 解方程：(3x-1)=2(3x-)」 解：方程两边同除以(3x-1),得3x-1=2.…第一步 移项，合并同类项，得3x=3.…第二步 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系数化为1，得x=1.…第三步 任务： ①小明的解法从第， 步开始出现错误； ②此题的正确结果是」 ③用因式分解法解方程：3x(x+2)=2x+4 【变式3-2】按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程3(x-5)=(x-5)'的过程如下框： 小芳： 小华： 解：3(x-5)=(x-5)2, 解：两边同时除以(x-5),得3=x-5,· (x-5)3-x-5)=0 x=8 x-5=0或3-x-5=0, 解得：x=5,2=-2 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是· (2)小芳的解法是（填“正确”或“错误”）.如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方 程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解。 题型4用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 【例7刀菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB长为一元二次方程(x-3(x-5)=0的一个根，则菱形 ABCD的另一条对角线长为一· 【例8】如果△ABC一边长是5，另两边分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两个实数根，那么△ABC是 三角形。 【技巧归纳】 1.列几何关系：用边长、面积、勾股定理等建立方程，化简为一元二次方程。 2.因式分解求根：对方程因式分解，得解。 3.检验取舍：剔除不满足几何条件（如边长非负、三角形三边关系）的根。 【变式41】如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等 7/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 腰三角形的周长为， 【变式42】若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱 形ABCD的周长为. 题型5新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 【例9】定义：如果关于x的一元二次方程r+br+c=0(ac≠0)有一个根是c,那么我们称这个方程为 “黄金方程” (1)判断一元二次方程x2+2x-3=0是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程2xr+br+c=0(c≠0)是“黄金方程”，求代数式b-2c+1的最小值. 【例10】定义：如果关于x的一元二次方程心+br+c=0(a≠0)满足：a+b+c=0,那么我们称这个方 程为“黄金方程” ()判断一元二次方程4xr2-11x+7=0是否为“黄金方程”，并说明理由. (2)已知3x2-mx+n=0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？ 【技巧归纳】 1.读懂定义：将新运算转化为常见代数式（如※b=心-）。 2.列方程：按定义列出方程，化简为标准一元二次方程。 3.因式分解求解：用合适方法分解，解出未知数，注意检验定义域。 【变式5-1】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如x2+x=0是“差 1方程” (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由： ①x2+2x-3=0: ②x2-V13x+3=0 (2)已知关于x的方程2-(m+2)x+2m=0(m是常数)是“差1方程”，求m的值. 【变式52】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方 程”.例如：x2=9和(x-2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x=-3,所以这两个方程为“同伴方 程”. (1)根据定义，判断一元二次方程(x-)=16与x2-4x-5=0是否属于“同伴方程”： 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)关于x的一元二次方程x2-3x+2=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值. 题型6换元法解一元二次方程 【例1】阅读材料：我们在解方程(x-)-5(x-1)+4=0时，可以将x-1看成一个整体，设x-1=y,则 原方程可化为y2-5y+4=0,解得=1，乃=4.当y=1时，x-1=1,解得x=2;当y=4时， x-1=4,解得x=5,原方程的解为=2，x2=5 根据上述材料，解下列方程： 1)(x+5)2-4(x+5)=0: 2)(2y-3)°-18(2y-3)2+81=0 【例12】安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读， 并完成任务】 试题：已知(x+y-3(x+y+4)=-10,求x+y的值. 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设x+y=1, 则原方程可变形为(t-3)(t+4)=-10 即+t-2=0;解得5=-2，=1，x+y=-2或x+y=1 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法 … 任务： 1)已知x、y满足(2x2+y2-12x2+y2-3)=8,求2x2+y2的值. 2)若a、b满足(a2-b2)(a2-b2-5)=6,求(a+b)(a-b)的值. 【技巧归纳】 1.找重复结构：将相同代数式设为新元，如+，、 。 2.化整式方程：解t的一元二次方程，求出t值。 3.回代求解：将t代回原式解出x,并检验（注意分母不为0、根号非负）。 【变式61】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方 法叫做换元法.例：解方程：(2x+3)-8(2x+3)+15=0」 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：将2x+3视为一个整体，设2x+3=y,则原方程可化为：y2-8y+15=0, 因式分解得：（y-3)(y-5)=0,解得y=3,y,=5, 当y=3时，2x+3=3,解得x=0;当y=5时，2x+3=5,解得x2=1: 综上，原方程的解为x=0,x2=1. 请参考例题，解下列方程： (1)3x4-5x2-2=0: 2)(x2-4x)}+3x2-12x-18=0. 【变式62】【阅读材料】 解方程：x-5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,则x=y2,于是原方程可转化为y2-5y+4=0,解得=1，少=4.当y=1时，x2=1,所以 x=±1；当y=4时，x2=4,所以x=±2. 所以原方程有四个根：x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想。 【问题】 1)在解方程(x2+x-4(x2+x)-12=0时，若设y=x2+x,则原方程可转化为 2)若(m2+n2-3(2m2+2n2-4）=8,则m2+n2= 2 (3)参照上面解题的思想方法解方程： -5x。+6=0」 、x-2 r-2 04 过关检测 一、单选题 1.一元二次方程x(x-6)=0的解是() A.x=0 B.x=6 C.x=0,x2=6 D.x=0,x2=-6 2.三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是() A.15 B.13 C.11或8 D.11和13 3.定义一种新运算※，规定：a※b=b-b2,如：1※3=1×3-32=3-9=-6，则方程2※x=0的解为 10/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.x=2 B.x=0,x2=2 C.x=0,x2=-2 D.x=1,x3=2 4.关于x的方程a(x+m)'+b=0的根是x=6,x=-3(a,b,m均为常数，a≠0)，则关于x的方程 a(x+m-4)+b=0的根是() A.x=2,x3=-7 B.x=10,x2=1 C.x=-2,x3=7 D.x=6,x2=3 5.如果两个代数式a,b满足ab=c,且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”，若 2+m5与n-25是关于16的“友好代数式”(m,n是有理数)，则m+n的值为（） 52 52 52 A,5或4 B.-4或4 C.5 D.5或4 二、填空题 6.已知关于x的一元二次方程x(x-2)=x-2,则该一元二次方程的解为 7.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-15x+54=0的根，则三角形的周长为 8.已知关于x的一元二次方程m+1x2-2x+m2+m=0有一根为0，则它的另一个根是 9.若关于x的一元二次方程ax2+br+2=0(a≠0)的根为=2025，x3=1,则一元二次方程 a(x-1)2+bx-b=-2的根为一. 10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方 程x=4和x2-2x=0有且仅有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“牵手方程”.若方程 x2+2x-3=0和(-3)(x+m)=0为“牵手方程”，则m的值为 三、解答题 11,解下列方程： (1)x2-6x=0: (2)2x2+x-1=0 12.解方程 (1)2x2-5x+3=0: (2)x(x-3)=7(3-x) 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.习题课上老师给了一道解方程的题目：x2+3x=2x+6.小马和小明的解法如下： 小马的解法 小明的解法 原方程可化为：x2+x-6=0…第一步， 原方程可化为：x(x+3)=2(x+3)…第一步， .(x-3)(x+2)=0…第二步， 两边都除以(x+3)…第二步， 为=3，x=-2…第三步. .x=2…第三步 ()他们的解法都是错误的，小马从第， 步开始错误，小明从第 步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程。 14.己知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+3m=0 ()求证：此方程一定有两个实数根： (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角形 时，求m的值 l5.对于任意实数a,b,c有(a,b)*c=ab-c,其中等式右边是通常的乘法和减法运算.例如， (（1,2)*3=1×2-3=-1. (1)求关于x的一元二次方程(x,x-)*2=0的解： 2)若关于x的一元二次方程(c,)*(x2+2x-1=0无实数根，求k的取值范围。 16.已知m为实数，关于x的两个方程分别为x2+mx-6=0和x2+x-6m=0. (1)求证：方程x2+mx-6=0一定有两个不相等的实数根： (②)当方程x2+x-6m=0有实数根时，求m的取值范围： 3)当方程x2+mx-6=0和x2+x-6m=0有公共的实数根时，求m的值. 12112 第04讲 用因式分解法求解一元二次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 题型2 用十字相乘法求解一元二次方程 题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 题型6 换元法解一元二次方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 因式分解法、降次、积为零、提取公因式、公式法。 1. 理解因式分解法的原理（若AB=0，则A=0或B=0），体会降次思想。 2. 能根据方程特点，选择提取公因式法、平方差公式或完全平方公式分解因式。 3. 熟练运用因式分解法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。 4. 对比四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特征灵活选择简便方法。 学习重点：运用因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解一元二次方程。 学习难点：根据方程特征灵活选择合适的因式分解方法，以及对含括号或需要变形的方程正确分解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【易错提醒】 必须先化为一般形式并移项使右边为0，再分解因式。注意：不能两边同时除以含未知数的式子，否则会失根。 即时即练1．用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 2．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 知识点02 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【易错提醒】 提公因式时注意符号与漏项；平方差公式看清谁减谁；完全平方公式勿忘中间项；十字相乘要验证交叉和。分解务必彻底。 即时即练1．用恰当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行求解； （1）利用配方法进行求解； （2）利用提公因式法和因式分解法进行求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 2．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据求根公式法即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 【例1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 【例2】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【技巧归纳】 1. 移项整理：方程一边化为0。 2. 分解因式：提公因式、平方差、完全平方公式分解。 3. 令各因式为零：得两个一元一次方程求解，注意不能两边同除以含未知数的项。 【变式1-1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 【变式1-2】解方程： 【答案】，． 【分析】直接利用因式分解法求解即可．本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． 【详解】解： 或． ，． 【变式4】用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 所以或， 解得，． 题型2 用十字相乘法求解一元二次方程 【例3】用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【例4】阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式(______)(______)； (2)应用：请用上述方法解方程． (3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____． 【答案】(1)2，4； (2)，； (3)或或． 【分析】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程； （1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （3）结合，利用因式分解法可分别求得值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）∵， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ． 综上所述的值可以是，，，，． 【技巧归纳】 1. 拆首尾：将二次项、常数项分解因数，交叉相乘再相加得一次项系数。 2. 横写因式：写成(x+p)(x+q)=0形式。 3. 快速检验：p+q=b，p q=c。注意符号调整。 【变式2-1】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【变式2-2】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【例5】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 任务一： 小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； 小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________． 任务二：写出该方程的正确求解过程． 【答案】任务一：二，方程两边同时除以可能为0的代数式；三，提公因式时，后边的未变号；任务二：，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解决本题的关键是利用提公因式法分解式解一元二次方程，在解方程的过程中要注意不能随便除以一个代数式，提公因式时要注意符号是否需要变化． 【详解】任务一： 解：代数式的值可能为， 小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的； 小颖同学在第三步时提公因式时， 后边的是， 提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号， 小颖同学的做法错误； 任务二： 解：， 移项得：， 整理得：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 【例6】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错 任务二：， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可； ②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误； 任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的； ②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错； 任务二：解：， 或 解得：，． 【技巧归纳】 1. 找错误点：检查移项是否漏变号，因式分解是否彻底，有无两边同除含未知因式导致丢根。 2. 逆向还原：从错误结果倒推过程，对比正解定位步骤。 3. 验证根：代入原方程确认遗漏或增根。 【变式3-1】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【变式3-2】按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 【答案】(1)见解析； (2)小芳的解法错误，，． 【分析】（）根据根据题意得小华忽略的情况是没有考虑； （）根据一元二次方程的解法即可求解； 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑， 故答案为：没有考虑； （2）小芳的解法错误， 由 或， 解得：，． 题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 【例7】菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用菱形的性质与三角形的三边关系质确定，从而根据菱形的对角线互相垂直平分即可解答． 【详解】解：菱形的一条对角线长为6， 如图，不妨设 解方程得，， ∴或， 若，则在菱形中，， 此时，，这不能构成三角形； 若，则在菱形中， ，，， ∴在中，， ∴，即另一条对角线长为8． 故答案为：8． 【例8】如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程的根，等腰三角形的定义，先求出方程的两个根，得出三角形的三条边为5，5，2，从而做出判断． 【详解】解：， ， ， ， ∵三角形的两边分别是一元二次方程的两个实数根， 三角形的两边分别是：5，2， 又∵的一边长为5， 是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【技巧归纳】 1. 列几何关系：用边长、面积、勾股定理等建立方程，化简为一元二次方程。 2. 因式分解求根：对方程因式分解，得解。 3. 检验取舍：剔除不满足几何条件（如边长非负、三角形三边关系）的根。 【变式4-1】如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 【变式4-2】若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 另一条对角线的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：解方程得：或4， ∵是菱形， ∴， 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 故答案为：或． 题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 【例9】定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：方程是“黄金方程”，理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 【技巧归纳】 1. 读懂定义：将新运算转化为常见代数式（如a※b = a2 - b2）。 2. 列方程：按定义列出方程，化简为标准一元二次方程。 3. 因式分解求解：用合适方法分解，解出未知数，注意检验定义域。 【变式5-1】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 【变式5-2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 题型6 换元法解一元二次方程 【例11】阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 【例12】安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： (1)已知x、y满足，求的值． (2)若a、b满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， ， ， ， 因式分解得， 解得，（舍去）， ． （2），设， ， ， 因式分解得， 解得，， 或． 【技巧归纳】 1. 找重复结构：将相同代数式设为新元t，如(x2+x)、 。 2. 化整式方程：解t的一元二次方程，求出t值。 3. 回代求解：将t代回原式解出x，并检验（注意分母不为0、根号非负）。 【变式6-1】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 【变式6-2】【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可转化为； （2）解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； （3）解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 则或， 解得：，． 2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 3．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 4．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 5．如果两个代数式a，b满足，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”．若与是关于16的“友好代数式”（m，n是有理数），则的值为（    ） A．或4 B．或4 C． D．或 【答案】D 【分析】根据定义求解即可． 【详解】解：根据定义，得， ， ， ， ， 故， ， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时． 二、填空题 6．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______． 【答案】15 【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程，再根据三角形三边关系舍去不符合题意的根，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，能构成三角形，周长为 ； 当时，，不能构成三角形， 则三角形的周长为． 8．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 9．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 10．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【答案】3或 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 三、解答题 11．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 12．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 13．习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：…第一步， ∴…第二步， ∴，…第三步． 小明的解法 原方程可化为：…第一步， 两边都除以…第二步， ∴…第三步． (1)他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 【答案】(1)二；二 (2)过程见解析 【分析】（1）小马第二步方程左边因式分解错误，小明第二步忽略了的值可以为； （2）先把原方程化为，再移项得，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小马从第二步开始错误，理由是方程左边进行因式分解时，因式分解错误；小明从第二步开始错误，理由是的值可以为，方程两边不能直接同时除以； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程一定有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为1，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）根据因式分解法解方程，结合三角形的三边关系解题即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 此方程一定有两个实数根； （2）解：， ， 或， ，； 当时，， 此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去； 当时，即，此情况不成立， 综上，的值为3． 15．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 16．已知m为实数，关于x的两个方程分别为和． (1)求证：方程一定有两个不相等的实数根； (2)当方程有实数根时，求m的取值范围； (3)当方程和有公共的实数根时，求m的值． 【答案】(1)证明：对于方程的判别式为， ∴方程一定有两个不相等的实数根； (2) (3)m的值为1或5 【分析】（1）证明即可； （2）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （3）设两个方程的公共根为t，则①，②，两方程相减可求出或，然后把代入方程①求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：方程的判别式为， ∵方程一定有实数根， ∴， ∴； （3）解：设两个方程的公共根为t，则①，②， ①－②得，即或， 当时，即，解得， 当，时，均在的范围，即两个方程均有实数根， 综上，m的值为1或5． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $